Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ряд распределения величины Х 3 рн-1 Р Ч рр р; — ) нт н !р о —,лр =д — ! — )+лр Н(1 — р „, 1 — р Кр1, ! — р,) ' 1 — р 1 Случайная величина Х подчинена закону Пуассона тическим ожиданием а = 3. Построить многоугольределения и функцию распределения случайной ве- Х. Найти: а) вероятность того, что случайная ве- Х примет значение меньшее, чем ее математическое е; б) вероятность того, что величина Х примет поьное значение. 101 Ответ.
а) 0,423; б) 0,950. 5.19. Поток заявок, поступагощих на телефонную станцию, представляет собой простейший (стапионарный пуассоновский) поток. Математическое ожидание числа вызовов за час равно 30. Найти вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов. О т в е т. 0,0902. 5.20. При работе электронной вычислительной машины время от времени возникают неисправности (сбои), Поток сбоев можно считать простейшим.
Среднее число сбоев за сутки равно 1,5. Найти вероятности следующих событий: А — за двое суток не будет ни одного сбоя; В в в течение суток произойдет хотя бы один сбой; С в за неделю работы машины произойдет не менее трех сбоев. Ответ. Р (А) =0,050; Р(В) =0,777; )з (С) =0,998.
5.21. При заданном положении точки разрыва снаряда цель оказывается накрыта пуассоновским полем осколков с плотностью Х = 2,5[оск./лр]. Площадь проекции цели на плоскость, на которой наблюдается осколочное поле, равна 8 = 0,8[м']. Каждый осколок, попавший в цель, поражает ее с полной достоверностью. Найти вероятность того, что цель будет поражена. О т в е т. 0,865. 5.22. Та же задача, но каждый осколок, попавший в цель, поражает ее не с полной достоверностью, а с вероятностью 0,6.
Р е ш е н и е. Рассмотрим вместо заданного поля осколков «поле поражающих осколкова с плотностью Хе=А 0,6=- =1,5[пор. оск./ме]. Математическое ожидание числа поражающих осколков, попавших в цель, будет он=Хна = 1,2[пор.оск.]; отсюда вероятность поражения )рт = 1 — е ни = 1 — 0,301 = 0,699. Другое решение. по формуле полной вероятности с гипотезами Ни— ам '" в цель попало гл осколков (т = 1, 2, ...), Р (Н ) = Р = — е и= и= а=)и=2. А — поражение цели, Р(А)Нм)=1 — (! — 0,6)и; М Ю Р(А)= ~т тР, !! — (! — 06)н)=! — Ро — ~' 1 ( ' )) е-«= гл! гн = т /и=а =1 — е е«<т-егм 1 — е т,а=0,699, 5.23.
Электронная лампа работает чсправно в течение случайного времени Т, распределенного по показательному 102 закону! О при 1с.О, ре Рг при 1) О. По истечении времени Т лампа выходит из строя, после чего ее немедленно заменяют новой. Найти вероятность того, что за время т: а) лампу не придется заменять; б) лампу придется заменять ровно три раза; в) лампу придется заменять не менее трех раз. Решение. Отказы ламп образуют простейший поток с плотностшо й. Математическое ожидание числа отказон Х за время т равно а = йт. в) )сз = 1 [l с-, '— Рт к Ре] = 1 — е "с(1 — рт — р ()гт) ). 6.24.
Техническое устройство состоит из трех узлов; в первом узле л, элементов, во втором ле элементов, в третьем ле элементов. Первый узел безусловно необходим для работы устройства; второй и третий дублируют друг друга. Время исправной работы каждого элемента распределено по показательному закону; среднее время работы элемента, входящего в первый узел, равно ,р, во второй или уы> третий узлы — 1ср.
Первый узел выходит из строя, если (с> в нем отказало не менее двух элементов; второй узел (так же, как и дублиру1ощий его третий) выходит из строя при отказе хотя бы одного элемента. Для выхода из строя устройства в целом достаточно, чтобы о~казал первый узел или второй и третий вместе. Найти вероятность того, что за время х устройство выйдет из строя. ш е н и е. Вероятность выхода из строя одного элеервого, второго или третьего узлов за время т равна ственно =1 — ехр ~ — — 1; р =р =1 — ехр ( — — 1 ,О1) я= е= 1(с1 ) ср ср х=ек ность выхода нз строя первого узла за время тп )се „=1 — (1-р,)" — л р (1 — р,)" ости выхода из строя второго и третьего узлов: (1 сов) ' ) а=1 (1 Ре)сн Вероятность выхода из строя всего устройства.' Р = узх+ (1 — Рх) 7 хтха' б.25.
Искусственный спутник земли, движущийся по своей орбите в течение л суток, может случайным обрааом сталкиваться с метеоритами. Метеориты, пересекающие орбиту и сталкивающиеся со спутником, образуют пуассоновский поток с плотностью и (метеоритов в сутки). Метеорит, попавший в спутник, пробивает его оболочку с вероятностью р„. Метеорит, пробивший оболочку, с вероятностью рх выводит из строя аппаратуру спутника. Найти вероятности следующих событий: А в за время полета спутника его оболочка будет пробита; В в за время полета спутника его аппаратура будет выведена из строя; С в за время полета спутника будет пробита только оболочка спутника, а аппаратура будет действовать.
Р е ш е н н е. Математическое ожидание числа метеоритов, пробивающих оболочку: а,= — нпрю Математическое ожидание числа метеоритов, пробивающих оболочку н поражающих аппаратуру: ах = клр,р,. )з (А) = 1 — е о = 1 — е я Рй (з (8) 1 с-а, 1 с- нчл„ю. Сз (С) - Р (А) ~ (Д) — е нлШР— е хла 6.26. Число атак истребителей, которым может подвергнуться бомбардировщик над территорией противника, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием а = 3. Каждая атака с вероятностью 0,4 заканчивается пораженнем бомбардировщика. Определить: а) вероятность поражения бомбардировщика; б) ту же вероятность, если число атак истребителей †случайная величина и в точности равна трем.
Ответ. а) О,б99; б) 0,784. Б.27. При работе некоторого приборз в случайные моменты времени возникают неисправности. Время Т работы прибора от его включения до возникновения неисправности распределено по показательному закону с параметром хс 1 че "~ при 1)0, 0 при 4(0, 104 При возникновении неисправности она мгновенно обнаружиг вается, и прибор поступает в ремонт. Ремонт продолжается время 1е, после чего прибор снова включается в работу.
Найти плотность распределения у'(г) и функцию распределения Р'(т) промежутка времени Т' между двумя соседними неисправностями. Найти его математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что время Т' будет больше 21. Решение. Т" = Т+г„ < те "" ' при 1)1е, О при 1((е. С > ~ ~ е | ~ ~ ~ ! ~ ~ 1 ) ~ | О О О ~ ~ ~ 1 — е "' а' при 1) Ге, Г* (1) = 0 прн Г е.(е. М<Т]= — '+г,: 0<Т")= — ',; Р (Т ) 2ге) =1 — г". (21е) =е 5.28. Бремя Т между двумя сбоями вычислительной машины распределено по показательному закону с параметром уп Хе "~ при 1) О, 0 при (е.О. Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение времени т.
Если за время т произошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через время т после начала решения задачи. Рассматривается случайная величина 9 †вре, за которое задача будет решена. Найтя ее закон распределения и иатематическое ожидание (среднее время решения задачи). О т в е т. Случайная величина О дискретна и имеет ряд распределения 105 где р=е "'; т т и = — = — ° л) е 6.29. В условиях прелылуц!ей залачи найти вероятность того, что за данное время 1= )ет будет решено не менее и задач (и ( й). Решение. Обозначим Р ь вероятность того, что за время г=-ят будет решено ровно и задач. Р „есть вероятность того, что из Й промежутков времени т ровно и будет таких, в которых не будет сбоев.
Вероятность того, что за время т не будет сбоя: р = Р (Т ) т) = е ". По теореме о повторении опытов р Сп1рвдь-ш Сл~е- иьт (1 е — х )Ф-т Вероятность того, что булет решено не менее и задач, ь ь )с ь — — ~~'~ Р; е — — ~~'~ С!е ""(1 — е ы)ь 3=е! или, если это удобнее, т-г )с'„ь — — 1 — ~~', Сье '"'(1 — е ")е '. 5.30. Охотники, собравшиеся для охоты на волка, выстраиваются в цепь случайным образом так, что расстояние между двумя соседними охотниками О не зависит от других расстояний и распределено по показательному закону с параметром Х. Волк бежит лерпендвкулярно цепи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
