Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

5. (см. рис. 5) Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. 55 Случайной величиной называется величина, которая в результате опьгга мозкет принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно. Дискретной (прерывной) случайной величиной вазывается слу. чайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, поторые можно перенумеровать. Непрерывной случайной величиной (в широком смысле слова) называется случайная велнчяна, возможные значения которой иепрее рызно заполняют какой-то промежуток. Законом распределения случаввой величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможнымн значениями случайной величины я соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь разные формы. 2.

Функция распределения Функцией распределения случайной величины Х называется функ. ция Р(х), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х: Р (х) = Р (Х < х). Р (х) есть неубывающая функция; Р ( — со) О Функция Р(+ )=1. Для дискретных случайных величин функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева. Если функция распределения Р (х) везде непрерывна и имеет производную, случайная величина называется непрерывной е узком смысле слова или просто непрвравнои, Если функция распределения Р (х) на некоторых участках не;. прерывна, а в отдельных точках имеет разрывы, случайная велнчи-: на называется смешанной, 3.

Плотность распределения Плотностью распределения непрерывной (в узком смысле слова) случайной величины называется функция )(х]=Р' (х). Плотность распределения любой случайной величины пеотрнцательна, ((х) ~ О, и обладает свойством )(х) ох=1. График плотности Г (х) называется кривой распределения. Эаеиеяшом вероятности для случайной величины Х называется величина 1 (х) г(х, приближенно вырангающая вероятность попадания случайной точки Х в элементарный отрезок ох, примыкающий к то ~не х. Функция распределения Р(х) выражается через плотность распределения формулой к Р (х) = ~ 1(х) г(х.

м Вероятность попадания случайной величины Х на участок от а до () (включая а) выражается формулой Р(ц~ Х < ~) =Р ())) — Р (ц). Если случайная величина Х непрерывна, то Р (Х=ц) =О и Р(ц < Х < р) =Р (()) — Р (и). Вероятность попадания на участок от и до () для непрерывной айной величины выражается формулой )з(ц < Х < ()) $ ) (х) б ° . а Мотелсатическим ожиданием случайной величины Х называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам: М (Х! ~л х;р; †д дискретной случайной величины; М[Х)= ~ х[(х)дх — для непрерывной случайной величины, Для смешанной случайной величины математическое ожидание выражается суммой дауд слагаемых: М[Х]=~чр~х)рг+ ] хр'(х)д», )л) где сумма распространяется на все точки разрыва фувкини распре.

деления, а интеграл † все участки ее непрерывности. В случае, когда М [Х! надо обознашшь одной буквой, будем писать М (Х)=т„. Центрированнод случайной ееличокой называется разность между случайной величиной Х и ее мател)атическнм ожиданием: Х=Х вЂ” т„. Дисперсией случайной неличины Х называется математическое ожидание квадрата соответствуюшей нентрированиой случайной величины) 0 [Х! = М [Х'! . Дисперсия вычисляется по форкфлам) л 0 [Х! ~~ (хт — т )е р) — для дискретной случайной величины; 0 [Х] ) [х — т,)' [(х) дх †д непрерывной случайной величины; 0 [Х) ~я~~~(х) — гп„)зр)+ ) (х — т„)' Г (х) дх — для смешанной слу)к) чайной велнчнны.

Дисперсия 0 [Х! кратко обозначается 0 , Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии о„=) О„. Начальным молелтом й-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание А-й степени втой случайной величины: гхь [Х) = М [Хе], Для дискретной, непрерывной и смешанной случайной величины аз [Х] вычисляется соответственно по формулам ч пь [Х) = ~ хг и>', пь [Х) = ~ хе) (х) г(х /=1 О аь [Х) = 'Ь,' херт+ ) х'Т' (х) Нх, рм г[ентральяым моментам А-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание д-й степени центрнрованной случайной величины Х: р,[Х) =М )Хь]. Вычислительные формулы для рь[Х): рь[Х) =~цр (х,—,)'р;, Ш рь [Х) = [ (х — лг )" [(х)дх, [Х) — ~и~~ ~(хг — ш„)ь рг -)- [ (х — тх) Г (х) г(х.

г (и) Математическое ожидание случайной величины Х есть ее первый начальный момент, а дисперсия — второй центральный: М [Х) =и, [Х); (У [Х) =р, [Х). Второй и третий центральные моменты выражаются через начальные формулами рг [Х) =~~а [Х) шх рь [Х) = «з [Х] — Згп .пе [Х) +2глх. дискретная случайная величина Х называется распределенной по бияомиальномр закону, если ее возможные значения О, 1, ..., п, а вероятность того, что Х=т, выражается формулой Р(Х=лг)=Р ь=С„"'р рч где й<р<1; д=) — р. Математическое ожидание случайной величины Х, распределен. ной по биномиальному закону, равно т =лр, а дисперсии В = ирд. Дискретная случайная величина .Ф называется распрейте«анной по закону Пуассона, если ее возможные значения О, 1, 2, ..., ш, ..., а вероятность того, что Х=т, выражается формулой п«« Р(х=ш)=р„= е-а, и ш~ где а > Π†параме закона Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равны параметру закона а: и«к=а; О„=а. Потоком собыший называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени. Плотностью (интенсивностью) потока называется среднее число событий в единицу времени. Поток событий называетси пол«оком бгз послед«папаня, если ве- роятность появления ка любом участке времени того илн другого числа событий не зависит от того, какое число событий попало из другие, не пересекающиеся с данным участки.

Поток событий называется ординарныл, если вероятность появ. пения на элементарном участке Л( двух или более событий пренеб- режимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события. Ординарный поток событий без последействня называется пусс- гоноаским. Если события образуют пуассоновский поток, то число событий, попадающих на любой участок времени ((„1«+т), распределено по закону Пуассона: — « Р е — а и где а — математическое ожидание числа точек, попадающих на участок: О+т и = ') л (1) «И, й (1) — плотность потока. с, Если Х(1) =сопз1, пуассоновскнй поток называется «стапнонарным пуассоповским«или простейшим по«покоя.

Для простейшего потока число событий, попадающих на любой участок длины т, распределено по закону Пуассона с параметроч а =).т. Расстояние Т между двумя соседними событнямн в простейшем потоке есть непрерывная случайная величина, распределенная по показательному закону, с плотностью 1 О при 1 < О, '(зе ~~ при 1 ) О. Для случайной величины Т, распределенной по показательному 1 1 закс~«у, юг= Л ' 3.« ' Случайным поле»~ лычек называется совокупность точек, случайным образом распределенных на плоскости (в пространстве). ))холм»осл»ь»о поля называется среднее число точек, попадающих на единицу площади (объема].

Если плотность поля постоянна, оно называется равномерны.н. Поле точек называется проссоиоеским, если опо обладает свойствами; 1. Вероятность появления того илн другого числа точек в любой области плоскости (пространства) не зависит от того, сколько точек попало в любые области, не пересекающиеся с данной; 2. Вероятность повадаюи в элементарную область двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки. Число точек оуассоновскаго поля, попадающих в любую область Ь' плоскости (пространства), распределено по закону Пуассона: Ф Р = — е", о и где о — математическое ожидание числа точек, попадающих в область 5.

Если поле равномерно и имеет плотность )., то а=э)ч где зплощадь (объем) области 8. Если поле неравномерно, то а= ~ ') й (х, у) пх Ыу (для плоскости), 1ь1 а = '] ') ) Х (х, у, г) ох Иу йг (для простраиствз). ыи Лля вычислений, связанных с распределением Пуассона, приме. е ч"» а няются таблицы функций Р (гп, а)= — е е н )т (т, а]= аз — е а„ = т( ' =.'.Уы Я] а=» Таблица функции Я (и, а) =1 — )1 (ю, о) дана в приложении (табл. 1). Непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной в интервале (и, (]), если ее плотность распределения в этом интервале постоянна: 1 ) (х)= () — и — при хЕ (п, ]]], 0 при х~(и, (]], где запись х~ (а, (]) означаею»х лежи~ на участке от и до р», а х ~(а, )]) означает: ах не лежит на участке от а до (]».

Мате»»атическое ожидание и дисперсия случайной величины, а+() . распределенной равномерно на участке (п, р], равны тх = ((1 — а)з 0 = —. к Непрерывная случайная величина Х называется распределенной ло нормальному закону, если ее плотность распределения равна 1х- ж1' 7(х) = е 1 о У2п Математическое ожидание случайной величины Х, распределен-' ной по нормальному закону, равно глх= лг, а дисперсия (ух=ох.

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал (а, 5) выражается формулой Р (а < Х < ()) = Ф* ~ ) — Ф' ( ), где Ф'(х)= е ' дг — табулярованная фувкция (си. прн- 1 т' 2п ложение, табл. 2). 5.1. Может ли при каком-либо значении аргумента быть: 1) Функция распределения больше единиггыг 2) Плотность распределения больше единицы? 3) функция распределения отрицательнойу 4) Плотность распределения отрицательной? Ответ. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет. 5.2.

Характеристики

Список файлов книги