Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 19
Текст из файла (страница 19)
5.53*. Имеется случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с параметрами «т и о. Найти выражение для величины аз[Х] †начально момента г-го порядка. Р е ш е н и е. Выразим начальные моменты сс,[Х) = М [Х'] через центральные моменты )ьз [Х] = М [(Х вЂ” «т)']: з аз[Х]=М[(Х вЂ” «з+гл)']= ~ с,зара[Х]ш' " )зв[Х]=1. а=е Для центральнык моментов при нечетном а = 2л + 1 1 ы-ыи )г [Х1 == [ (х — т)те Я Я' ~Ух = 5 О кз =-= ~ у'г '" ду=О, а т'2н а при четном г = 2п — по формулач предыдущей задачи Х )т,[Х) — = ~ у'е 'а ауоу 2н 2л+1 = у'е (а' в l ду= —,, (ор' 2)'" оУ2пэ о)г2л о = (2п — 1)!! оа".
Например, ая [Х[ =- гл'+ а' .,'[Х[= ша+ Зом1 и, [Х) = Зоа; и [Х) = лга + Опала + За'1 аа [Х[ = та+ !Опала+ 5 15оагл; пе[Х[ = 15о'1 ав[Х[ та ) 15о'я' + 15 За'тла + 15ов 5.54. Случайная величина Х подчинена нормальному закону а математическим ожиданием гл„ = О. Вероятность попадания этой случайной величины на участок от — и до а равна 0,5.
Найти о„ н написать выражение нормального закона. Р е ш е н и е. )з ( — а (Х < а) =2Ф* [ — ) — 1 ==0 5; Ф* ( — ) =О 75, Но таблицам функции Ф*(х) имеем — ж 0,675, откуда а о = — 1,48а, У(х) = . в '""* . 1,48а р 2н 122 Б.Б5». Функция распределения Р(х) неотрицательной случайной величины Х задана графиком (рис. 5.55). Математическое ожидание случайной величины Х равно ла„. Показать, что ла„ геометрически может быть представлено площадью фигуры, заштрихованной на рис.
5.55 (ограниченной кривой у = Р(х), пря- Г(х) мой у= 1 и осью ординат). Решение. Имеем о т„= ') хг" (х) Фх =- ) хгч' (х) а(х = о а — ) х [1 — г" (х)]' а(х. о Рис. 5.65. Применяя интегрирование по частяи, получим З Ю па,= — х(1 — Г(х)] +) [1 — Г(х)]а(х. о а Докажем, что первое слагаемое равно нулю: х [1 — Г(х)] ф = 1пп х[1 — Г(х)) =О. а Действительно, для случайной величины Х~) О, имеющей конечное математическое ожидание, из сколимости интег- о о рала ) ху(х) а(х следует, что ) ху'(х) о(х - О (М вЂ” оо), о ж и так как Ю Л ~ У(х) а1х( ~ ху (х)а(х, ж ж то отсюда получаем Л) [1 — Р (М)] - О (М Следовательно, 1пп х [1 — Г (х) ] = О к-а оо Отсюда » ла„= ') [1 — Р(х)] с(х, о а зто есть площадь, заштрихованная на рис.
5.55. 5.56. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием лг и средним квадратическим отклонением и. Определить абсциссы х, хя и ординату у точек перегиба кривой распределения у у'(х) (рис. 5.56). О т в е т. ! — 0,24 1 хт=т — о; х,=!в+и; у= — е о3~ 2л а 5.67.
Случайная величина Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием глк = 0 (рпс. 5.57). Рнс. 5.56. Рнс. 5.57. Задан интервал (и, р), не включающий начала координат. При каком значении среднего квадратического отклонения о вероятность попадания случайной величины Х в интервал (а, Р) достигает макси!!ума? Решение, Значение и найдем, дифференцируя по о верояююсть попадания в интервал (сс, 'Р) и приравнивая производную нулю. Имеем Р (сс < Х < ()) = Ф' ( — ~ — Фе ( — ") = в м ( а г а и ! = е 'с!! — ~ е 'г)! $' 2п отсюда и следовательно, в ре аш — ссе та*, и= )/ рт — а* ч /~+а р — и 2(1п() — !па) У 2 !п(1 — 1пгт Для малого интервала (а — е, а+в) о а)1 — — ( — )~ а.
е Например, при — < 0,24формулао а имеет погрешность менее145. л 5.58. Имеется случайная величина Х, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием лг и средним квадратичным отклонением ого Требуется приближенно заменить нормальный закон законом постоянной плотности в игпервале (а, р); ~раницы а, )) подобрать так, чтобы сохранить неизмененными основные характеристики случайной величины Х магематпческое ожидание и дисперсию.
Р е ш е н и е, Для закона постоянной плотности на участке (х, 'р) а+ )4 () — а т,= '; ам=в * 2 " 2УЗ Решая этп уравнения относительно а и р, имеем гг=л㻠— он~~ 3; ()=-тяч-п„)Г8. 5.59. Производится стрельба по наземной цели снарядамн, снабженными радповзрывателямн. Номинальная высота подрыва снаряда, на которую рассчитан взрыватель, равна а, но фактически нмеют место ошибки в высоте, распределенные по нормальному закону со средним квадратическим а отклонением о = — (систематической ошибки нет). Если взрыватель не сработает над землей, взрыва снаряда вообще не происходит. Найти вероятности следующих событий: А в при стрельбе одним снарядом точка разрыва окажется на высоте, превышающей 1,2а;  †п стрельбе тремя снарядами ни один снаряд не разорвется на высоте более чем 1,2а; С вЂ хо бы один из трех снарядов не разорвется; Е> †од из трех снарядов не разорвется, а два другие разорвутся.
Р е ш е н и е. Р (А) =- Р (Х . 1,2а) = 1 — ФЯ ( — ' ~2 / == 1 — Ф* (2,4) =- 0,0082; Р (В) = 0,976. Вероятность того, что один отдельный снаряд не разорвется; ре — — Р (Х ( 0) = Ф"'( — ~) = 0,023; 2 / Р(С) 1 (1 р )з 0068, Р (7)) = — С,' 0,023 0,977Я=-- 0,066. 6.60. Производится стрельба тремя независимыми выстрелами по цели, имеющей вид полосы (мост, автострада, взлетно-посадочная полоса). Ширина полосы 20 и. Прицеливание производится по средней линии полосы; систематическая ошибка отсутствует; среднее квадратическое отклонение точки попадания в направлении, перпендикулярном полосе, 16 м.
Найти вероятность р попадания в полосу при одном выстреле, а также вероятности следующих событий при трех выстрелах: Л вЂ хо бы одно попадание в полосу;  — не менее двух попаданий в полосу; С вЂ од снаряд попадет в полосу, один ляжет с недолетом и один с перелетом. Ре ш ение. р=2Ф*( — ) — 1 =0 468; 710т Р (А) 1 (1 р)а 0 849. Р (В) = 1 — (1 — р)а — 3р (1 — р)Я = 0,4821 Г1 з Р (С) = 3!р ~ — (1 — р)~ = 0,199.
~ 2 6.61. Завод изготовляет шарики для подшипников, Номинальный диаметр шариков де= 5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика Фактический его диа- метр — случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением г1е и средним квадратическим отклонением ол = 0,05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм. Определить, какой процент шариков в среднем будет отбраковыватьсяг Р е ш е и и е. Вероятность того, что шарик не будет за- (0,11 браковав: р = 2Фе ~ — '~ — 1 = 0,954.
Вероятвость того, что 1,0,05У он булет забракован: д= 1 — р =.0,046. Следовательво, около 4,6% шариков будет браковатьси. ГЛАВА 6 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ) Совокупность двух случайных величин (Х, 1'), рассматриваемых совместно, называется системой двух случас(ими аеличии, Система двух случайных величин (Х, У) геометрически интерпретируется как случайиал точка с координатами (Х, У] на плоскости хОу (рис. ба) или как ссучайнссй еекглор, направленный нз начала координат в точку (Х, У), составляющие которого представляют собой случайные величины Х и 1' (рис, бб). Рнс, ба.
Рнс. 66. Система трех случайных величии (Х, 1', 2) изображается с,нь чайной гпочкой или случайным вектора.и а трехмериолс иростраитлее; система и случайных величин (Х„Хе ..., Хи) — случайной тоской или случайным вектором е пространстве и измерений. Функцией распределения р (х, у) системы двух случайных еелисии (Х, 1') называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: Х < х и У < у: Р(х, у)=Р((Х < х) (1' < у]). Геометрически р (х, у) интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (Х, У) в квадрант с вершиной (х, у), заштрихованный на рис.
бв. Функции распределения г" (х, у) обладает свой. ствачи: 1) Р ( — со, — со) = Р ( — сс, у) = Р (х, — со) 0; 2) р(+ со, + со) =1; 3) г(х, + со) рс(х); р(+ со, у) гс(у), где гс(х), Га(у)— функции распределения случайных величин Х и у; 4) г" (х, у) — неубывающая функция х и у. ! Вероятность попадания случайной точки (Х, )') в прямоугольник )г со сторонами, параллельными осям координат, включающий свою нижнюю и левую границы, но не включающий верхнюю и 1У В с- —— 1 Рцс. бв. Рпс.
бг. вравусо (рис. бг), выражается через функцию распределения формулой Р ((Х, У) ~ Д) = с"' ф, б) — Р Рх, Ь) — Г (р, у) + г" (а, у). Ллатнаетью раепределещся 1(х, у) системы двух ссучайных вели сия (Х, У) называется предел отношения вероятности попадания случайной точки в элелсентарный участок плоскости, примыкающий к точке (х, у), к площади этога участка, когда его размеры стремятся к нулю. Плотность распределения выражается через функцию распределения формулой 1(х, У)= ' =-Р„в(х, У). дэу (х, у) дх ду Поверхность, изображающая функцшо с(х, у), называется поверхностью распределения.
Элементам вероятности для системы двух случайных велпчии нээынается величина 1(х, у) йхс(у, приближенно выражающая вероятность попадания случа11ной точки (Х„У) в элементарный прямоугольник со сторонами дх, ду, примыкающий к точке (х, у).
Вероятность попадания случайной тачки (Х, У) в произвольную обласкав Л выражается формулой Р ((Х,У) Е Л) = ~ ~ ) (х, р) с1х йу. Свойства плотности распределения 1) )(х, у)~0; 2) ~ ') г'(х, у) ухду=1. -ь Фусскция распределения системы выражается через плотность распределения формулой х ц Р(х, у)= ) ~ Г(», у)деду ь ь (интегрирование производится сначала по у, а лотом по х).
5 В. 6. Веятаель, Л. Л. Оь'саров Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему, выражаются через плотность распределения системы формулами [ (х) = ( [(х, р) Иу; [ (у) = ( [ (х, у) дх. Условным законом распределения случайной величины, входящей в систему, называется ее закон распределения, вычисленный при условия, что другая случайная величина приняла определенное значение. Условные функции распределения случайных величин Х и 1', входящих в систему, обозначаются Рт (х ~ у) и Рз (у [х), а условные плотностя распределения — [г (х!У) и [з(й [х). Теорема умножения плотностей распределения [(х, р) =[,(х) [з(у[х) или [(х, й) =[а(р) [т(х[р). Выражения для условных плотностей распределения через беаусловвые [а(у[х)= — ' при [т(х) ~0; [(х, р) [т(х) )г (х[ р) = †' прн [ (р) гч О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
