Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Л(х!у) = 138 а) Написать выражение У(х, ц). б) Найти Ут(х); 7а(у); г (у ! х); Л (х ! у), в) Определить, являются ли случайные гйф в) Так как 7! (х) у) ~У' (х), то случайные величины Х, У зависимы. г) Находим корреляционный момент К„; так как тх =гл =О, то х К„= ~') хуг" (х, у) г(ха!у !к! = ) ') хуу'(х, у) Их г(у -(- ) ') хуу (х, у) пх ау, (кп <ка где К, †прав половина круга К; Кя †лев половина (рис, 6.7б). Функция худ'(х, у) нечетна относительно аргумента х, поэтому интегралы по Кт и К, отличаются только знаком; в сумме интегралы взаимно уничтожаются, значит, К„ = О, и случайные величины Х, У не коррелированы. 6.8. Система случайных величин (Х, г') распрелелена по закону: а ! +хя+х'д~+уа ' а) Найти коэффициент а, б) Уста- х повить, являются ли величины Х, У зависимыми; найти у! (х); уа (у). в) Найти вероятность попадания случайной точки (Х, У) в пределы квадра- рнс.
6.8. та !7, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину Ь = 2 (рис. 6.8). Р еш е н и е. а) Из условия О ~~У(х, у) (х (у=! ! находим а= —,. б) Случайные величины Х, У независимы: ! ! у, (х) = ч (! +,.) ..~я (у) = „, + „,, у (х, у) = у', (х) уя (у).
1 1 в) Р((Х, У)~)с)= ') ') 6.9. Имеются независимые случайные величины Х, !'. Случайная величина Х распределена по нормальному закону )39 1 с параметрами: гл = 0; о ==. Случайная величина У х ' х= ~/.2 распределена равномерно на интервале (О, 1). Написать выражения для плотности распределения у'(х, у) и функции д~ (О, 1), 6.10. Поверхность распределения у'(х, у) системы случайных величин (Х, 1') представляет прямой круговой цилиндр, центр основания которого совпадает с началом координат (рис. 6.10а), а высота равна Ь, Определить радиус цилиндра г, найти г (х); у;(у); г(хуг у' (х~у);у;(у~х); лг„; )2„; К„». Рис. 6.10а.
Рнс. 6,106. Р е пх е н н е. Радиус цилиндра г определяется из условия: .г ~ объем цилиндра равен единице откуда г Вг г' пл' Плотность распределения у(х, у) имеет вид Ь, если х*+у' < гв, У(х, у)- О, если х'+ ух > га. Следовательно, Ю гг(х) = г (х, у)г(у = 1 2)г'г' — х й при )х( <г, (О х Ъ при (х! г. 1ао распределения Р'(х, у) системы (Х, г'). 1 О т в е т. 1г (х, у) г'й 0 при 0 г" (х, у)=г",(х)Г,(д)= уФ*(х)'2) Фв(х)/2 ) у((О, 1). прн д «(О, прн 0 (д '1, при у~ 1. Аналогично Л (у) = 2 <(г' — у'й при )у(<г, 0 прн (у! ) г. График функции гл(х) показан на рис. 6,10б, При (у( <г 1 ~' (х(у) ' = 2 у гл — ул при (х(< )>г' — у', 0 при )х) ) ф'г~ — уь.
Аналоп<чно при (х( < г 1 У, (у ( х) = ~ 2 Рггл — «л 0 при (у ( < )~гг' — х', пр, <у() 1I,':х.з.' Математические ожидания равны нулю: л> =л> =О, «« так как функция у(х, у) четка как по х, так и по у; ,()« — 2й ~х') г~ — хт«х=йг' — = —; о„= —; К =О. 6.11. Система случайных величин (Х, У) распределена по круговому нормальному закону со средним квадратическим отклонением и: 1 — —, <«*ей*> 1 у' (х у) — е >е* 2ло' а) Заменить приближенно этот закон распределения законом постоянной плотности в круге; радиус круга г подобрать так, чтобы сохранились неизменными дисперсии величин Х и У. б) Заменить приближенно этот закон распределения законом с поверхностью, изображаемой прямым круговым конусом с центром основания в начале координат; радиус г основания также подобрать из условия равенства дисперсий.
Реше н н е. гл а) Сравнивая с задачей 6.10, из соотношения О„= — = о> находим г,=2п. 141 б) Сравнивая с задачей 6.7, из соотношения Е)„. = — ~ х' (гл — 1' х'-)- у') (1х ду = — г, = а' з гг з з, (к) —прн (х, ))) Е!?, 1 .) (х, у)- 0 при (х, у)(Г 7?, г! '" -(л — к) лл (х) ) лел 1 Уу=1 2 -(г (-х) 0 — х при 0<х<1, ,'-х прп — 1 <х < О, прн х< — 1 или х~1 или, короче, 1 — )х) при )х(<1, 0 при (х!) 1.
График закона )',(х) показан на рис. 6.126 (закон Си)ясона). Лналогнчно, 1 — )у! при (у! <1, 0 ' при )у))1. !42 находим г ==о=2,58п. УБ -~з 6.12. Случайная точка (Х, 1') распределена с постоянной плотностью внутри квадрата л?, заштрихованного на рис. 6.12а. Написать выражение плотности распрей деления у'(х, у).
Найти выражения плотностей РаспРеделенив У;(Х), Гв(У) Я отдельнь(х величин Х, 1; входящих в систему. Написать выражения услов- ных плотностей ут(х ( у) и ), (у (х) Зависимы или независимы случайные величины Х, У? Коррелированы они Рнс. б.!2а. или нет? Р е и( е н и а, Площадь квадрата равна 2, поэтому Далее, при (у( 1 )(х, у) 1 1 Уз(х(у)- — = ' 2(1-)у)) при )х) <1 — (у), 0 при (х)) 1 — (у(. на рис.
6,12в. Анало- График плотности уз(х )у) показан гично, при ! х ( < 1 1 Л (у) х) =) 2( — ) '() 0 при Случайные величины Х, 1' зависимы но не коррелированы. ~улуг 1 з у-)р ! аз Рнс. 6.126 Рнс. 6.12з. 6.13. Плотность распределения системы случайных величин (Х, 1') задана формулой 1 — цх- зр-з, з 1х-з1 1у+зз+зд+ зы] у(х, у)= — е з,зв !,бл Найти коэффициент корреляции величин Х, 1'. Ответ; г„,=0,6. 6.14. Незавйснззые случайные величины Х, )' распределены по нормальным законам с параметрамн т=-2; и,= — 3; о=1; о=2.
х у х у Вычпслнть вероятности следующих событий: а) (Х<т„)(1'<т ); б) Х<3; в) г<Х вЂ” 5; г) ! Х( < 1; д) (/ Х! < 1) () !'( < 2). Р е ш е н и е. а) Р ((Х< лз„) (1'< т )) = Р (Х < и„) Р (!' < т ) = 1 х у 2 2 4 ' б) Р (Х < 3) = Фз ( — ~ = Ф* (1) = 0,8413. 148 в) Искомая вероятность равна интегралу (х — »! !а »ь»!' Р( <Х вЂ” ~)=11 !.) 2п )/ 2 го! взятому по области г), где у < х — 5.
Область г.» заштрнховшш на рис. 6.14; она лежит правее н ниже нряь!ой у=-х — 5. Зта прямая проходит У р»пя-5 через точку с коордннатамн тх —.=.2! гн =.— 3 (центр рассенваиия). В салу симметричности !! нормально~о закона вероятность 1 попадзния случайной точки по одну сторону от прямой, прохо- '~~'Ж дашей через центр рассеивания, ж равна вероятности попадания го другую сторону от этой прямой, Рнс.
6.!!. поэтому Р (г' < Х вЂ” 5) == — . ! 2 г) Р() Х( < 1) = Р ( — 1 <Х< 1) =- = Фз( ) — Ф" ~ — ) = О,!о73. д) Р ((! Х ! < 1) () У) < 2)) = Р ( ) Х ) < 1) Р () )»! < 2) = = 0 1573 Фа», ) — Фн( —,— ) =- 0,0476, 6.15. Системз случайных величин (Х, г') имеет распределение с плоюшстью г" (х, у).
Выразить через плотность распределения вероятности событий: а) Х> 1'! б) Х> ) Уь! в) !Х) 1'; г) 1' — Х> 1. Р е ш е н и е. На рнс. 6.15, а, б, е, е заштрихованы области 0„, с)з,ь»„ В», попадания в которые соответствуют событиям а), б), в), г). Вероятности попадания в них: а) Р(Х) У)=- ~ ~ у(х,у)г(хну; » х б) Р (Х > ) 1' !) = ) ~ у (х, у) !(х»2у! о -х 144 в) Р (~ Х ( ) «') = ) ) у (х, у) с1х Иу; — Ф Ф Ф Ф г) Р(1' — Х>1)= ) ) у(х, у)ахи. Ф К+К Рнс.
6.15. «у б) Рис. 6.16. Решение. На рис. 6.16, а, б, соответствующие событиим а), б) в показаны обласпп и в). При круговом «к6 6.16. Система двух случайных величин Х, «' распределена по нормальному закону с параметрами и . =т = О; К У ок == о„= о« у, = О. Определить вероятности следующих событий: а) )У( < Х« б) У <Х; в) «к< (Х) рассеивании вероятности событий будут: а) 0,25; б) 0,5; в) 0,75, 8.17. Случайная величина Х имеет плотность распределения у(х); случайная величина 1' связана с нею функциональной зависимостью У Х'.
Найти функцию распределения Р(х, у) системы (Х, У). Р е ш е н и е. Исходим из то- У го, что значение случайной величины 1' полностью определяется (х,у) у=к~ значением случайной величины Х Случайная точка (Х, У) может находиться только на кривой ю У у =х'-. Вероятность попадания ее в квадрант с вершиной в точке (х, у) равна вероятности попадаРис.
6.17. ния случайной точки Х на проекцию на ось Ох участка кривой у=х', попадающей в квадрант (рис. 6.17). Пользуясь этой интерпретацией, имеем приу(0 нлиу 0 и х~ — )~гу, и х>)Гу, у'(х)~1х при у ) 0 Г(х, у)=~ ! у'(х) г(х при у > 0 и — )/у ( х ~ 1''у. — кд 8.18.
Случайная точка (Х, У) распределена по нормальному закону на плоскости: 1 ыв )(х, у) = — е Найти вероятность р попадания точки (Х, г) в квадрат Я (заштрихованный на рнс. 8.18), сторона которого равна двум. Решение. Так как рассеивание кру- Рис. 6.18. говое (а» =и = 1), то координаты точки (Х, У) остаются независимыми при любом повороте коор- !46 динатных осей, и поэтому при повороте на 45' получаем р = ~2Фэ ( — ) — 1~ =0 467, 6.19. Случайная точка (Х, У) распределена по нормальному закону на плоскости с параметрами и„=1; тя= — 1; п„=1; о =2 г„=-О.
Найти вероятность того, что случайная точка попадет внутрь области В, ограниченной эллипсом (х — 1)Я+ (р+ 1Р 4 1. Решение, Область В ограничена эллипсом рассеивания Е, с полуосями а =- а = 1, Ь= а = 2; вероятность 1 попадания в эту область р =- 1 — е ' 0,393. 6.20. Производится стрельба по точечной (ь!алораз!!ер* ной) цели снарядом, зона разрушительного действия которого представляет собой круг радиуса г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
