Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Са Сь С'.Сьь-' Р(А,.)= ',„', -у Р(А)= ~ Са+ь С~а 2.28. В партии, состоящей из М изделнй, имеется л1 дефектных. Из партии выбирается для контроля л изделий. Вели среди контрольных окажется более лг дефектных, бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия будет забракована. "3 Р е ш е н и е. Событие А — партия забракована — мохкпо представить в виде суммы А=А ,-~-А„,я+... +А„~ч„РА,, ие 3 Г л-1 смсл и с' сл Р(А) и и-и . Сл М ~=я ~-1 2.29. Из полной колоды карт (32 карты) вынимают одно.
временно четыре карты. Рассматриваются события; среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая; среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная. вероятность события С= А + В. ш е н и е. Переходя к противоположному событию С— бубновой, ни червонной карты, имеем — 26 25 24 23 Р(С)= —, ° —, 52 б! 50 49 ' А— В— Найти Рс ! нет нп откуда Р (С) =1 — Р (С)-0,943. 30. При одном цикле обзора радиолокационной станппк, щей за космическим объектом, объект обнаруживается оятностью р. Обнаружение объекта в каждом цикле схолит независимо от других. Найти вероятность того, при и циклах объект буде~ обнаружен.
твет. 1 — (1 — Р)" 31. Имеется т радиолокационных станций, ка;кдая пз рых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятю р (независимо от других циклов и от других станЗа время Т каждая станция успевает сделать и циклов. и вероятности следующих событий: †объе будет обнаружен хотя бы одной из станций; †объе будет обнаружен каждой из станций.
т в с т, Р (А) = 1 — (1 — р)ж"; Р(В) =(1 — (1 — р)"1.. 32. Имеется группа нз й космических объектов, каждый оторых независимо от других обнаруживается радпоционной станцией с вероятностью р. За группой ктов ведут наблюдение независимо друг от друга гл где Аг — событие, состоящее в том, что среди контрольных изделий 1 дефектных. радиолокационных станций. Найти вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены. Р е ш е н и е. Переходим к противоположному событию А— все объекты будут обнаружены: Р (А) = ~1 — (1 — р)~)»1 Р (А) = 1 — ~! — (1 — р)"]».
2.33. Над изготовлением изделия работа!от последовательно й рабочих; качество изделия при передаче следующему рабочему не проверяется. Первый рабочий допускает брак с вероятностью р„ второй †и т. д. Найти вероятность того, что при изготовлении изделия будет допущен брак. От нет. 1 — Ц(1 — Р;). !=1 2.34. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово вконец». 1 ! 1 ! 1 27! О т в е т. 32 31 30 29 23 32! ' 2.35.
Те же условия, но вынутые пять карточек можно менять местами произвольным образом. Какова вероятность того, что из вынутых пяти карточек можно сложить слово »конец». Р е ш е н ив. Существует 5! перестановок из 5 букв; вероятность каждой из них вычисляется, как в предылущей задаче) 3! 27! ! искомая вероятность равна — ' 32! 6" 2.36. В лотерее л билетов, из которых 1 выигрышных. Некто покупает )г билетов. Определить вероятгюсть того, !то он выиграет хотя бы иа один билет.
л-1 и — ! — 1 л — ! — »+! (л — 1]! (л — »)1 Ответ. 1 — — —... =1— и л — 1 '''.л — »+1 л!(л — ! — »]! ' 2.37. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, располохсенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую нчейку. Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки. Р е ш е н и е. Событие А — шарики попали в соседние ячейки †разобь на столько вариантов, сколько можно образовать пар соседних ячеек; получим А = Ат+ А» -1- Аа, где Ад — шарики попали в первую и вторую ячейки; А, †шари попали во вторую и третью ячейки; А, — шарики попали в третью н четвертую ячейки. Вероятность каждого из вариантов одна и та же и равна 1 ! 1 3 — ° — ° 2= — ' Р(А)=8.
4 4 8 ' 2.38. )д шариков разбрасываются случайным образом и независимо друг от друга по л ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии (гд ( л). Найти вероятность того, что они займут гд соседних ячеек. Р е ш е н и е. гд соседних ячеек из л можно выбрать л — л + 1 способами. Вероятность попадания и шариков в г! дд каждую пз групп соседних ячеек равна ( — ) гд! (так как их можно разбросать по зткм ячейкам л( способами). Вероятность события А †шари попали в !! соседних ячеек †рав Р(А) = ( — ) гд! (л — гд+ !). 2.39. Производится стрельба по самолету зажигательнымн снарядами.
Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Пгющади баков одинаковы. Для того чтобы зажечь салюлет, достаточно попасть двумя снарядами либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Известно, что в область баков попало два снаряда, Найти вероятность того, что самолет загорится. Р е шеи не. Событие А — воспламенение самолета — есть сумма двух несовместных вариантов: А=Ад+Ам где Ад †о снаряда попали в один и тот же бак! снаряды попали в соседние баки.
Р (Ад) =- 4 ( 4 ) 4 ' сть события А, находим согласно задаче 2,37! 3 1 3 5 (Аа) —; отсюда Р (А) — +— 8' 4 8 8' Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу рты. Найти вероятность того, что все вти четыре ут разных мастей. н и е. Первая карта может быть какой угодно орая должна быть не такой, как первая; третья— 31 не такой, как первая и вторая; четвертая †такой, как три первые. Искомая вероятность равна р = 1 39 96 !3 ж 0,106. 51 50 49 2.41. Та же задача, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.
39 26 13 О т в е т. р.== 1 ° — ° = ° — ж 0 094. 52 52 52 2.42. Вычислительная машина состоит из л блоков. Надежность (вероятность безотказной работы) в течение времени Т первого блока равна ры второго †„ и т, д. Блоки отказывают независимо друг от друга. Г!ри отказе любого блока отказывает машина. Найти вероятность того, что минина откажет за время Т'. н Ответ. 1 — Црп 1 -" 1 2.43. При вялю ~силн аажнгания лвнгатель на шнает работать с вероятностью р. 1) Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при втором вкшоченни зажигании; 2) найти вероятность того, подла ввода двигателя в работу прилетев вклю ппь зажигание ие более двух раз. Ответ.
1) (! — р)р; 2) 1 — (1 — р)а=-(2 — р) р. 2.44. Производится обстрел некоторой цели с Ф позшшй; с Г-й позиции производится л; выстрелов; каждый выстрел независимо от других попадает в цель с вероятностью рг (1.= 1,2,, и). Найти вероятности следующих событий: А — хотя бы один выстрел попадет в цель; В в не все высгрелы попадут в цель. От в от. Р(А) —..1 — Ц(1 — !,)"ь; Р(тт) =-1 — П! г'. г=! 2.45. По некоторой цели одновременно производится и выстрелов.
Каждый выстрел независимо от других поражает цель (выводит ее из строя) с вероятностью р. Найти вероятность того, что после п выстрелов цель будет поражена. Изменится ли зта вероятность, если выстрелы производятсн последовательно, результат каждого выстрела наблюдается ц после пора~кения цели стрельба немедленно прекращается1 Сколько надо произвести выстрелов, чтобы поразить цель с верояпюстью не менее Р(Р > р)? Решение.
Обозначим А поражение цели; переходя к событию А, получим Р(А) =-.1 — Р(А) =-1 — (1 — р)"; прн наблюдении вероятность не изменится. Полагая 1 — (1 — р)" ) Р н решая это неравенство от- 1й (1 — и) носительно и, получим и ) 1 1 . В качестве решения 1й (1 р) задачи берется наименыпее целое число и, удовлетворяющее этому условию, 2.46. Истребитель, вооруженный двумя ракетамн, посылается на перехват воздушной цели.
Вероятность вывода истребителя в такое положение, нз которого возможна аймака пели, равна рд. Если истребитель выведен в такое положение, он выпускает по цели обе ракеты, каждая из которых независимо от другой выводится в окрестность цели с вероятностью ра Если ракета выведена в окрестность цели, онз поражает ее с вероятностьюра Найти вероятность того, что цель будет поражена, О т в е т.
рт(1 — (1 — рра) е1 2.47. Производится стрельба одним осколочньш снзрялом по беспилотному самолету-разведчику. Уязвимыми агрегатамн самолета являются: двигатель и отсек с аппаратурой. Порансение любого из этих агрегатов приводит к выволу самолета из строя. Прп паннам положении точки разрыва снаряда в двигатель попадает т осколков, а в отсек аппаратуры т. осколков. Ка;кдый осколок, попавпшй в двигатель, поражает его независимо от вру|их с вероятностью р, а попавший в отсек аппаратуры — с вероятное'гью ра Найт'и вероятность вывода нз строя самолета при данном положении точки разрыва.
Ответ. 1 — (1 — р )'" (1 — р, )" . 2.48. Произволится стрельба двумя снарядамп по й бакам с горн>чим (И ) 2), росположенным рялом лруг с прутом в одну лнншо (рис. 2.48), Рнс. 2.48. Каждый снаряд независимо от лругих попадает в пер- бак с вероятностью р„ во нторой — с вероятностью р, . д. Для воспламенения баков требуется лва попадания. дин н тот же бак или два попадания в соседние баки. йти вероятность воспламенения баков, С.
Венгцела, Л. А. Оачарен Р е ш е н и е. Событие А — воспламенение баков — распадается на сумму двух вариантов: А=А +А, где А, †о снаряда попали в один бак; А, †снаря попали в соседние баки. т! (А!)=Р(+Р'+ +Рь= ХР!; != ! (з (А!)= РтРа+Ргрт+РтРззгРаРз т ° ° ° +Рл-гРь+РгРь-! = =2 ч,"Р;Р!„; ь (з (А) = Х И+ 2 Х, Р„, 2.49. Завод выпускает определенного вида изделия; каждое изделие может име~ь дефект; вероятность дефекта р. После изготовления изделие осматривается пос,чедовательпо )г контролерами; г-й контролер обнаруживает дефект, если он имеется, с вероятностью Р! (! = 1, 2, ...,и). В случае обнаружения дефекта изделие бракуется.
Определить вероятности событий: А †издел будет забраковано; В в изделие будет забраковано вторым контролером; С в изделие будет забраковано всеми контролерами. О т в е т. Р(А) = — Р 1 — Ц(1 — Р;); Р (В) =Р(1 — р!) р;1 1=! Р (С) =РЙ Рн 2.60. Завод изготовляет определенного типа изделия; каждое изделие имеет дефект с вероятностью Р. Изделие осматривается одним контролером; он обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью р,, а если дефект не обнаружен, пропускает изделие в готовую продукцию.
Кроме того, контролер может по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефекта; вероятность этого равна сь, Найти вероятности следующих событий: А †издел будет забраковано;  †издел будет забраковано, но ошибочно; С вЂ издел будет пропущено в готовую продукцию с дефектом. 34 О т в е т. Р (А) =ррд+ (1 — р) ой Р (В) = (1 — р) а; Р (С) = = р (1 — рх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
