Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Б урне имеется К шаров; из них: К,шаров 1-го цвета; К;шаров 1-го цвета; !' ж К„шаров и-го цвета ( ~~'., К!=К~). 1=, / 15 Из урны вынимают одновременно и шаров. Найти вероятность того, что среди них будет: и шаров 1-го цвета; й! шаров г-го цвета; Ф шаров т-го цвета „~~ А, = А ','=1 Р е ш ем и е. Общее число случаев л равно числу способов, какими можно вынуть и шаров из К: п=Сл. Числоблагоприятных случаев: ш = — С~,Сл,...
Сгн =- Ц Сь н !=1 так как группу шаров первого цвета можно выбрать Сл', способамп, группу шаров второго цвета — С;, способами и т. д. Верочтность события Ц Саь(, р=-'='„ с",. 1.41. Бзтарея, состояцгая пз гг орудий, ведет огонь по группе, состоящей пз у самолетов (Й(1). !(аждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все !г орудий будут стрелять по одной и той же цели. ! Ответ. — = (ь га-г ' 1.42.
В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что все орудия будут стрелять по разным целям. Решение. Группу нз )г обстрелянных целей можно выбрать С," способааш, а в пределах группы распределить орудия )г! способами: и = Сьгк)! общее число случаев и = гь! С~~а! (! — !) (! — 2]...(! — Аб- !) искомая вероятность события )ь !.43.
"1етыре шарика случайныи образом разбрасываются по четырем лупкам! каждый шарик попадает в ту или другую лунку с одинаковой вероятностюо и независимо от других (препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, в другой в один, а в двух остальных лунках шариков не будет. !6 Решение. Общее число случаев и=44. Число способов, которыми можно выбрать одну лунку, где будут трн шарика, С,' = 4.
Число способов, которыми можно выбрать лунку, где будет один шарик, С,' = 3. Число способов, которыми можно выбрать из четырех шариков три, чтобы положить их в первую лунку, С =4. Общее число благоприятных случаев ги = 4 3 4. Вероятность событии: р = — = 434 3 41 16' 1.44. Имеются гИ шариков, которые случайным образом разбрасываются по 11г лункам (Ф гИ). Определить вероятность того, что в первых 1И лунках будет ровно по одному шарику. М! О та е т.
— '. Л!.н ' 1.46ь. Имеется Л4 шариков, ко~орые сту 1айным образом разбрасываются по 1ч' лункам. Найги вероятность того, что в первую лунку попадет ровно»1 шариков, во вторую — »а шариков и т. д., в )уг-ю — /г„пшриков, »1 т- »а+... +» =- Л). Р е ш ение. Чнс.чо случаев п=)чы1, Число благоприятных случаев подсчитывается след)пешим образом. '!нсло способов, какими можно выбрать нз Л) шариков»„равно См', число способов, какими можно из оставшихся М вЂ” »1 шариков выбрать »„ равно Сл) гз и т. д.; число способов, какими можно нз Л4 — (» +Ф.+... +/г, )==Аьчвыбрать»лч равно С11м=1. Все зтн числа нуукно перемножить: 'и ч, гп = С1)С1)) 1ч ...
С"л'-1, 1 = М! (М )11)! ) ~ (»л» ), ~»е „)! »,1(Л1-»1)!»1! )Л! — (»1+»1)) ! ' ' ' »„° 1!»м! Л!! М! = »1 !»1П .. »,Ч ! = и Ц»;! т М! Вероятность события р =- — =- и м Лж П»' 1.48е. В условиях зздачи 1.45 найти вероятность того, что в одной из лунок (все равно, и какой) будет л шариков, в другой †, и т. д„ в Ф-й — й,ч шариков (числа йы )тв, ..., Й~ч предполагаются различныжи). Р е ш е н и е.
По сравнению с задачей 1.45 число благоприятных случаен увеличится в М! раз (вто число способов, каким можно переставить между собой И чисел: Йы Йю..., А!г). И!И Вероятность события р = ' Па!! 1=1 1.47е. В условиях задачи 1.45 найти вероятность того, что из М лунок будет 1, тзких, в которые не попадет ни одного шарика; 1т таких, в которые попадет ровно один шарик, и т. д.; 1м таких, в которые попадут все М шариков'. 1,+1„+...+1~=И! О 1,+! 1,+...+М 1м=М.
Решение. Общее число случаев п=Мл!. Чтобы найти число благоприятных случаев лт, нужно перемножить число способов, какими можно выбрать лунки, и число способов, какими можно выбрать шарики. Лунки можно выбрать У! У! = — способами. П'' Ф=з Найдем число способов, какими можно выбрать шарики.
Шарики распадаются на группы: начальная группа (по 0 шзриков) пустая; первая содержит 1т шариков; вообще л-ив lг1 шариков (й- .1, 2, ..., М). Группы шариков можно выбрать ()1,)! (21,)! (31 !! ... [М1 )! Ц (а)ь)! способами. Теперь определим, сколькими способами можно выбрать шарики внутри л-й группы так, чтобы в каждой из 1ь лунок лежало по )г шариков. Это число способов равно (а)ь)! (В)ь) ! л! а!...И ((й)!ь ' гь раз а число способов, какими можно выбрать все шарики для всех групп, равно произведению таких чисел для разных и; )8 П вЂ” ", .
Перемножая, получим число способов, какими тъ (Ма)! а=г(И)Ы можно выбрать шарики: м Ц (а!,)! м! Ц М! м м и П ( ")' П ( ') 1. П (а!)'" а=1 л=т а=а Умножая это на число способов, какими можно выбрать лунки, находим число благоприятных случаев: И М! м м и 'и с=а а=г откуда веровтность события м! м! м м м Ц 11Ц (и)"* 1А8. В лифт семиэтажного домз на первом этаже вошли три человека.
!(аждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих сооытий: А — все пассажиры выйдут на четвертом этаже;  — все пассажиры выйдут одновременно (па одном и том же этаже); С вЂ” все пассажиры выйдут на разных этажах. Р е ш е н и е. Зздача того же типа, что п задзчи о разбрасывании шариков по лункам. Этажи играюз роль «лунока (И=.
6), пассажиры — «шариков» (М= 3). Число случаев 1 и=-6'=-216, Р(А) == —. Вероятность собьыия В вшестеро 216 ' больше вероятности события А (так как этажей, на которых 6 ! можно выйти, шесть); т = 6 и Р (В) = — = — . Для собы- 216 36 ' тпя С число способов, которыми можно распределить трех 20 5 пассаяснров по шести эта~кап; лю=-Са.=-20; Р (С) 216 54' Те же вероятности Р(В) и Р(С) можно пайп! н по общей формуле решения задачи 1.47, полагая 7,=5; 1„=-7,=-0; 1,=1 для события В, (р — — 3; 7т = 3; 1, = 1а — — 0 для события С, ГЛАВА 2 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.
Суммой нескольких собьппий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произеедениелг двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В. Прогьюедением нескольких собьгтнй называетск событие, состоящее в совместяом появлении всех этих событий. Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух несовместных собыпсй равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В] =-Р(А)+Р [В). В случае, когда события А н В совместны, вероятность нх суммы выражается формулои Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (А В), (с) где А — произведение событий А и В.
Теорема слогкеиия вероятностей для нескольких событий Вероятность сугщы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей.' Р( ~~ Аг г= ~и~~ Р(Аг). В случае, когда события А; совместны, вероятность их суммы выражается формулой Р (~чд А, ) =-~ч; Р(лг) — ~ч"„Р (А;Ау)+ гг г / т + ~ Р(А;А Аа) —...+( — 1)п тР(АхАзАа...А„), Сг,» 2З где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индек:ов 1, 1, й, ..., взятых по одному, по два, по три и т, д. Если события А,, Агн ..., Ал несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице; л ~ч», 'Р (А,) = 1. г=з Собьпие А называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А.
Сумма вероятностей противоположных событнй равна единице: Р(А)+Р (А) =!. Условной аероятиосюью собыаил А ггри иеаичиа В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р (Л(В). Собьпия А и В называются незааиспмывги, если появление одного из ннх ие меняет вероятности появления другого. Для независимых событий Р (А(В) =Р(А); Р (В,Л) = Р (В). Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий равна вероятиоств одного из ннх, униоженпой на условную вероятность другого прп наличгш первого: Р(АВ)=Р(А) Р(В)Л) нли Р (АВ) = Р (В) Р (А(В).
Для независимых событий А и В Р (АВ) = Р (А) Р (В). Теорема умно!кения вероятностей для нескольких событий Р(А,А, ... Ач)=Р(Л)Р(А,)Ат) Р(Аа)Л,Ат) . Р(Ль(А~Ам ..Лч )). В случае, когда события независимы, т. е. появление любого числа из них не меняет вероятностей появления остальных, 2.1. Может ли сумма двух событий А и В совпала гь с их произведением? Решение. Да, может, если события эквивалентны (равнозначны), т. е. если из события А вытекает В и, наоборот, нз В вытекает А.
Например, пусть производится один выстрел по мишени. Предположим, что попадание в мишень непременно приводит к ее разрушениго и никаким другим 21 способом мишень разрушена быть не может; тогда два события А — попадание в мишень,  — разрушение мишени эквивалентны (А = В), и для них А + В = А = В; АВ= А = В. 2.2. Доказать, что вероятность суммы двух событий не больше, чем сумма вероятностей этих событий: Р (А + В) а-' Р (А) + Р (В). Решение. Это нерзвенство вытекает из формулы (") стр. 20, так как Р (АВ):»О. 2.3. Опыт состоит в бросании двух монет.
Рассзштрнваются следующие события: Л вЂ” появление герба на первой монете; В в появление цифры на первой монете; С в появление герба на второй монете; В в появление цифры на второй монете; Š†появлен хотя бы одного герба; Š— появление хоти бы одной цифры; б — появление одного герба и одной цифры; Н вЂ” непоявление ии одного герба; К в появление двух гербов. Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события: 1) Л-)-С; 2) АС; 3) ЕЕ; 4) О+Е; 5) СгЕ; 6) ВО; 7) Е+К. О т в е т. 1) А+ С=-Е; 2) АС=К; 3) ЕЕ= 0; 4) О+ Е= Е; 5) ОЕ = б; 6) ВВ = Н; У) Е+ К= Е. 2.4. По мишени производится три выстрела.
Рассматриваются события А; — попадание при (-м выстреле (1=1, 2, 3). Представить в виде сумм, произведений нли сумм произведений событий А, и А; следующие события: А †в три попадания; В в все три промаха; С вЂ хо бы одно попадание; Π— хотя бы один промах; Š— не меньше двух попаданий; à — не больше одного попадания; Π— попадание в мишень не раньше, чем при третьем вьгстреле. Ответ. 1) А = АдАаА„ 2) В = Ад А А; 3) С = Ат + +Аз+Аз или С=А,+АтАа+АтАаАа или С=АтАхАа+ 22 +АтАвАа+А АвАа+АтАаАз+А АаАа+А АзАз+АтАвАа', =АдАаАа+АтАзАа+АтАз; 7) О=АтА,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
