Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Найти вероятность того, что прибор окончательно выйдет из строя в точности при )г-и испытании. Р е ш е н н е. Для того чтобы произошло данное событие, нужно, во-первых, чтобы прибор вышел из строя при А-т1 испытании — вероятность этого р. Кроче того, нужно, чтобы за предыдущие А — 1 испытанпй прибор выш ел из строя ровно один раз; вероятность этого равна ()т — 1)р(1 — р)" Искомая вероятность равна (Ь вЂ” 1) ра(1 — р)ь '.
2.84. Самолет, по которому ведется стрельба, состоит нз трех различных по уязвимости час~ей: 1) кабина летчика н двигатель, 2) топливные баки и 3) планер. Для поражения самолета достаточно одного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую, или трех попаданий в третью. тностью вторую и с вероятностью ра — в третью. Попавшие снаряды распределяются по частям независимо друг от друга.
Известно, что в самолет попало лг снарядов. Найти условную вероятность поражения самолета Р (А ! гл) при этом условии для лг = 1, 2, 3, 4. Р е ш е н и е. Чтобы самолет оказался пораженным при одном попадании, нужно, чтобы снаряд попал в первую часть: Р(А(1) р,. Йля того чтобы найти Р (А (лг) прн лг ) 1, перейдем и противоположному событию Р (А ) гл) — непоражение сазюлета прп гл попаданиях.
Чтобы самолет был не поражен прн двух попаданиях, надо, чтобы оба снаряда попали в планер или один — в баки, а другой в в планер; Р ( 4 ( 2) = рз+ 2рерз' Р (Л (2) =-1 — (Л',„'+ 2Ы~а). Аналогично получаем Р (л ! з) = 1 — зр р'! Р (л ( 4) = 1. 2.85. Те же условия, по в предыдущей задаче, но первая часть забронирована и сделана неуязвимой для попадающих в нее снарядов.
Найти Р (А ( 1), Р (А ) 2) и Р (А ) т) при лг ) 2. От не т. Р(А! 1) =О; Р(А(2) =р,'; Р (А!т) =.1— ~,„,+., „+,,+С,,„,+.„,з,+,, —. „„,] 2.86. Прибор состоит из трех узлов. Г!ри включении прибора с вероятностью р, появляемся неисправность в первом узле, с вероятностью рв — во втором узле, с вероятностью р, — в третьем узле. Неисправности в узлах возникают независимо друг от друга. Каждый из трех узлов безусловно необходим для работы прибора. Для того чтобы узел отказал, необходимо, чтобы в нем было не менее двух неисправностей. Найти вероятность того, что прибор благополучно выдержит и включений.
Ре шеи ив. Чтобы прибор работал (событие А), нужно, чтобы работали все три узла. Вероятность того, что первый узел выдержит и включений, равна вероятности того, что прн л включениях в нем окажется не более одной неисправности (О или 1): (1 — р,)" + лрд(1 — р )" ', Вероятность того, что все трн узла выдержат и включений, равна (а' з ~~Р (з (А) = Ц [(1 — Рг)"-(- пР; (1 — РД" ~=1 2.87. Авиабомба, предназначенная для бомбометания по наземной цели, снабжена радиовзрывателем, работающим по си~папу от поверхности земли. Взрыватель срабатывает на высоте л.
Эффективное действие бомбы по наземной цели имеет место тогда, когда л ( л ( ля. При л ) л, наблюдается преждевременный разрыв; при и с. л, †запоздалый разрыв; оба неэффективны. Вероятность нормального разрыва равна р, преждевременного в Р, запоздалого — Р;1 Рт -Ря+Р=1. С целью повысить вероятность нормального разрыва на бомбе устанавливается второй взрыватель, имеющий те же характеристики, что первый, и работающий независимо от него. При каком условии эта мера повысит вероятность нормального разрыва бомбыр Р е ш е н и е, Прн одном взрывателе вероятность нормального разрыва р = 1 — Р, — р,.
При двух взрывателях вероятность нормального разрыва равна р' =РЯ + 2РР, (либо оба взрывателя сработают нормально, либо один нормально, другой запоздает). Решая неравенство Р' =Р' †, '2Рря ) Р, получаем требуемое условие для Р' > Р.' р+2ре) 1, т. е. р, >Р,. ГЛАВА 3 ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА Если об обстановке опыта можно сделать и исклкгчзгащих друг друга предположений (гппотез) Н,, Н„..., Н„ и если событие А может появиться только при одной из этих ги. потев, то вероятность события А вычисляется по Формуле подмой вероятности: Р(А)=Р(Н») Р(А]Н»)-г Р(Н») Р(А ~Н<) ! +Р(Н ) Р(А ) Н ) л Р(А) = я, 'Р (Нг] Р (А! Нг), г=» где Р(Н;) — вероятность гипотезы Нб Р(А ~ Н,) — условная вероят- ность события А при этой гипотезе.
Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н,), Р (Н,), ..., Р(Н„), а в результате опыта поивилось событие А, то с учетом этого события <новые», т. е. условные, вероятности гипотез вычис- ляются по Формуле Велеса: Р(Н,~А)= ' ' ' (г'=-1, 2, ..., л]. л ~ЧАР(Н,) Р(А] Нг) г=г Формула Бейеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипо- тез с учетом наблюденного результата опыта. Если после опыта, закончившегося появлением события А, про- изводится еще адин опыт, в котором может появиться илн ие по- явиться событие В, то вероятность (условная) этого последнего со- бытия вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез Р(Нг), а новые Р (Н; ~ А); Р (В 1 А) = <», 'Р (Н; ] А] Р (В ( Н »А).
<=1 51 3.1. Имеются три одинаковые с виду урны, В первой а белых шаров и Ь черных; во второй с белых и д черных; в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что зтот шар белый. Ре ш е н и е. Пусть собыжш А — появление белого шара. Формулируем гипотезы: Н вЂ выб первой урны; Н вЂ выб второй урны: На †выб третьей урны. Р(Н,)=Р(Н,) Р(Н,)= —, Р (А ( Н,) =-,— ',; Р (А ( Нз) =,— '„; Р (А ) Н,) = 1. По формуле полной вероятности Р(А) = — —,+ — — + — 1- — ~ — + — —;-1~.
1 а ! с 1 ! / а с 3 а+Ь 3 с+3 3 3 (,а+Ь с+И ',/ ' 3.2. Прибор может работать в двух режнмах! 1) нормальном н 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный в в 20сь. Вероятность выхода прибора нз стран за время ! в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном †,7. Найти полную вероятность р выхода прибора из строя за время г'.
Р е ш е н и е. р 0,8 0,1+ 0,2 0,7 = 0,22. З.З. Группа самолетов в составе: один ведущий и два ведомых, направляется на бомбометание по объекту. Каждый из них несет по одной бомбе. Ведущий самолет имеет прицел, ведомые — не имеют и производят бомбометание по сигналу ведущего.
По пути к объекту группа проходит зону противовоздушной обороны, в которой каждый пз самолетов, независимо от других, сбивается с вероятностью р, Если к цели подойдет ведущий самолет с обоими ведомыми, они поразит объект с вероятностью Р,, Ведущий самолет, сопровождаемый одним ведомым, поразит объект с вероятностью Р, Один ведущий самолет, без ведомых, поразит объект с вероятностью Р, . Если ведущий самолет сбит, то каждый нз ведомых, если он сохранился, выходит к объекту и поражает его с вероятностью Р Найти полную вероятность поражения объекта с учетом противодействия.
Реше Н,— к Н,— к ̈́— к Н,— к Н,— Вероят н и е. формулируем гипотезы: объекту вышли все три самолета; 'объекту вышел ведущий с одним ведомым; объекту вышел один ведущий; объекту вышли два ведомых (без ведущего); объекту вышел один ведомый. ности этих гипотез: Р(нт) =(1 — р)'! Р(Н)=гр(1 — р)а; Р(Н)=.рт(! — р); Р (Н,) =р(1 — р)а; Р (Н,) =гра(! — р). Обозначим А — поражение объекча. Р (А ( Н ) = Рг, В Р (А ( Нт) =- Рт, ~* 'Р (А ~ Нз) = Р, о! Р (А ~ Нч] =- 1 (! Ро, т)а, Р (А (Нь) = Ра, г.
Р(А)==(1 — Р)аРыт-2Р(! Р)зРт,т ! РЯ(1 Р)Рьо", -~-Р(! — Р)'(1 — (1 — Рч, т)') л-2Рх(1 — Р) Ро 3.4. Радиолокационная станция ведет наблюдение за обьектом, который может применять илн не применять помехи. Если объект не применяет помех, то за один цикл обзора станция обнаруживает его с вероятностью р;, если применяет в с вероятностью рг ( р,. Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи, равна р и не зависит от того, как и когда применялнсь помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за п циклов обзора. Р е ш е н и е.
Полная вероятность обнаружения за одян цикл (1 — р)ра-'-, рр,; вероятность хотя бы одного обнаружения за и циклов равна 1 — 11 †(1 — р)р — рр 1". 3.5. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе вмеются трн контролера; изделие осматривается только одним контролером, с одинаковой вероятностью первым, вторьш илп третьим.
Вероятность обнаружения дефекта (если он имеется) для ю'-го контролера равна р;(! = 1, 2, 3). Если изделие не было забраковано в цехе, то оно попадет в ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью ре. Определить вероятности следующих событий: А †издел будет забраковано;  †издел будет забраковано в цехе; С вЂ издел буде~ забраковано в ОТК завода.
Р е ш е н и е. Так как события В и С несовместны и А=В-(-С, то Р (А) =Р (В)+Р (С) Находам Р (В). Для того чтобы изделие было забраковано в цехе, нужно, чтобы оно, во-первых, имело дефект, и, во-вторых; этот дефект был обнаружен. Вероятность обнаружения имегощегося дефекта по формуле полной вероятности равна — (р, +р, +рз); отсюда Р (В) =р Р' 1 Рз+ Рз+ Уз Аналогично р(С) р11 Рг Рз ( Рз )р 3 з' 3.6. Группа, состоящая из трех самолетов-разведчиков, высылается в район противника с целью уточнить координаты объекта, который предполагается подвергнуть обстрелу ракетами. Для поражения объекта выделено л ракет. При уточненных координатах объекта вероятность его поражения одной ракетой равна р„ при неуточненных — р .
Каждый разведчик перед выходом в район объекта может быть сбит противовоздушными средствами противника; вероятность этого р,. Если разведчик не сбит, он сообщает координаты объекта по радио. Радиоаппаратура разведчика имеет надежность рз. Для уточнения координат достаточно приема сообщения от одного разведчика. Найти вероятность поражения объекта с учетом деятельности рааведки. Р е ш е н и е. Гипотезы: Нз †координа объекта уточнены; Н, †координа не уточнены. Р(Нт) =1 11 (1 рз) р41з.
Р (Н ) =(! — (1 — рз)р !з. Р (А) Нз) = ! — (1 — р )"; Р (А ) Н ) = 1 — (1 — р,)". Полная вероятность события А — поражение объекта: Р (А) = (1 — (1 — (1 — рз) р414) (1 — (1 — р )"1+ + (1 — (1 — рз) рз]' (! — (1 — рз) "1. 3.7. Имеются две урны: в первой а белых шаров и д черных; во второй с белых и 4( черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
