Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2.5. Производится наблюдение за группой, состоящейвз четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: А †обнаруж ровно один из четырех объектов;  †обнаруж хотя бы один объект; С вЂ обнаруже не менее двух объектов; ?? †обнаруже ровно два объекта; Š†обнаруже ровно три объекта; Š†обнаруже все четыре объекта. Указать, в чем состоят события: 1) А+В; 2) АВ; 3) В+С; 4) ВС; 5) О+Е+Е; 6) ВЕ.
Совпздают ли события ВЕ и СЕ? Совпадают ли события ВС и В? О т в е т. 1) А + В = В; 2) А В = А; 3) В -г- С = В; ч) ВС = С; 5),0 + Е -'; Г = С; 6) ВЕ = Е. ВЕ и СЕ совпадают; ВС и 7? не совпадают. 2.6. Событие В является частным случаем события А, т. е. из появления события В с достоверностью вытекает появление события А (рнс. 2.6). Чему равны: 1) их суима; 2) их произведение? Рис. 2.6. О т в е т. 1) А+ В = А; 2) АВ = — В. 2.7.
Назвать противоположные для следующих событий: А — выпадение двух гербов при бросании двух монет;  †появлен белого шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых, 3 черных н Ф красных шара; С в три попадания при трех выстрелах; Π†хо бы одно попадание при пнтп выстрелах; Š— не более двух попаданий при пяти выстрелах; Š— выигрыш первого игрока при игре в шахматы. О т в е ты.
А в выпадение хотя бы одной цифры;  †появлен черного или красного шара; С вЂ хо бы один промах; Й вЂ в пять промахов; 23 Š†бол двух попаданий; г †выигр второго или ничья. 2.8. Событие В есть частный случай события А, т. е.
из появления события В следует, что событие А произошло. Следует ли из В, что А произошло? О т в е т, Нет, не следует! Например; опыт состоит из двух выстрелов; А в хотя бы одно попадание;  †д попадания. Если произошло В, из этого следует, что А произошло. Если же произошло В (менее двух попаданий), из этого еще не следует, что произошло Л (ни одного попадания). Наоборот, пз А следует В. 2.9.
Если событие В представляет собой чзстный случай события А, зависимы эти события илн нет? Ответ. Зависимы, сслп Р(А) ~ 1, так как Р (А(В) =-1. 2.10. Зависимы или независимы: 1) несовместные события; 2) события, образующие полную группу; 3) равновозможные события? От в е т. 1) Зависимы, так как появление любого из них обращает в нуль вероятности всех остальных; 2) зависимы, так как непоявление всех, кроме одного, обращает в единицу вероятность последнего; 3) могут быть как зависимы, так и независимы.
2.11. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события: А — выпадение герба на первой монете; В в выпадение хотя бы одного герба; Š— выпадение хотя бы одной цифры; à — выпадение герба на второй монете. Определить, зависимы илн независимы пары событий: !) Л н Е; 2) А и В; 3) О и В; 4) О и Е. Определить условные н безусловные вероятности событий в каждой паре. О т в е т.
! ) Р (Е) = —; Р (Е(А) =- —; 2) Р (А) = — 1; Р (А)В) =- 1; 3) Р (О) = —; Р (В)Е) =- —; 3. 2 4) Р (Р) =- 3 ' Р (О(У') события зависимы. события независимы. события зависимы. события зависимы. 2.12. Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта.
Рассматриваются события: А †появлен туза;  †появлен карты красной масти; С вЂ появлен бубнового туза;  — появление десятки. Зависимы или независимы следующие пары событий: 1) А и В; 2) А и С; 3) В и С; 4) В и Вч 5) С и 0г О т в е т. 4 1 2 1 1) независимы, так как Р(А) = —,= —; Р(А(В) = — = — ' 32 13' 26 13' 1 2) зависимы, так как Р (А) = —: Р (А)С) = 1: 13 ' 3) зависимы, так как Р(В) = —; Р (В/С) =1; 1 2 ' 4) независимы, так как Р(В) = —; Р(В)0) = —, ! 1 . 2 ' 2 ' 5) зависимы, так как несовместны.
2.13. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимают (одновременно или последовательно) два шара, Найти вероятность того, что оба шара будут белымие). О т в е т. По теореме умножения вероятностей Ь Ь 2.14. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращаетси в урну.
После итого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что оба вынутые шара будут белымн. Ответ. ( —,) . 2.15. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимаготся сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов. Решение. Событие может появиться в двух несовместных вариантах: бч плн чб; по теоремам сложения и умножешш Р (б чб)— и+Ь а-гЬ вЂ” 1 ' а+Ь а+Ь вЂ” 1 (и-1-Ь)(а-)-Ь вЂ” !) ") Давнзя задача, как и ряд других в главе 2, люжет быть решеаа и с помощью непосредственного подсчета числа случаев; здесь требуется решить их с помощью теорем сложения или уьшо. жени я.
2.16. Та же задача, но шары вынимаются последовательно и после вынимания первый шар возвращается в урну. аЬ Ответ. 2 ь 2.17. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар. Р е ш е н и е. Вероятность события может быть найдена непосредственно (см. задачу 1.10). Тот же результат может быть найден и по теоремам сложения и умножения: а а — 1, Ь а а Р (бб+ чб) = а+Ь а 1 Ь вЂ” 1 ' а+Ь а+Ь вЂ” 1 а+Ь 2.18. В урне а белых, Ь черных и с красных шаров. Три из ннх вынимаются наугад.
Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными. Решение. Чтобы найти вероятность события А — по крайней мере два шара будут одноцветными, — перейдем к противоположному А †в шары разных цветов; Р (А) = Р (бчк+бкч+ кчб — ,',) = а лоиаиииииа а Ь с и+Ь+с а+Ь-';с — 1 а+Ь+с — 2 Отсюда Р (А) = — 1 — Р (А) — 1 (ай ЬЧ-с) (а+ Ь+с — 1) (а+ Ь+с — 2) ' 2.19.
Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча; после игры их кладут ображю. При выборе мячей игранные от ненгранных не отлича1от. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячейу Р е ш е н и е. Событие А может произойти единственным «пособом: первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты ненгранные мячи. Первый раз зто обеспечено; позтому б 5 4 3 2 1 5 Р(А) =1 ° — ° — ° — ° — ° — ° — == 9 8 7 9 8 7 1754 ' 2.20. В коробке М= 6И новых теннисных мячей; для одной игры нз коробки вынимают М мячей; после игры их возвра- 26 шают в коробку. Найти вероятность того, что после 1 игр в коробке не останется ненгранных мячей. Ответ. Р(А)= (у(у ц (у М ! Н)г з' 2,21. В ящике лежат и новых теннисных мячей; и из них п1 вынимаются и ими играют(й( — ).
После игры мячи возвращаются в ящик. Следующий раз из ящика снова берут наугад в мячей. Найти вероятность того, что все этим мячей будут новыми (неигранными). и — а и — а — ! л — 2а+1 [(л — а)Ця Ответ. р= — —... н а — ! '' ' л — а+! л!(л — 2а]! ' 2.22. Уходи из квартиры, М гостей, имеющих одинаковые номера обуви, надевают калоши в темноте.
Каждый из них может отличить правую калошу от левой, но не может отличить свою от чужой. Найти вероятности следу!ощих событий: А — каждый гость наденет свои калоши;  — каждый гость наденет калоши, относящиеся к одной паре (чожет быть и не свои). Р е ш е н и е. Каждый гость выбирает одну правую калошу и одну левую; правых калош М и левых М. По теореме умножения Р (А) = —, 1 1 1 1 Л" (У вЂ” !)' ' ' ' 2' (У!)а ' — 1= —; Р(В) 1 ! 1 = — —...
1= —. УУ вЂ” !''У! 2.23. В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий А и В, если гости не могут отличить правой калоши от левой и просто берут первые попавшиеся две калоши. Р е ш е н и е. По теореме умножения 2 ! 2 1 2У 2У 2У вЂ” 1 2У вЂ” 2 2У вЂ” 3 ' ' ' (2У)! Р(В)=1 1 — !в 1 1 ! ! 2У вЂ” ! 2У вЂ” 3 2У вЂ” 3 ' ' ' (2У вЂ” 1)!! ' где (2М вЂ” 1)!! =1 3 5...(2М-1). 2.24.
Бросаются две монеты. Рассматриваются события: А †выпаден герба на первой монете;  †выпаден герба на второй монете. айти вероятность события С=А+В. Решение. Р(С)=Р(А)+Р(В) — Р(АВ)= 2+ —— 1 3 — — = — или, через противоположное событие, Р (С) = 4 4 — 1 3 1 — Р(С) =1 — — = —. 4 4' 2.2б. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить (вывести из строя) самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна р„ второго двигателя р, кабины пилота р .
Агрегаты самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен. Р е ш е н и е. Событие А — поражение самолета есть сукна двух совместных событий: Л вЂ” поражение обоих двигателей; К вЂ поражен кабины. Р (А) = Р (Л) ~ Р (К) — Р (ДК) =-р,ря -,'; — р, — р,р,р,. 2.26. Два стрелка, независимо один от другого, делают по два выстрела (каждый по своей мпшснп). Вероятность попадания в мишень при олпом выстреле для первого стрелка р„для второ~о ря Выигравшим соревнование счнтаетси тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность Р, того, что выиграет первый стрелок. От в е т.
Рт =р"; (1 — р,)'-'-2р,'ре (1 — р,) + +2р„(1 — рг) (1 — ра) . 2.27. В урне а белых и д черных шаров. Из урны вынимаются 2а шаров (2а ( а; 2)г ( й). Найти вероятность того, жо среди них будет больше белых, чеч черных. Р е ш е н и е. Данную зада ~у проще решить, комбинируя методы непосредственного подсчета вероятностей с теоремой слоя<ения. Событие А — больше белых шаров, чем черных— можно представить в виде сузшы А.=.А„-(-А„, ,'—... +А „=- ~ Ап ~=ь,-1 где А; — появление У белых гнаров ((=а+1, ..., 2/г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
