Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2.б1. В условиях предыдущей задачи изделие осматривается не одним контролером, а двумя. Вероятности забраковать дефектное изделие для первого и второго контролера равны соответственно р„ р; вероятности по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефекта, равны соответственно а,ах. Если хотя бы один контролер бракует изделие, оно идет в брак. Найти вероятности событий А, В, С. Ответ. Р (А) =р(! — (1 — р ) (1 — р )]+ +(1 — р) (1 — (1 — пх) (1 — ив)]; Р (В) = (1 — р) (1 — (1 — ат) (1 — их)]; Р (С) = р (1 — р,) (! — р,).
2.52. Прибор состоит нз и блоков (рис. 2.52); выхол из с~роя каждого блока означает выход из строя прибора Рис. 2.52. в целом. Блоки выходят из строя независимо друг от друга. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна р. Найти надежность Р прибора в целом. Какова должна быть нздежность р, каждого блока для обеспечения заданной надежности Р, системы? П р и меч ание. Здесь в в дальнейшем на схемах влементы, без которых работа системы невозможна, изображаются нак звенья, соединенные «последовательно»; дубли руюшие друг друга элементы изображаются соединенными «параллельном Надежность каждого элемента записывается в соответствующем прямоугольнике.
л/ Ответ, Р=р"; рх= у Р,. 2.БЗ. Для повышения надежности прн- р бора он дублируется другим точно таким же прибором (рис. 2.53); надежность (ве- р роятность безотказной работы) каждого прибора равна р. При выходе из строя ри первого прибора происходит мгновенное переключение на второй (надежность переключающего устройства равна единице). Определить надежность системы двух дублирующих друг друга приборов. 35 Решение, Отказ системы требует совместного отказа обоих приборов; надежность системы равна 1 — (1 — р)з. 2.54.
Та же задача, но надежность переключающего устройства П, обеспечивающего переключение с отказавшего первого прибора на второй, равна рт (рис. 2.54). О т в е т. Надежность системы 1 — (1 — р) (1 — р,р). Рнс. 2.54. Рнс. 2.55. 2.55. Для повышения надежности прибора он дублируется (л — 1) другими такими же приборами (рис. 2.55); надежность каждого прибора равна р. Най гн надежность Р системы. Сколько надо взить приборов, чтобы повысить надежность до заданной Рту О т в е т. Р =- ! — (1 — р)"; !а (1 — Р,) !а(1 д) 2.56. Та же задача, но для включения кзждого дублирующего прибора применяется устройство с надежностью п, (рис. 2.56).
О т в е т. Р = 1 — (1 — р) (1 — р,п)" ', !а(1 — Р ) — )я(! —; ) и) ! +1. Рнс. 2.56 2.57е. Техническая система состоит из л блоков, надежность каждого из которых равна р, Выход из строя хотя бы одного блока влечет за собой выход из строя всей системы. С целью повышения надежности систеиы производится дублирование, для чего выделено еще л таких же блокоя. Надежность переключающих устройств полная. Опреде- лить, какой способ дублировании дает ббльшуюиадежность системы: а) дублирование каждого блока (рис.
2.57, а), б) дублирование всей системы (рпс. 2.57, б). Ре ш ение. Надежность системы, дублированной по способу а), будет р, = !! — (1 — р)Я!», по способу б): рз —— = 1 (1 — р") ° Рнс. 2.57. Покажем, что р,) ра при любом п ) ! н О <р < 1. Так как (1 ра))» (1 ! ! 2р рз)» р» (2 р)» з ! 1 1 2р» рз» р»(2») то достаточно доказать неравенство: (2 — р)" ) 2 — р". Положим !у = 1 †р(д ) 0); неравенство примет внл (2 — 1+а]» ) 2 — (1 — д)», (1 +~у)»+ (1 у)» ) 2 Применяя формулу бинома, замечаем, что все отрппательные ы уничтожаются: ф" + (1 — а)" =- ) 1 + пд + су'+ ...1 -1- 1 — лгу+ ануя —... 1 =2+а(п — !)~уз+...
2, 2 доказывает требуемое неравенство. 37 2.88. В технической системе дублированы не все, а только некоторые (наименее надежные) узлы. Надежности узлов проставлены на рис. 2.58. Определить надежность Р системы. О т в е т. Р =(1 — (1 — р,)') (! — (1 — р,)а~рар,(! — (1 — р,)а~. Рис. 2.88. 2.59. Прибор состоит из трех узлов.
В первом узле л, элементов, во втором п, и в третьем п,. Для работы прибора безусловно необходим узел У; два других узла И н ПУ дублируют l друг друга (рис. 2.59). Надежность каждо~о элемента одна и та же IЮ и равна р. Выход из строя одного элемента означает выход из строп Рис.
2.89, всего узла. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти надежность прибора Р. Р е ш е н и е. Надежность узла 1: р~=р". Надежность узла П; рп =р ч Надежность узла Н1: рц~ =р"э, Надежность дублированного узла (П и Ш): Надежность прибора Р=-р [1-(! — р )(! р")1.
2.80. Производится стрельба ракетами по некоторой наблюдаемой цели. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна р; попадания отдельных ракет независимы. Каждаа попавшаЯ Ракета поРажает цель с веРоЯтностью Ры Стрельба ведется до поражении цели или до израсходования всего боезапаса; на базе имеется боезапас и ракет (и > 2). Найти вероятность того, что не весь этот боезапас будет израсходован. 38 Р е ш е н и е.
Переходим к противоположному событию А — весь боезапас израсходован. Чтобы произошло событие А, первые л — 1 ракет не должны поразить цель: гз (А) = (1 — рртУ' ', отсюда Р (А) = 1 — (1 — ррх) " '. 2.61. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что после поражения цели в запасе останутся неизрасходованными не менее двух ракет. Р е ш е н и е. Противоположное событие А — останется менее двух ракет — равносильно тому, что первые п — 2 ракет не поразили цели: )л (А) (! рр ) -Я. Р (А) 1 (1 рр ) -г 2.62. В условиях задачи 2.60 найти вероятность того, что будет израсходовано не более двух ракет.
Р е ш е н и е. Чтобы было израсходовано не более двух ракет, достаточно, чтобы прп первых двух выстрелах цель была поражена; вероятность этого Р (А) = 1 — (1 — рр )', 2.63. Производится стрельба двумя ракетами по самолету. Самолет имеет оборонительное вооружение, позволяющее ему произвести по каждой ракете два независимых выстрела. Каждым из этих выстрелов ракета поражается с вероятностью р. Если ракета не поражена, то она независимо от другой поражает самолет с вероятностью Р, Найти вероят. ность того, что саиолет будет поражен.
Р е ш е н и е. Чтобы поразить самолет, ракета должна быть не поражена. Вероятность поражения самолета одной ракетой с учетом противодействия будет (1 — р)аР, а двуми ракетами 1 — [! — (1 — р)'Р~)'. 2.64. Радиолокационная станция ведет наблюдение за и объектамн. За время наблюдения 1-й объект может быть с вероятностью рг(! = 1, 2, ..., л). Найти вероятедующнх событий: и один объект не будет потерян; удет потеряно не менее одного объекта; удет потеряно не более одного объекта. е т. Р (А) = Ц (1 — рг); Р (В) = 1 — Д (1 — р;); 8=1 1=а Ц(1 — р;)+р~(! — р ) . (1 — р )+ =1 + (1 — рх) ра (! — Ра) (1 — рл)+ + ° + (1 — рг) (1 — ра) (1 — ра т) рю Последнюю вероятность можно записать в виде ь а Р(С) =Д(1 — Рг) +~'.
— Д(1 — Рг). г=г .,! Р! .=г 2,65. Техническое устройство, состоящее из я узлов, работало в течение некоторого времени !. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью ды второй †вероятностью дя и т. д. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью р, а с вероятностью д =-1 — Р объявляет узел исправным. Найти вероятность того, жо после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.
Решение. Вероятность 1-му узлу быть неисправным после осмотра равна вероятности того, что он стал неисправным за время 1, умноженной на вероятность того, что на. ладчик не обнаружит этой неисправности: длу. Вероятность того, что это событие случится хотя бы с одним нз узлов, равна 1 — Д (1 — ЧФ) 1=1 2.66.
К условиям предыдущей задачи добавляется новое: по истечении времени ! с вероятностью !,! наладчика не оказывается на месте, н устройство пускается в ход без профилактического осмотра. Найти вероятность того, что после пуска хотя бы один узел устройства будет неисправным. и Ч Г Ответ. (! — ®) 1 — Д (1 — дат) ! +О ~1 — Д (1 — д;) !=1 3=1 2,67. Ф стрелков независимо один от другого ведут стрельбу каждый по своей мишени.
Каждый из нпх имеет боезапас м патронов. Вероятность попадания в мишень прн одном выстреле для 1-го стрелка равна Р;(1 = 1, 2, ..., й!). При первом же попадании в свою мишень стрелок прекращает стрельбу. Найти вероятности следующих событий: А — у всех стрелков вместе останется неизрасходованным хотя бы один патрон; В в ни у кого из стрелков не будет израсходован весь боезапас; С в какой-либо один из стрелков израсходует весь боезапас, а все остальные †весь. Я0 Р е ш е н и е. Событие А — весь боезапас израсходован— требует, чтобы у всех йГ стрелков первые и†1 выстрелов дали промах: М М ('(А)=П(! — Р,)"-'! ('(А) = ! — П(! — Р)'-т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
