Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Очевидно, нрн лд" < 1 первый способ выгоднее второго, а прн щ" > 1 второй способ выголнее первого. Установим, при каком о второй способ становится выгоднее и каково при этом будет оптимальное значение и =-.лч. Из неравенства лд > 1 вытекает д > — , а из последнего Я 1 „"l и 1 ((> 0,694, так как минимум — „для целых и постигается прн п=й. Предположим, что д > 0,694, и найдем то значение л = пн, которое обращает в минимум среднее количество анализов, приходящееся на одно животное: )с = — "=1 — и" + —. м(к„) „1 н и' 112 Для етого надо найти наименьший положительный корень уравнения «!й»» —" = — д" )пд — — О, а)у'(х)=С а ( а! 0 при хЕ(0, а), прн х((0, а). при х (О, прн 0(х(а, прн х) О.
в) «" (а) — Е( — ) = —. !И взять ближайшие к нему два целых числа и прямой подстановкой их в ««7„ выбрать из них оптимальное и". Уравнение 1 — д" 1пд= — подстановкой — 1пд=а; аа=х приводится к й« !ПЗ хая "=- а ( а = — 1п д ( — = О, 366) . Последнее уравнение 3 при малых а (и, значит, малых р=-1 — д) ямеет решение х )«а, откуда и" — =. При немалых а непосредственное сравнение величин Й, 7«' и !7« позволяет сделать вывод, что всегда «Сз ( «««в и что Йз ( Рс при 0,694 ( д ( 0,876; следовательно, при 0,694 ( д ( 0,876 оптичальное пн =- 3. Можно показать, что прн д ) 0,889 (р ( 0,111) хорошее приблп- ! жение дает формула пя =+О,о. Ур 5.40.
Случайная величина Х распренелепа по «закону прямоугольного треугольника» в интервале (О, а) (рнс. 5.40). а) Написать выражение плотности распределения. б) Найти функцию распределения Р(х). в) Найти вероятность попадання случайной величины Х на участок от а/2 до а. г) Найти характеристшси вели шны Х; ш„Р„, а„р,(Х1. О т в е т. й аа а г) лг — 1 .0 = —; и ==; 3 " 13' " 3р'2' )тз ~Х) = сса (Х) — Згнк~~а (Х1 + 2гл т = 135 5.41. Функция распределения случайной величины Хзадана Г~'- графнкои (рис, 5.41). Найти математн- ('-2 ческое ожидание и дисперсию величины Х а+Ь (а — Ь)т Ответ.т = —;.0 = х 2 х 12 5.42.
Случайная величина Х под- пшена закону Симпсона (кзакону равнобедренного треугольникал) на участке от — а до +а (рис. 5.42а). а) Написать выражение плотности распределення, б) Построить график функции распределения. а. Рнс. 5.42а. Рис. 5.426. в) Найти числовые характеристики случайной величины Х: гл„, .0„, о„)ге[Х). г) Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал ( ††; а) . 2 ' О т в е т. — (1 — — ) при х~( — а, а), 1 ' (х(т а) У'(х) а(, а ) О при х ГГ( — а, а).
б) График функции распределения при хЕ( — а, а) составлен из двух участков парабол (рис. 5.42б). аа а в) т =О; 22„5, о„==; )га(Х) =О. 114 6,43. Случайная величина Х распределена по закону Коши: а ! (х) -1+„т ° а) Найти коэффициент а; б) найти функцию распределения тч(х); в) найти вероятность попалания величины Х на участок ( — 1, -)-1); г) существуют ли для случайной величины Х числовые характеристики. математическое ожидание и дисперсня"г 1 1 . 1 Ответ.
а) а= —; я' б) Г(х) = — агс!их — ' — ! и 2 1 в) Р ( — 1 <Х<1) .=- —,; г) характеристики ш„и.0„не существуют, так как выражающие их интегралы расходятся. 5.44. Случайная величина Х подчинена показательному закону распределения с параметром ц; / (ге-н' прн х ) О, У(х) = 0 при х < О. а) Построить кривую распределения; б) найти функцшо распределения Г(х); в) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем ее математическое ~Т > ожидание. Ответ. а) См, рис. 5.44. 0 при х<0, б) г" (х) = 1 — е "х прн х)0; в) гл,= —; Р (Х< — ) = Рнс. 5.44. 2. ина Х подчинена закону Лапласа: е-л~~к~ ()с ) О) ; б) построить графики плотности распределения; в) найти гн„ и Вх.
при х < О, при х) О. Графики плотности расцределення и функции распределения даны на рис. 5.45,а, б. в) лг„=О; 12 * —,, 2 Рнс. 5.45. 5.46. Случайная величина 14 †расстоян от точки попадания до центра мишени †распределе по закону Релея; ( Ага-а"* прп г ) О, 0 при г ( О (см. рис. 5.46). а) Найти козффициент А; б) найти моду ьг2 случайной величины гс, т, е, точку максимума ее плотности рзспреде- лення; в) найти лг, и 12;, г) найти г"/л) вероятность того, что в результате выстрела расстояние от точки попалания до центра мишени окажется меньше, чем мода.
Ответ. а) А=254; б) гий= Д . =- '.: в) т, =--а 1Г'" = у'и; 19, 4 — и з4 — и ),( 4а' 2 = 0,393. 5.47. Случайная величина Х с вероятностью р, имеет плотность распределения уг(х), а с вероятностью ря †плотность распрелелення гз(х) (р,--, 'р, = 1). Написать выражение лля плотности распределения и функции распределения величины Х. Найти ее математическое ожидание и днсперсшо. Решение.
По формуле полной вероятности (с гипотезами Ргг — величина Х имеет плотность распределения рг(х) 116 (1 1, 2)) получаем к Е(х) =Р(Х(х) =р Г (х)-)-р Гв(х), где г'г(х) = ~ у;(х) г(х; З У(х) Р,Д, (х) +Рв Уа (х)1 т„-р, ) кгт(х)дх+рв ~ кга(х) дх-р,ты1+рвты>, гле тм>, тои — математические огкидання для распределений к ' к 1' (х), У"а(х); .О„р, ~ х'~'т(х) г1х+рв ) х'гв(х) г(х — т,' р ссади — , 'р.сст1 — т' а ' е 2 г где сс~'1, а"~ †втор начальные моменты для распрелелеш.й в ' а у,(х) и у,(х), 5АЗ.
Ьраковка шариков для подшипников производятся следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром дм но прохолит через отверстие диаметром Н, ) гГм то его размер считается приемлемым. Если какоеннбуль нз этях условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что лиаметр шарика В есть нормально распределенная случайная величина с характеристиками и',-+Нр а — Н, та = ††' и о„ = †та .
Определить вероятность р того, что шарик будет забракован. Р е ш е н н е. 2<(з' ( ' ') риложение, табл. 2) 117 6.49. Известно, что размер ху шарика для подшипников является случайной величиной, распределенной по нормаль- ному закону. Браковка шарика производится так же, как указано в задаче 5.48. При атом известно, что средний размер шарика равен тл — — — , а брак составляет 10 / всего А+л2 о выпуска. Определить среднее квадратическое отклонение диаметра шарика ою Р е ш е н и е. Вероятность брака Р=-2 — 2Ф" ( ' ') =0,1, 2ои 'Ла — Лгт откуда Ф* ' "~ = 0,95.
По таблицам функции Ф*(х) (см. 2п» Иа — Й, приложение, табл. 2) находим †"" — = 1,25; и„ = 2оа ' ' а 2,5 5.50. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет н 0,5 минуты— красный, затем опять 1 минуту горит зеленый свет, 0,5 ми- нуты †красн и т. д. Некто подъезжает к перекрестку на машине в случайный момент, не связанный с работой светофора. а) Найти вероятность того, что он проедет перекресток, не останавливаясь.
у/б б) Найти закон распределекня и числовые характеристики времени ожи- я/г дания у перекрестка. 1 Р е ш е н и е. Момент проезда ав! томашины через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периолу смены цветов в светоРис. 5.50. форе. Этот период равен 1 -',- 0,5 == =1,5 (мин) (рнс.
5,50). Для того чтобы машина проехала через перекресток, не останавливаясь, достаточно, чтобы момент проеада перекрест- . ка пришелся на интервал времени (О;1), Для случайной величи- ны, подчиненной закону постоянной плотности в интервале (О; 1,5), вероятность того, что она попадет на интервал (О;1) 2 2 равна —, ° 1= —. Время ожядания Т,. есть смешанная слу- 2 чайная величина; с вероятностью — она равна нулю, а с веро! ятностью — принимает с одинаковой плотностью вероятности 3 любое значение между 0 и 0,5 мин. 11$ Среднее время ожидания у перекрестка М [Т~~[ = О у +0,25 3 0,083 [мин).
Дисперсия времени ожидания В, = а,[Т, [ — (М[Т,„))я 0,5 = Оа.--+ — 1(а — нг — (0,083)вх0,0208[мина);пг '=0,144[мин[. о 5.51. Кривая распределения случайной величины Х представляет собой полузллипс с Г полуосями а и Ь (рис.
5.51а) Рнс. 5.5!а. Рнс. 8.516„ Величина а известна. Требуется определить величину Ь, найти гнн, с)„, найти и построить функцию распределения Г(х). * Решен п е. Величина Ь находится из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения; — — ь=- —, Плотность распределения у (х) — а [ — [~ а' — хя при хЕ( — а; а), ри х(( — а; а), и„=- О. Дисперсия 0 прн х< — а, —, ~х "~иа — х —;-а агав[и — -'- — ~1 ге, . л,аан1 ц ! 2 — а(х(а, при 1 при х) а. . рис. 5.51б.
119 6,52,в Показать, что функции вида ах'в ""' при х ) О, Л() ° ° О при хе.,О, Написанные выше интегралы запевай (сех)а= у приводятся к гамма-функции Эйлера: 2ае+г Ю где Г (т) = ~ е '1 г е(1 (т) О), причем Г (т+ 1) = тГ (т) о и для целых п =1, 2, ... получаеч Г (и+1) =-и1, Г ' и-(- — ) = „" 1' и, (2п — 1)!! =1 3 5...(2п — 1). ,/ 11 (2л — 1)О Из заданных условий находим Г ('+ ') Г (', 2) откуда г ('~+) „(5+1 ) ви" ' Второй начальный момент г( — ) а,[Х)=~ ах'"'е """ г1х= а ь 2а".~ а =а— 2сгю+ гав 2ае 120 где и ) О и а ь Π†некотор постоянные и в †натуральн число (ю = 1, 2, 8, ...), обладает свойствами плотности распределения. Определить параметры а и а, исходя из заданного математического ожидания т„, и найти ст„. Р е ш е н н е.
Параметры а и а находятся из условий О Ф 1 ах'е '"О ах=-1 ( ах'+те '""' е(х=т . 1 е' е е откуда 2Гз (— Некоторые из законов вида у',(х) имеют определенные названия: уз(х) называется закоколт Релел, ат" (х) †закон Максвелла. Для закона Релея (з=1) / ахе ""' при х>0, у' (х) 0 при х(0 имеем соотношения се= — —; а =2аз=г —; лл =«з', ~ — — 1~. Длн закона Максвелла (з=2) [ охте "'" при х') О, Уз(х)=' 0 при х- О имеем соотношения 2 чаз 32 з г'Зк 3 а меч ание. Все законы вида 1т (х) = =(' ™ ахзе-™ при х ) О, О прн х < О при заданном з яаляются однопараметричными, т, е, зависят только от одного параметра, в качестве которого можно задать, например, л~атематнческое ожидание (илн дисперсию).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
