Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Рассеивание точки попадания снаряда круговое, с параметрами т,.==-л! .= 0; о„ = о = 2г (центр рассеивания совпадает с целью). Сколько выстрелов нужно произвести для того, чтобы разрушить цель с вероятностью Р= 0,97 Р е ш е н и е. Вероятность разрушения цели при одном м, ь!' выстреле р=-1 — е ' ж0,118. Потребное число выстрелов !й (! — Р) !я 0,1 л ~, 1- — -' — - ж 18,4, т. е.
и = 19. 6.21. Система трех случайных величин (Х, У, Е) имеет плотность распределения 7(х, у, г), Написать выражения: 1) плотности распределения у' (х) случайной величины Х; 2) плотности распределения 7, з(у,,а) системы случайных величин (у; Л); 3) Условной плотности РаспРеделениа У,,а(У, а)х); 4) условной плотности распределения ув(у(х, л); 5) функции распределения тч(х, у, л); 6) функции распределения тч,(х) случайной величины Х; 7) функции распределения Р,д (х,у) системы (Х, т'). Ф Ответ. 1) ут(х) ~~ У(х, у, я) Иуда; й О 2) Уг г (у») = ) У(х у») (х: 3)у„м(у, ) )= „ ~~ )(г, у, г) г)рг1г % 4) узах, ) = . " " *' )(г, у, г)Ир 6) Р (х, у, ») = ~ ~ ~ у'(х, у, ») г)х Иу 0»; 6) Рт(х) = Е (х, оо, оо) = ~ ~ ~ У(х, у, ») Фх ду г(»; — Ф -Ф З г а У) Гт,г(х, у) =Р(х, у, со) = ) ') ') У(х,у, ») ггхдугг», 6.22.
Производится стрельба одним снарядом по точечной (малоразмерной) воздушной цели. Рассеивание точки разрыва снаряда происходит по нормальному закону; центр рассеивания совпадает с целью;средние квадратические отклонения и,. и = и, = и. Цель поражается, если расстояние между нею и точкой разрыва снаряда не превышает гг = 2п. Найти вероятность р того, что при одном выстреле цель будет поражена. Р е ш е н и е. По формуле лля вероятности попадания в эллипсоид равной плотности имеем р = — Р ((Х, Г, К) Е Ег) = 2Ф"' (2) — 1 — — ° 2е г ж 0,739. 6.23. Система трех случайных величин (Х, 1', Е) распределена равномерно внутри шара Я радиуса г. Написать выражение плотности распределения системы у (х, у, »), плотностей распределении уг (х), уг(у) и уг (») отдельных величин, входящих в систему, а также условной плотности распределения у (х )у »).
Решение, ( с при х'+у'+»' ч, гг, ) 0 при ха+уз+»г > гв. 148 Постоянную с находим из условия, что объем шара Г, умноженный на с, равен единице: — пгас = 1, откуда 3 с= — „ 4пгз Рнс. 6.23. Плотность у (х) определяется выражением Ф г;(х) = ~~У(х, у, «) Нун«.
Ю При ) х ) ~ г, очевидно, уд (х) = О. При (х ) ( г имеем ( с при (у, «) 4:й„, у'(х, у, «) ( О при (у, «)()2„, где ),")„есть круг радиуса ф' гз — хз (рис. 6.23, а и б). Следовательно, г" (х)= )) сосуд«=ел(г' — х') ((х(<г). (о ) Таким образом 3 гт — ль — прн (х) с.г, ( О при (х))г. Кривая распределения представлена на рис. 6.23, в. Числовые характеристики этого закона следующие; лт = О; 149 г е (2„= — .
Плотности распределения у'а(у) и га(а) имеют вид 3 га — уа у (у)= 4 — — при <у((г, О при (у<) г, ( 3 г' — га Уз(г) = 4 — — при )х< (г, =Г ' О прн <х< ) г. Плотность распределения подсистемы (У, Е) ув,.(у, )=- ~.у(х, у, )ут г-' — а*-г* с дх.= 2с),гга уа г гл м О при ха+у' ( г-, ири аа -(-уа ) гв. Отсюда прн га+уа (га находим условную плотность рас- пределения при < х < ргга — у' — аа, ! О прн )х<))гг' — ув — аа. 6.24.
Система трех случайных величин (Х, У, 2) распределена с постоянной плотностью внутри шара радиуса г. Найти вероятность попадания случайной точки (Х, У, Е) внутрь шара, концентричного данному, с радиусом г/2. ! Ответ. р= — —. 8 ' 6.25. Из урны, в которой а белых, Ь черных и с красных шаров, вынимается один шар. Случайные величины Х, ); Е определяются следующими условиями: если появится если появится если появится если появится если появится если появится )ЬО 1о, У='( О, ~=-(О, белый шар, черный или красный шар.
черный шар, белый или красный шар. красный шар, белый или черный шар. Построить корреляционную матрицу и нормированную корреляционную матрицу системы случайных величин (Х, У, Л). Р е гп е н и е. Корреляционные моменты определим из таблицы вероятностей отдельных значений Х, У и Е.
Обозначим Рсч „,„= Р ((Х=хг) (У'=у,) (2= да)). Имеем Р,= Р ((Х= 0) (У= 0) (Е= 0)) = 0; =)а((Х= )) (У=О) (я=О)) = Р,, = Р ((Х= О) (г'= 1) (с. = 0)) = Ро, о, ~ = Р ((Х = О) ()'= О) (2 = ) ) ) = — ь — ' Рм ы о = Ры о, т = Ро, ы г = Ры ы г = О. а Ь с а+о+с ' У а-сЬ-)с ' с а+Ь+с ~. г = Х (х» — ~,) (уу — агг) Р:о с;,., = Сьо а+Ь+с) ~ а+Ь+с ) а+Ь+с + а ь ~ ь + о— ( + а+Ь+с / ~ а+Ь+с,~ а-(-Ь-,-с а+а+с/ (, а+о+с/ а+а+с (а+Ь+с]' Лналогнчпо — ас . — Ьс (а+а+ )' Г* ( +Ь+ )о находим дисперсии а ао а(Ь+с) о» ~ " а+Ь+с (а+Ь+с)о (а+Ь+с)о гнчно Ь(а+с) с(а+Ь) т (а+Ь+с)о' с (а+Ь+с)' Отсюда находим козффициенты корреляции )(ее — аЬ Ч/ аЬ )/ В„0„'$~ аа (а+с) (Ь+с) т (а+с) (Ь+с) диалогично ас Ьс Ьт+.(О ~~~И ' Ъ )' (Ь+а)(с+а) 6.26.
Имеется система случайных величин Х и )'. Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром Лл ( Ле '" прн х)0, 0 при х(0. Случайная величина У при заданном значении Х.=х ) 0 распределена также по показательному закону, ио с параметром х: ( хе ея при у)0, О прн р(0.
Написать плотность распределения у(х, у) системы (Х, )') и найти плотность распределении у (у) случайной величины Г; найти условную плотность у' (х ~у). Р е ш е н и е. 0 при х(0 или у(0, ( Лхе аУ'" при х>О и у" О. Л у (а) = ~'(х, а) ах= (Л+е)' при у) О, 0 при р (О. Далее, при у ) 0 )(х, у) ( х(Л-(-у)ее О~У'" при х> О, ),(р) ( О р х(0. 6.27. Даны две независимые случайные величины: непрерывная Х с плотностью уа (х) и дискретная )' со значениями ры уа, ..., у„, имеющими вероятности р, р...
„р„. Найти фуняцию распределения системы (Х, Г). 'Г О т в е т. Г (х, у) =г'т (х)»"в (у), где г'' (х) = ~ ут (х) пх; О при у(у, р1 при У1 <у б ув ра(у) = ~~'.~ ргпри уь т<у~уь (И=2, 3, ..., и), »= 1 1 при у >у». 6.28. Случайная величина Х вЂ дискретн величина с двумя значениями хт и ха(х > хт), имеющими вероятностир,ир,. Случайная величина У вЂ непрерывн величина; ее условным распределением при Х= х; служит нормальный закон с математическим ожиданием, равным хп и средним квадратическим отклонением, равным о. Найти функцщо распределения Е (х, у) системы случаИ- ных величин (Х, У). Найти плотность распределения у',(у) случайной величины у.
Р е ш е н н е. Р (х, у) = Р (Х < х) Р (У (у ( Х < х). Пусть х ~х; тогда Р (Х < х) =- О и р(х, у) =- О; пусть хт < т(х.,; тогда Р(Х< х) =р„н» (х, у) = =р Р (у<у) Х= хд) =р,Ф* (~— х') . При х > х, по фор; а муле полной вероятности имеем Ф„, / ~~ — х» ) е г У» — х» ) Следовательно О при х (х„ е~~ Г(х, у)- ртФ при х <х(х, ртФ" ( — ')+р,Фе ~ " ') при х> х, Далее, полагая х= оо и дифференцируя по у, получаем (е-х П (е-х,р ~ »1 Ув (у) = — »" (аа, у) = ~р е»а' + рае "У аУ2п ~ 6.29*.
Звезды на небесной сфере рассматриваются как пуассоновское поле точек. Число звезд, попадающее в объектив телескопа, является случайной велпчиной, распределенной по закону Пуассона с параметром ) Ю, где о' †площа участка вырезаемого на поверхности сферы полем зрения телескопа (в радианах) (рис, 6.29, а). Поле зрения теле- снопа имеет координатную сетку (рис. 6.29, б) (отсчет ведется в радианах). Показать, что при любом положении телескопа координаты (Х, У) ближайшей к перекрестию звезды распределены по нормальному закону с параметрамн 1 т,=гл =О о =и = —.
м у ~ е у 1 2пл Р е ш е н и е. В задаче 6.31 было показано, что расстояние И от центра перекрестия до ближайшей к нему точки Рис. 6.29. пуассоновского поля подчиняется закону Релея. Но )г = у Ха + Уа, следовательно, вероятность попадания точки (Х, У) в круг Р (хе +у' с. г') может быть записана в двух формах: Р()т (г) =) 2плге- х" е(г (г) О), о Р ((Х, У) ~ О) = ~ ~ г'(х, у) ах е(у, (1) (о) где у (х,у) — плотность распределения системы (Х, У).
В силу симметрии надо считать, что у'(х, у) зависит только от расстояния: у (х, у) = а(г), где г=)г ха+у'. Переходя к полярным координатам (г,~р), получаем еп Г Р((Х, У) Е 1Э)=- ~ льр ~ д(г) г е(г = 2п ~ у(г) г е(г. (2) е о о Сравнивая выраженяя (1) и (2), находим; е(г)=Хе-"х", и значит, у'(х, у) = ле-лх~"'е">, что и требовалось доказать. ГЛАВА 7 ЧИСЛОВЪ|Е ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Если Х вЂ дискретн случайная величнва с рядом распределения хт~ х, ~ х, хз ра а величина У связана с Х функциональной зависимостью Г =ч(Х), то математическое ожидание величины т' равно ,=М Рр(Х)]= ~ р(х) рь з=з а дисперсия выражается любой из двух формул з н 0в=()[ю(Х)]= ~Ч", [ю(х ) — т ]з р = ~ч~~ [ф(х )Р р; — тз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
