Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Производится четыре независимых выстрела в одинаковых условиях, причем вероятность попадания при одном выстреле р есть средняя из четырех вероятностей предыдущей задачи: Рд т Рд+ Рд+ Рд О 25 4 Найти вероятности Р2,4 1 1,4' Р2,4 Р2,4 ' 4,4 )дд,4 ~2,4' Ответ. Рд = — Сддр'474 '; Р24 — — 0,314; Р 4 — — 0,422; = 0,212; Р,, = 0,048; Р, = 0,004; )4~ 4= 0,686; =-- 0,264. .4":. По некоторой цели производится л независимых резон.
Вероятность попадания при 1-и выстреле равна =-1, 2, ..., л). При вычислении вероятности хотя бы го попадания различные вероятности р; осреднядот и 75 заменяют нх средней арифметической. . :1,,~ Х~ н Увеличится или уменьшится от такого осреднения вероятность хотя бы одного попадания"г Решение. Точное значение 1с „: » Йт „=1 — Д до где д;=! — ро с=г Приближенное (по осредненной вероятности): Требуется сравнить величины » т» Цд;и1: Известно, что среднее геометрическое не равных между собой положительных величин меньше, чем их среднее арифметическое, следовательно, » » ' » П,,—,' „11„ значит, тс „ ) тс;„; от примененного осреднения вероятность хотя бы одного попадания уменьшится.
4.5. Завод изготовляет изделия, каждое из которых должно подвергаться четырем видам испытаний. Первое испытание изделие проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе — с вероятностью 0,95; веретьев с вероятностью 0,8 и четвертое — с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно: А в все четыре испытания; Р е ш е н н е. »р (з) = 0,00015+ 0,00565я+ 0,06965ая+ + 0,34315зз+ 0 58140г»1 Р(А) =Р,,=0,58140; Р(В)=Р»»=-0,06965; Р (С) = тсв ы = 1 — Ро,» Р» 4 = 0,99420.
4.6. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью г (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р. Для контроля из продукции завода выбирается и изделий. Найти вероятность следующих событий: А — ни в одном нз изделий не будет обнаружено дефекта; В в среди и изделий ровно в двух будет обнаружен дефект; С в среди и изделий не менее чем в двух будет обнаружен дефект. Решение.
Вероятность того, что в одном наугад взятом изделии будет обнаружен дефект, равна рг. Р (А) = Р, „= (1 — рг)"; Р(В)=Р» =-С„- (рг) (1 — рг)" ', Р(С) =1 — Р, „— гз, „=1 — (1 — рг)" '((1 — рг)+ирг) 4.7. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 2)) новых электролампочек. Каждая электролампочка в течение года перегорает с вероятностью г.
Най~и вероятность того, что в течение года пе менее половины первоначально включенных лампочек придется заменить нозымп. »-» »-» Ответ. Р (А) = 1 — ~ч", Р„, = 1 — ~ С~»г'"(! — г)в» ", н=» т=» 4.8. Система противовоздушной обороны обороняет территорию от воздушного налета, в котором принимает участие И самолетов. Дли поражения каждого из самолетов выделяется два истребителя-перехватчика; каждый истребитель поражает цель независимо от другого с вероятностью р.
Найти вероятность того, что в составе воздушного налета будет поражено: А †ров трп самолета;  — не менее двух самолетов. О т в е т. Р (А) = С~к 1! — (\ — Р)а]а (! — Р)»»м з> Р (В) =1-(1 — р)™ — й7(1 — р)в -»~[1 — (1 — р)я). 77 4.9. Самолет обстреливается и независимыми выстрелами) каждый из выстрелов с вероятностью рт попадает в зону, где он поражает самолет немедленно; с вероятностью р попадает в топливный бак и с вероятностью ра не попадает в самолет вообще. Снаряд, попавший н топливный бак, оставляет в ием пробоину, через которую вытекает Й литров горючего в час.
Потеряв Л литров горючего, самолет становится небоеспособным. Найти вероятность того, что через час после обстрела сагюлет не будет боеспособен. Решение, В результате каждого выстрела может произойти одно из трех событий: Ах — самолет поражен; А,— пробоина в баке; Аз — нет попадания. Вероятности этих событий р„, р, р,. Вероятность того, что в результате и опытов событие Аг произойдет т„ раз, А, — гля раз и Аз — та раз, равна а рпч 1=1 ч Самолет может быть поражен двумя способами[ или произошло хотя бы одно попадание в зону безусловного поражения, или не произошло ни одного попадания в эту зону, но зато самолет выведен пз строк за счет вытекання горюГЛ1 чего (для чего должно быть т,)г > Л).
Обозначая 1 ь! наибольшее целое число, содержащееся в М/)г ( сделая часть» от числа Л)Ф), находим вероятность поражения самолета' л Р(А)-1 (1 — р,) + '5'. " РГ.р,"- .. глз! (н — т,)! ни= 1-~-1 4.10. Производится три опыта, кажлый из которых заканчивается результатом А, с вероятностью ргн А, — с вероятностью рен Аа — с вероятностью р„ и Аа — с вероятностью рж (г' = 1, 2, 3 †ном опыта; ~~ рд 1). Тра/=1 буется найти вероятность р того, что в результате этих трех опытов событие Аг произойдет один раз, А, †д раза, а Аа и Аа не произойдут совсем. 78 о ро (з1 хю ~о ~4) П (Р1 гт, Р <г + ро1гао + рогв4) вероятность Р представляет собой козффнциент прн в разложении оро(зт, ию вю з4) по степеням аргументов.
4.11. Первый прибор состоит из и, узлов, второй из и, узлов. Каждый из приборов работал в течение времени За зто время каждый из узлов первого прибора выходит из строя, независимо от других, с вероятностью д„ второго †вероятностью д,. Найти вероятность Р того, что за время 1 в первом приборе выйдет из строя л41 узлов, а во втором — то узлов. Ответ. Р=сл,'д",'П вЂ” д,)" '"с",,';д!,"*(1 — до)л* 4.12*. В условиях задачи 4.11 найти вероятность того, что в первом приборе выйдет из строя больше узлов, чем во втором. Р е ш е н и е.
Вероятность события  — в первом приборе вышло яз строя больше узлов, чем во втором — находим по формуле полной вероятности с гипотезами 01 — в первом приборе вышло из строя 1 узлов (1 =1, 2, ..., пт). Р (Ц) = ~",1'„, = С' д, '(1 — д,) л 1-1 1 — 1 Р(В~Но) ~ Р1;„= 'У С1 дг (1 д,) .-У 1=0 у=о Р (в(Н1) =1 (1 ) и,-';1). (1" и +1), Если и е 'по+1, то л, 1 — 1 Р (В) =Д С„д,'(1 — д,)л -' ", С.',дг (1 — д,)".-т; =1 1=О если пт и, + 1, то л 1 Р (в) =- ~ с„' д,'()в 1'=1 д,)л -,У; С,'„д1, (1 — д,)"*-т+ 1=0 л + 2, 'с.'д((1 — д,)" о=оо41 79 Написать производящую функцию и указать, коэффициент при каком члене ее разложения будет равен искомой вероятности.
Ответ, Р= Р11РооРш+Рюршроо+р Р Рш. Производящая функции 4.13. Монета бросается ш рач. того, что герб появится не менее Й (й(е <т). ~Г, г Решение. р= ~ Р; =~,С„', г=а с=а Найти вероятность р раз и ие более 1 раз 4.14, Прибор, состоящий из и узлов, работал в течение времени С Надежность (вероятность безотказной работы) каждого узла за время 1 равна р. По истечении времени г прибор останавливается, техник осматривает его и заменяет узлы, вышедшие из строя. На замену одного узла ему требуется время т. Найти вероятность Р того, что через врегш 2т после остановки прибор будет готов для нормальной работы.
Ре щенке. Для этого нужно, чтобы за время 1 вышло из строя не более двух узлов: Р=) +к(! — Р)рь -,,- (1 — Р) р 2 4.15. с!то вероятнее, выиграть у равносильного противника; !) три парпш из четырех нлп пять пз восьми2 2) не менее трех партий из четырех нлп не менее пяти партий из восыш.' р е 1п е н и е. т/1~х ! 5/!1 7 !) Р,,==-С,' — ) ==.—; Р,ы —— С'( — ) = —; Р, ) Р- м '~2) 4 ', в(,2) 32 Трн партии пз четырех выиграть более вероятно.
)Рва ---Са( — ) чСв ( ) +Се( ) +(2) оь,а ) ~'з,м Не менее пяти партий из восьми выиграть более вероятно. 4.16. Человек, принадлежащий к определенной группе населения, с вероятностью 0,2 оказывается брюнетом, с вероятностьнз 0,3 †шатен, с вероятностью 0,4 †блондин и с вероятностью 0,1 †рыж. Выбирается наугад группа из шести человек. Найти вероятности следующих событий: А в в составе группы не меньше четырех блондинов; В в в составе группы хотя бы один рыжий; С вЂ” в составе группы равное число блондинов и шатенов.
Ре ше вне. Р(А) 1 (О 6в-г 6 О 4 Оба ) 15.0 4Я,О ба) О 455, Р(В)=1 (1 01)' 0468' С=Со+Ст+Ся+Са где Св — в группе нет ни блондинов, ни шатенов; С, — в группе по одному блондину и шатену, а остальные — ни то, ни другое; Св — в группе по два блондина и шатена, а остальные — нн то, ни другое; Са — в группе по три блондина и шатена. Р (Со) = (1 — 0,7)" 0,0007; Р(С„).=,, 0,3 0,4(1 — 0,7)'- 0,02921 Р(Се)=,,;, 0,3е 0,4'(1 — 0,7)е 0,1166; о! Р (Сз) = 0 3з.О 4з 0 0346. Р (С) 0 181 4.17.
Мишень состоит нз яблока и двух колец. 1!ри одном выстреле вероятность попадания н яблоко равна р„ в первое кольцо — р„ во второе †;! вероятность непопадания в мишень р . По мишени произведено пягь выстрелон. !.!айти вероятность того, что они дадут два попадания в яблоко и одно — во второе кольцо.
ь о ~ ь (1 т В Е . 7ЗМ и ., а,, = — „0— ,1,2, ЛР,Рьйа=-ЗОРЕ,,Ра 4.18. Производится стрельба по цели тремя снарядами. Снаряды попадают в цель независимо друг ог друга. Лля каждого снаряда вероатность попадания в цель равна 0,4. !.сли в цель попал одни снаряд, он поражает цель (выводит ее из строя) с вероятностью 0,3; если два снаряда — с вероятностшо 0,7; если три снаряда — с вероятностшо 0,9. Найти полную вероятность поражения цели. Р е ш е н и е.
Гипотезы Нг — в цель попало ! снарядов (1 = 1, 2, 3); Р(Н,) =3 0,4.0,6'=-0,432; Р (На) = 3'0 4а'0 6 =-0 288' Р (Н ) = 0,4а = 0,064. Событие А †поражен цели, Р (А) =-0,432.0,3+0,288 0,7+0,064 0,9 ж 0,389. 4.19. Производится стрельба по цели и независимыми выстрелами. При одном выстреле попадание в цель происходит с вероятностью Р. Если в цель попало лл снарядов (лл = 1, 2, ..., и), то условная вероятность поражения цели выражается формулой Р (А [ т) = 1 — з'", где О < з < 1. Определить полную вероятность пораягения цели. (» е ш е н п е. Гипотезы ̈́— попало ш снарядов (лл = — ...,и). и я Р (А) = ~», 'Р(Нт) Р(А[ил) =* ',~~~С,',"Рт(1 — р)" т(1 — зт). т=1 Упростим это выражение; так как 1 — за=О, то Р (А) = ~ Сырт (1 — р)а '" (1 — лт) = т=о з в = ~ С Рт(1 — Р)а "—,)р~С (Ла)" (1 — Р)" " т=е т=о но ~з СтР»ч (1 Р)п — т т=о далее, по формуле бинома и ~ч»', С„(рз) (1 — Р) " '" = [рз+ 1 — Р)" = [1 — Р (1 — з)]"; т=о поэтол»у Этот же результат получается проще, если заметить, что Р(1 — з) есть вероятность поражения цели прн одном выстреле н что из формулы Р(А[т) = 1 — зт следует независимость поражеаий цели прн любом заданном числе попаданий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
