Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 17
Текст из файла (страница 17)
111обой охотник стреляет по волку только в случае, если волк пробегает от него не дальше чем на расстоянии 1~е, и, выстрелив, убивает его с вероятностью р. Определить вероятность того, что волк будет убит, если он не знает, где расположены охотники, и цепь достаточно длинна лля того, чтобы волк с достоверностью не пробежал за пределами цепи. Р е ш е н и е.
Цепь охотников (рис. б.30) может рассматриваться как пуассоновская последовательность точек на оси Ох. Волк, бегущий по направлению, указанному стрелкой, обстреливается в случае, если в полосу шириной 2Р„ связанную с его траекторией, попадает хотя бы один охотник. Каждый охотник, если ему прилется стрелять по волку, с вероятностью р оказывается «удачливым», т.
е. убивает волка. Перейдем от «цепочки охотников» на оси Ох к «цепочке удачливых охотников», имеющей плотность г, = лр. 1 1 Ряс. 5.30. Волк будет убит в случае, если в отрезок длиной 21««, случайно брошенный на ось абсцисс, попадет хотя бы один «удачливый» охотник; вероятность этого: Р (А) =- 1 — е «л'* = 1 — е ал"г. 5.31. Рассматривается равномерное пуассоновское поле точек на плоскости с плотностью ),. Найти закон распределения н числовые характеристики и„, сзг расстояния гс от любой точки поля до ближайшей к ней соседней точки. Решение, Найдем функцию распределения гч(г) величины гт'.
Для этого проведем вокруг точки поля окружность радиуса г (рнс. 5.31). Для того чтобы расстояние гс от этой точки до ближайшей к ней соседней было меньше г, надо, чтобы в круг попала хотя Рнс, 5,З1. бы одна точка (кроме данной). По свойствам пуассоновского поля вероятность этого события не зависит от того, есть лн уже в центре круга точка или ее нет. Поэтому 'Я ° «в Г(г)=1 — е "' при г) О, откуда 2 пХге '"' при г) О, О при г СО. 107 Такой закон распределения называется законом Релел, ло, =-- ') г 2п).ге ' 4(г = =; -жло 2)'У Ю сс, [Й1 = ') г' 2п).г е '"' г(г = —; о о 1 1 4 — и О =-ао [)1'~ — ло,'= — — — = —,' о лХ 4) 4лА 5.32.
Деревья в лесу растут в случайных точках, которые образук1т пуассоновское поле с плотностью Х (среднее число деоевьев на единицу площади), Выбирается произвольная точка О в этом лесу. Рассматриваются случайные величины: Р— расстояние от точки О до ближайшего к ней дерева; й, †расстоян от точки О до следующего по порядку (нторого по удаленности) дерева; )со †расстоян от точки О до и-го по удаленностоо дерена. Найти закон распределения каждой из этих случайных величин.
Р е ш е н и е. Функция распределения случайной величш;ы гст найдена нами в предыдущей задаче: Р, (г) = 1 — е '" ~ (г ) О), Функция распределения Р (г) Р (Яо ( г) равна вероятности того, что в круг радиуса г попадет не менее двух деревьев: Го (г) * 1 — е " ' — пг') е " ' (г ) О). Л-1 1 а" о=о Ло 1 е '2юйг (г> О).
л — 1 /'„(г) = — „" — =- ( — ~~' л дрл (г) Ла 1 1 ас А=о 108 Аналогичными рассуждениями патучим л-1 ао Г„(г) Р(Я„(г)=1 — ~' — „е ' (г) О, и)1), о о где а=-гаго). Плотность распределения получим дифференцированием Гл (г) по г.' 5.33. В пространстве трех измерений случайным образом расположены точки. Число точек в некотором объеме пространства и есть случайная величина, подчиненная закону Пуассона с математическим ожиданием а = )«и, где г. †среднее число точек, находящихся в единичном объеме. Требуется найти закон распределения расстояния К от любой точки пространства до ближайшей к ней случайной точки.
Р е ш е н и е. Функция распределения гт(г) есть вероятность того, что в сферу радиуса г попадет хотя бы одна точка: г'(г)=Р()с <г)=1 — е 4 где о(г) = — пг' — объем сферы радиуса г. Отсюда 3 4 у (г) = 4пгЧ,е " (г > О). 5.34. В некотором звездном скоплении звезды образуют трехмерное пуассоновское поле точек с плотностью ). (среднее количество звезд в единице объе»а). Фиксируется одна (произвольная) звезда и рассматриваются: ближайшая от нее звезда, следующая (вторая) по удаленности, третья и т.
д. Пайти закон распределения расстояния ?? от двиной звезды до л-й в этом ряду. О т в е т. Функция распределения Г„(г) имеет вид а-« аь -а 4 Гл (г) = 1 — ~~' — „е ', где а =- — пг') (г О); «=« плогность распределения .У„(г)=- —" — =- ?не '4п),г«(г) О). ЙЕ„(г) а"-' 5.35*. Предыдущие задачи можно обобщить на произвольное число измерений М: в дГ-«1ерпом пространстве слушйньщ обрззом расположены точки. Число точек, попадающих в некоторую замкнутую область ?г этого пространства, есть случайная величина Х, подчиненная закону Пуассона.
«Объе:» о этой области (Г определяется так: рт Иатематическое ожидание случайной величины Х будет равно ),и, где )' — среднее число точек, находящихся в единичном обьеме. Требуется найти закон распределения «расстояния» Я от любой точки этого пространства до ближайшей случайной точки, Под арасстоянием» )с между двумя точками х (х,,х, ...,х ) и у (ут, у„ ..., у,ч) понимается величина Р е ш е н и е. Известно, что объем о,,(г) гиперсферы ра- диуса г в И-мерном пространстве равен г и~-1 и — 1 пк при Х вЂ” нечетном, (й -' оч(г) = ! г при г»' — четном, где й70 1 ° 3 5 7 ... М (при нечетном Ю). Заметим, что кплощадь» поверхности типерсферы Я (г) радиуса г в М-мерном пространстве определяется так~ в' Л 8ч(г) = — ом(г) = — о,(г), чг Функция распределения случайной величины гс будет равна вероятности того, что в гиперсферу радиуса г попадает хотя бы одна случайная точка: Г(г) = Р ()7 ( г) = ! — еь»нн! (г О), откуда 7(г)=ХЯн(г)е-ь»,ч!г> (г) О).
5.36.* Рассматривается М-мерное пространство, в котором задано пуассоновское поле точек с плотностью г. (среднее число точек в единице М-мерного объема). Найти закон распределения расстояния от произвольной точки поля до л-й от нее в порндке возрастания расстояния. 0 т в е т. Функция распределения (10 где а = г.пгг(г); плотность распределения у'„(г) =, е 'ХЯм(г) (г) 0) (см. задачу 5 35). 5.37. Лвтомашина проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром а.
Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание тшшпны продолжается в среднем 2 часа, Если обнаружены одна пли две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то маппша ставится на профилактический ремонт, где она находится в среднем 4 часа. Определить закон распределения среднего времени Т обслуживания и ремонта мапшны п его математическое ожидание М (Т). Решение 2 2,5 е-а а -а — е 2 1 — е '(1та+ 2) аг а —.(2 2,5 — ', 2 а')+6 ~~ з ав1 = 6 — е а (4; — 3,5 а+ 1,5 а ).
111 5.38. Производится вынужденная посадка самолета на мелкий кустарник. Точки, в которых растут кусты, представляют собой равномерное пуассоновское поле точек с параметром Х. Размах самолета равен г, а длина пробега Ь. Благополучная посадка возможна, если самолет не заденет нп одного куста (размерами кроны куста можно пренебречь). Определить вероятность р того, что самолет произведет благополучную посадку. О т в е т. р = е — с'х.
5.39.* Обследуется группа животных; каждое из них с вероятностью р является больным. Обследование производится путем анализа крови. Если смешать кровь и животных, то анализ втой смеси будет положительным, если среди и животных будет хотя бы одно больное. Требуется обследовать большое число М животных. Предлагается два способа обследования: 1) обследовать всех )тГ животных; в этом случае нужно провести Лг анализов; 2) вести обследование по группам, смешав сначала кровь группы нз и животных; если анализ отрицательный, считать, что все животные группы здоровы и переходить к следующей группе из и животных; если анализ положительный, обследовать каждое из и животных и после этого переходить к следующей группе (и > 1). Определить, какой способ обследования выгоднее †первый или второй †смысле минпьшльного среднего чвсла шшлизов.
Определить, при каком и = и" для обследования группы животных потребуется в среднем наименьшее число анализов. Р е шенк е. Случайная величина Մ— число анализов на группу из и животных при втором способе †име ряд распределения где д=-! — р, Среднее шсло анализов на группу нз и животных при в~ором способе будет М [Х„) =д" + (и — , '1) (1 — 4") = п — (пд" — 1). При первом способе на группу из п животных прихошггся и анализов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
