Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Из урны, в которой а белых шаров и Ь черных, выннмшот попри!л все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порялку будет вынут белый шар. а О т в е т. а+Ь ' 1.11. В урне а белых и Ь черных шаров (а)2). Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. Р е ш е н и е. Общее число случаев (а+Ы (аг ь — !) а+ь = 1 2 Число благоприятных случаев а (а — 1) лг= С,'=— !.2 Вероятность события А †д белых шара †рав Р(А) = — = а (а+Ы(а+Ь вЂ” 1) ' 1.12.
В урне а белых и Ь черных шаров (а) 2, Ь) 3). Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность р того, что два из них будут белыми, а три черными. Решение, (а-';Ь) (а+Ь вЂ” 1) (а+Ь вЂ” 2) (а+Ь вЂ” и) (а+а — 4) а-~Ь— 12345 Э а ( — 1) ь (ь — И (ь — 2) , а Ь ! 2 !2З И ! Оа (а — 1) Ь (Ь вЂ” 1) (Ь вЂ” 2) а (а+Ь) (а+Ь вЂ” 1) (а+Ь вЂ” 2) (а+Ь вЂ” 3) (а+Ь вЂ” 4) 1.13. В партии, состоящей из )4 изделий, имеется 1 дефектных. Из партии выбирается для контроля г изделий. Найти вероятность р того, что из них ровно а изделий будут дефектными. С'Сь ' Ответ.
р= Сь 1.14. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий: А †появлен четного числа очков;  †появлен не менее 5 очков; С в появление не более 5 очков. Ответ. Р(А)= —; Р(В) = —; Р(С) = — —. 1 ! б 2' 3' б' 1.15. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность р того, что оба раза появится одинаковое число очков. ш ! Решение. п=6'1 лг=б; р = — — = —. а б ' (Д р у г о е р е ш е и и е. Искомая вероятность есть вероятность того, что при втором бросании выпадет то же число очков, которое выпало при первом бросании: и = 6, ш=), р= —.) ! 1.16.
Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А — сумма выпавших очков равна 8;  †произведен выпавших очков равно 8; С в сумма выпавших очков больше, чем их произведение. 6 2 1 11 Ответ, Р(А)=36! Р(В) = 6 18 ' Р(С)= 36 ' 36 18 ' 1.17. Бросаются две монеты. Какое из событий является более вероятным: А †моне лягут одинаковынн сторонами; В в монеты лягут разными сторонами? О т в е т, Р (А) = — Р (В). 1.18. В урне а белых н Ь черных шаров (а э 2; Ь д2). Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно; А †ша одного цвета;  — шары разных цветов? р ) Сд+ СЬ а (а — 1)+Ь (Ь вЂ” 1) Сдд ь (а+Ь)!а+Ь вЂ” 1) СддСьь 2аЬ С' ь (а+Ь)(а+Ь вЂ” !) ' Сравнивая числ!пели этих дробей, находим Р (А) ( Р (В) прн а (а — 1) -!- Ь (Ь вЂ” 1) < 2аЬ, т. е.
(а — Ь)' с. а+Ь; Р (А) = Р (В) при (а — Ь)д =- а -1- Ь; Р (А) ) Р (В) прн (а — Ь)Я ) а+ Ь. 1.19. Трое игроков играют в карты. Каждому из них сдано по 1О карт н две карты оставлены в прикупе. Один нз игроков видит, ~то у него на руках 6 карт бубновой масти и 4 — не бубновой. Он сбрасывает две карты из этих четырех н берет себе прикуп. Найти вероятность того, что он прикупит две бубновые карты. Р е ш е н и е. Из 32 карт игроку извесюю ! О, а остальные 22 — нет, Взять 2 карты из прикупа это все равно, что взять нх из 22. В числе 22 карт две бубновых.
Вероятность события равна 1 1 Сгтд 231 1.20. Из урны, содержащей п перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней 10 шары, Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку; 1, 2,, л ! О т в е т. и! 1.21. Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар после вынимания вкладывается обратно и переллешивается с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2, ..., и, ! О т в е т.
лп 1.22, Г!пиная колода карт (52 листа) делится наугад па две равные пачки по 26 листов, Найти вероятности следующих событий: А — в каждой из пачек окажется по два туза;  — в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой — все четыре; С в в одной из пачек будет один туз, а в другой в три. Решение. Общее число случаев л=С-;,'. Число благоприятных событию А случаев т=С42СД.
Р(А) = — . С4С42 С24 Событие В может осу4цествпться двумя способами; либо в первой пачке будут все четыре туза, а во второй в ни одного, либо наоборот; 4 22 Р В 2С4Свв С"„ ы Аналогично 2 22 2С4Свв С',в Интересно сравнить эти вероятности: Р (А):Р (В):Р (С) = 25 24 . 25 2н . 22 25 ж 3,5:1:4,5 1.23. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формирулотся две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстракласса.
Найти вероятности следулощих событий: А — все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу;  †д команды экстракласса попадут в одну нз групп, а три — в другую. Ответ. Р(А)= ь 34 ' 2СьСи Сьы С,С,', + С',С'„12 с„1т ' 1.24. На девяти карточках написаны цифры: О, 1, 2, 3, 4, 5, 8, Т, 8. Две из них вынимаются наугад и укла- дываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например 07 (семь), 14 (четырнадцать) и т.
п. Найти вероятность того, что число будет четным. Р е гп е н и е. Четность числа определяется его послед- ней цифрой, которая должна быть четной (нуль- тоже четное число). Искомая вероятность есть вероятность того, что на втором месте появится одно из чисел О, 2, 4, б, 8, 5 то есть 9 ' 1.25. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из иих, одна за другой, вынимаются.
Найти вероят- ность того, что число на второй карточке будет больше, чеч на первой. Р е ш е н и е. Опыт имеет два возможных исхода: Л вЂ втор число больше первого, В в второе число меньше первого. Так как условия опыта симметричны относительно А и В, то Р (А) = Р (В) == — .
1.26. Тот же вопрос, что в задаче 1.25, но первая карточка после вынимания кладется обратно н смешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается. Решение. Возможны три исхода опыта: А в второе число больше первого; В в второе число меньше первого; С вЂ втор число равно первому. Всего возможно 5з = 25 случаев; из них пять: 1,1; 2,2; 3,3; 4,4; 5,5 благоприятны событию С, а остальные 20 случаев поровну делятся на благоприятные событиям А и В. Следовательно, Р (А) = Р (В) = —," = ' .
12 1.27. В урне а белых, Ь черных и с красных шаров. Из урны вынимают одни за аругим все находящиеся в ней шары и записывают их цвета. Найти вероятность того, что в этом списке белый ивет появится раньше черного. Р е ш е н н е. Так как в условиях задачи наличие илн отсутствие красных шаров роли не играет, то искомая вероятность равна вероятности вынуть первым белый шар из урны, в которой имеется а белых и Ь черных шаров, т.
е. а равна а.+ Ь 1.23. Имеется две урны: в первой а белых и Ь черных шаров; во второй с белых и с( черных. Из кзждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. Решение. !(ахсдый шар из первой урны может комбинироваться с каждым и~аром из второй; число случаев и = (а + Ь) (с+ И). Число благоприятных случаев лг = ас; ас вероятность события 1.29.
В условиях задачи 1.28 найти вероятность того, что вынутые шары будут разных цветов. аа+ Ьс (ач Ь) (с+с() 1.30. В барабане револьвера семь гнезд, из ппх в пяти за.ложены патроны, а даа оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. !!осле это~о нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, выстрела не происходит. Найти вероятность р того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза ие выстрелим.
Р е ш е н и е. Так как любое гнездо прн первом выстреле может сочетаться с любым при втором, число слу шев 7 = 49. Число благоприятных случаев равно числу т 4 ~ацнй пустых гнезд: т = 2 2 = 4; р = — =- — . а 49 31. В тех же условиях найти вероятность того, жо аза выстрел произойдет. шеи не. По-прежнему и = 49. с!испо благоприятных ев лг = 5 4 = 20, так как при первом выстреле гнездо роном можно выбрать пятью способами, а прп втором т 20 еле — четырьмя; р = — = — . л 49' 13 1.32. В урне имеется и шаров, помеченных номерами 1, 2, ..., !а.
Из урны ! раз вынимается по одному шару (2( Л), номер шара записывается и шар кладется обратно в урну. Найти вероятность р того, что все записанные номера будут различны. Р е ш е н н е. Число случаев и = й!. Число благоприятных случаев равно числу размещений из Й элементов по l, т.
е. т = и (и†1) ... (й — 1 + !). Вероятность события т Ь (!» — 1] . (Л вЂ” г+ !) Р— и ь» а' (а — !)! 1.33. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова полу шлось слово «кинга». 1 ! Ответ. р= —,= —. 5! !20 ' 1.34. Тот жс вопрос, если было составлено слово «ананас». Решение. Число случаев и = 61; число благоприятных случаев уже не один, как в задаче 1.33, а т = 3! 2!, так как повторяю!цпеся буквы ~а„ н «н» можно произвольным 3!2! ! образом переставлять между собой; р 6! 60' 1.35.
Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) выни- мается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверж- дать, что среди них будут карты одной н той н<е масти"г Р е ш е н н е. Обозначим Аа наличие среди (с вынутых карт не менее двух одной иасап, При (»=2: п=-С,„',; т=С,'„.4; Р(А )= — (0,50.
Прн Й=З: п=-С„. т=С«» 4.~'. С»»С»» 4; Р(А»)= = 0,602 ) 0,50. Итак, нужно вынуть га "3 карт. 1.36. Л! человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (Х) 2). Найти всроятностьр тога, что даа фиксированных лица А и В окажутся рядом. Р е ш е н и с. Число случаев п = М1; число благоприят- ных случаев т=2Х, так как всего пар соседних мест »ч', а на каждой паре соседних мест лпц А и В можно расса- 2М 2 дить двумя способамн: р =. — , л'! (лг — !)! !4 1.87. га же задача, но стол прямоугольный, и !ч' человек рассаживаются случайно вдоль одной из его сторон, 2 (!У вЂ” 1) Ответ.
р= У! 1.88. На бочонках лото написаны числа от 1 до Ф. Из этих )ч' бочонков случайно выбираются два. Найти вероятности следующих событий: А — на обоих бочонках написаны числа, меньшие чем )е (2 < Ф <)ч')! В в на одном из бочонков написано число, большее )г, а на другом — меньшее )г. Решенпе. Число случаев л=См~. Для события А получим: е.=С'„,; Чи Имея в виду, что Ф вЂ” 1 бочонков имеют номера меньше чем й, Ф вЂ” !г бочонков — номера больше чем й, и один бочонок в номер й, получим для события В: 1 1 2 (Ф вЂ” 1) (Ж вЂ” Ь) т=Сь,См ь! Р(В) =— 1.89. Батарея из М орудий ведет огонь по группе, состоящей из й! целей (М(Д!). Орудия выбирают себе цели последовательно, случайным образом, при условии, что ни.
какие два орудия стрелять по одной цели не могут. Найти вероятность р того, что будут обстреляны цели с номерами 1,2, ...,М. Р е ш е н и е. Число способов, которыми можно распределить М орудий по й(целям, равно и =)ч' (М вЂ” 1)... (Л'-М+ 1) (число размещений нз !и' элементов по М), Число благоприятных случаев (при которых обстрелнва!отса только первые М целей) т=М(! М! ! и ()г — И... (и — м+ !) = см 1.40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
