Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 24
Текст из файла (страница 24)
отсюда аз lазтз 4 0 [Ха-'-1]= — ~ —, ) = — аз, 5 ~З) 45 7.16. Случайная величина Х подчинена норнальному закону: дЮ У(х) = е а 2и Найти натематическое ожидание случайной величины [ У= 1 — ЗХз+ 4Хз Р е ш е и н е. 3 з] 1 ЗМ [Хз] 4М [Хз] =а', М [Х'] =О; лв =-! — Заз. У ые величины Х и Г распредеграфики плотностей которых б. Ф~ 7,!7.
) 0 [ЗХ вЂ” 6У+1]; в) М [Х1']; а аз аз Решение. лз = —; Π—; аз[Х) = —, 2' " !2' з 5' а) М [2Х+ 3] = 2М [Х] + 3 = а + 3; б) М [ЗХз — 2Х+1] =Зссз[Х] — 2М [Х]+1= а' — а+1; в) 0[2Х+3]=4О = —; г) 0 [Ха+1]=0 [Хз] = аз [Х"] — (М [Х'])'=оса[Ха]— 1 Г* аз — (аз [Х])з; сзз [Хз] = — ] хз е(х = —; а 5 ' а) М !Х+У) = 3 (2а+Ь)! б) 0 ~ЗХ вЂ” бУ+1) =9О„+86Оу=-кл-+2Ьа; в) М(ХУ)= 3 аЬ; г) М (2ХУ вЂ” ЗХ'+ У' — 1) =2М (ХУ) — За, ~Х)+аа(У)— 4 3 Ьа — 1 = — аЬ вЂ” — аз+ — — 1. 9 2 ' б 7.18. Ответить на вопросы а), б), в) предыдущей задачи, если величины Х, У зависимы и их коэффициент корреляции равен г , = — 0,9.
кх Решение. а) М !Х-", У) = — (2 +Ь); б) 0 (ЗХ вЂ” б)'+1) = — +2Ь'+ Зб — ° 0,9 = 2 У" 18 18 2 = — + 2ЬЯ -Р 1,8аЬ; в) М 1ХУ) = — аЬ вЂ” 0,9 — = — аЬ. 2 аЬ 31 9 ' !8 180 7.19. По сторонам прямого угла хОу концами скользит линейка АВ длины 1, занимая случайное положение (рис. 7.19), причем все значения абсциссы Х ее конца Л на оси Ох в // пределах от 0 до 1 одинаково !./ вероятны. б(. Найти математическое ожилание расстояния /7 от начала координат до линейки.
Р Р е ш е н и е. Случайная велид' чина Х распределена равномерно в интервале (О, 1): — прн хЕ(0, !), 1 0 при х ~(0, !). Рнс. 7.19. В=Х )у 1 — —. (/Г)к !3 1бб Случайная величина /7 выражается через Х формулой (см. рис. 7.19) Так как выстрелы независимы и вероятность р одинакова лля всех выстрелов, можно вычислять М [ХД как математическое ожидание числа выстрелов до первого попадание (см. задачу 5.15): М [Х 1 = †, откуда 1 Р' м [х~ =,1, м [х,] - " . Р' с=г 7.22. Тело взвешивается на аналитических весах.
Истинное (неизвестное нам) значение веса тела равно а. Вследствие наличия ошибок результат каждого взвешивания случаен н распределяется по нормальному закону с параиетрами а и а. Для уменьшения ошибок взвешивания пользуются следующим приемом: взвешивают тело и раз и в качестве приближенного значения веса берут среднее арифметическое результатов и взвешиваний а) Найти характеристики случайной величины уы' — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. б) Сколько нужно сделать взвешиваний для того, чтобы уменьшить в десять раз срелнюю квадратическую ошибку весау Р е ш е н и е. н а) М [Уы'[ = — ~ М [Х,[, !'= 1 Так как все взвешивания производятся в одинаковых условиях, то М [Х;1.=а при любом ю'; М [1""'1 = — ~ а = — = а. 1 ла — л2м — л— 1=1 Считая ошибки отлельных взвешиваний независимыми, нахо- дии дисперсию уон: ч л 0[уо~1= — ',;Г" Р[Х,.1= — ',~ох="",=", Ф 1 ю=т б) Число взвешиваний а находим из условия ~О о О [У'"']= У -„===-; = 1ОВ.
и у.,—, 168 1.23.* По некоторой цели производится и независимых выстрелов; вероятности попадания в цель длв этих выстрелов Равны Р1 Ра .. „ р„. Для упрощения вычислений эти вероятности осредняют, заменяя одной постоянной аа — 1 Р=„~ Ра. а=1 По этой средней вероятности приближенно определяются математическое ожидание Й„ и среднее квадратическое отклонение и„ числа попаданий Х.
Будут ли эти характеристики вычислены вернет Если нет, то в какую сторону будет ошибка? Решение. Математическое ожидание будет вычислено верно: ла, =- лр = — ~ ра = ш„. а=1 ! Что касается среднего квадратического отклонения и„, то оно будет завышено: и„) а„. Для доказательства сравним приближенное выражение дисперсии где а!=-1 — р= — ~дг = ~~»' (1 — р;) — 1 л а 1 1=1 наченнем ~!. =Хрис вумя способами сумму (Ч; — Ч) = ч; рну; — ~ р,! — ", Рр!+ прЧ = =,Я ра1,— пру, аа р!(ц — Ф= Х (р; — р!(! — Рг — !+р!= ч", (р,— р! =О, 169 Отсюда ь ~~', ргг); — прд =ބ— 6„= О, д„) О„, Ф-1 что и требовалось показать. Заметим, что знак равенства в Й„) О„ достигается только при рх =р, = ...
=р„ =р. 7.24. Светящаяся точка, изображающая наблюдаемый объект на круглом экране радиолокатора, может случайным образом занимать любое положение на экране(плотность вероятности постоянна). Диаметр экрана равен О. Найти математическое ожилание расстояния Л от светящейся точки до центра экрана. Решение.
Я=Р'Х'+ 1", где (Х, У) — система случайных величин, распределенная равномерно в круге Кр диаметра Р: ( 4 — при (х, у)~К„ О при (х, у) 7Кр. лг,= М Я = Ц р'х'+у' —, ох ау ("и) илн, переходя к полярной системе коорлинат (г,~р), хи оГь гл = — (г(гр ( г г(г= —, 3 ' о а 7.25.
Две точки Х и У, независимо друг от друга, занимают случайное положение на отрезке (О; 1) осн абсцисс (рис. 7.25а), причем плотность вероятности на этом отрезке постоянна лля обеих случайных величин. Найти математическое ожидание расстояния Я и г7 р 1 Рис. 7.2ба. Рис. 7.25б. между этими точками и квадрата расстояния между этими точками.
Решение. Имеем Л=! У вЂ” Х(; лг,=М(!У вЂ” Х(~. ПО Изобразим систему (Х, 1') как случайную точку на плоскости хОу (рис. 7.25б), распределенную с постоянной плотностью 7'(х, у) = 1 в квадрате со стороной 1. В области Ох: Х) У; ] У' — Х]=Х вЂ” 1. В области .Оа: 'г > Х; ] У-Х] = У-Х. т, = ~ ~ (х — у) г)х г(у + ) ~ (у — х) ах г(у = (о,> (Оэ) х 1 я - [ г(х [ (х — у) с(у+ [ 0у [ (у — х) с(х = — . а о ь о М [)са] = М [] У вЂ” Х]е] =- аз [1'] —; а, [Х] — 2т„ги,, = 2(с7„-1-тк) — 2т,'= В 1 7.26. На осн абсцисс имеются два соседних отрезка (рис.
7.26) длиной по единице; в пределы одного из них случайным образом попадает точка Х; в пределы другого— х~ точка 1; причем координаты 8 точек Х и У независимы. Плотность распреде.чения каждой Рнс. 7.26. из случайных величин Х, в пределах соответствующего отрезка постоянна, Найти математическое ожидание, дисперсию и второй начальный люмент расстояния Й между ними.
Ре шеи не. 77 = У вЂ” Х; т„.= М [У] — М [Х] = 1; Р, = П„+ й„= —. 6 ' 7.27. Имеется квадрат К со стороной, равной 1 (рис. 7.27). На смежные стороны квадрата случайным образом н независимо друг от друга падают точки Х и 1'1 каждая из них имеет в пределах соответствующей стороны равномерное распределение. Найти математическое ожидание квадрата расстояния между ними. Р е ш е н и е. ЙЯ=Х'+1"; т,.* М [Йх]=ав[Х]+ах[У]= —. щей задачи изменены так, что смежные, а на противоположные 171 стороны квадрата (рис.
7.28). Найти математическое ожидание квадрата расстояния между точками Х и 1'. Решение. 1са = 1 + (У вЂ” Х)Я; М[У] =1+ «, [У]+,[Х] — 2М [Х]М[У] =1+ Ф вЂ” 1 =Х. Рис. 7.27. Рнс. 7 28, 7.29. Условия предыдущих задач (7.27 и 7.28) изменены так, что точки Х и У случайным образом и независимо друг от друга занимают с постоянной плотностью любое положение на периметре квадрата К Найти математическое ожидание квадрата расстояния между ними. Р е ш е н и е. Выберем три гипотезы: Н, — точке Х, 1' легли на одну и ту же сторону квадрата; Н вЂ точ Х, У легли на смежные стороны квадрата; Нз †точ Х, 1' легли на противоположные сторонла квадрата.
Математическое ожидание величины 7се найдем по формуле полной вероятности: м [)са]=Р(н,) м [(с'[н,1+Р(н,) м [)7а[н,]+ +Р(Н,) М[йл[На], где М [гллл[Нл], М [лсл [Н,], М [гллл[На] — условные математические ожидания величины ях при соответствующих гипотезах. Из ранее решенных задач 7.25, 7.27, 7.28 имеем М [7с'[Нл]= —; М [)с'[Нл]= —; М [)с']Н.]= —. Находим вероятности гипотез: 4' ( а) 2' Р (На) = —. 1 3 — 4 172 Отсюда 1 1 1 2 1 7 2 М~)7Ч= —,.— + — — + —,.— --. 4 6 2 3 4 6 3 ' 7.30.в Задача Бюффона. Игла длины 1 бросается на плоскость, разграфленную параллельными прямыми, разделенными расстояниями Е (Ь) 1) (рис.
7.30а). Все положения центра иглы и все ее направления одинаково вероятны. ,Ф Х Рнс. 7.306. Рнс. 7.30в. Рнс. 7.30а. Найти вероятность р того, что игла пересечет какую-нибудь из линий. Р е ш е н и е, Положение и ориентация иглы определшотся двумя случайными величинами: Х и с1, где Х вЂ” расстояние от центра иглы до ближайшей к нему линии и 6 — угол, образованный иглой с направлением перпенднкулнра к парал- лельным линиям (рис.
7.30б). Этн случайные величины рас- пределены равномерно: Е. Х вЂ” на участке от 0 до —; 2 ' Π— на участке от — — до —. 2 2 ' Поэтому у'(х, О)= — при хЕ~О; — 1! и 9~~ — —; — '); 2 / l и лт У(х, 0)=0 р ~(0, ф) 017( — —, — "). Рассмотрим на плоскости хОу прямоугольник возможных значений величин Х и 9 (рис. 7.30в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
