Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Автомобиль может двигаться по шоссе с произволь- ной скоростью о (О ( о( о„,х]. Чег! быстрее движется автомобиль, тем больше вероятность того, что он будет задержан инспектором милиции. Каждая задержка длится в среднем время 1,. Инспекторы на пути следования расстав- лены случайным образом; при этом на единицу длины пути приходится случайное число инспекторов, распределенное по закону Пуассона с параметром ),. Зависимость вероятности задержки от скорости ма!инны линейная: р(о)==аго (0(о(о „), 1 где и= —.
ааааа Определить рациональную скорость движения о, автомобиля, црн которой он пройдет путь а в среднем за минимальное время. Р е ш е н н е. Среднее время прохождения пути э будет 1= — +) ар (о) уз = — -)- )аайоуа. Если минимум этой функции лежит внутри интервала (О, о „), то его можно найти из уравнения — = — —., —; — ).эМ,=О, 199 откуда Эта формула справедлива при ор ( о ,„, т. е.
прн о ,„ ) „— . 1 1 Г11 Так, например, при о,„=100 [лмучас~', ) = —, [ — [ и = 20 минут имеем о = ж 77,5 [к.иучас1. Г 100 20 3 1 г Если о,„< —, то минимум функции 1= — +уар(о) 1, г лежит вне интервала (О, о,„), и наивыгоднейшей является скорость о =э,„. Например, если при указанных выше данных время задержки уменьшить до 10 минут„то о = о,„=— =100 [ам(час[.
7.65. Описывается окружность с помощью циркуля, рас- стояние межлу ножками которого номннзльно равно 5 см, но фактически устанавливается с ошибкой, математическое ожи- дание которой равно нулго, а среднее квадратическое откло- нение 0,1 см. Ошибка распределена по нормальному закону. Найти математическое ожидание н среднее квадратическое отклонение площади описанной окружности Ю двумя спосо- бами: а) точным и б) приближенным, пользуясь методом линеаризации.
Р е ш е н и е. а) Я=л(5 — , 'Х)', где Х вЂ” ошибка в установке радиуса, лг„=О, о' =0,1. лгг = М [8] = лМ [(5+ Х)г( = л (25+ 1ОМ [Х( -'; М [Х )) = = л (25+ окг) =л'25 01 О[Х[= .[5[ —:; яр [о [ = М [л' (5+ Х)') = ла (625+ 500лг„— , '150аз [Х(+ + 20а, [Х[+ аг [ХИ = гг- (625+ 150ог+ Зо',), так как при лг„=О начальные моменты совпадают с центральными (см, задачу 5.53); 0 [Я = — л' [625+ 150о„'+ Зог[— — л'[625+ 50о„'+оЯ == ля 1,0002.
о,= 1,0001л; 200 б) лл,=25п! 7-л,= [3 ) Ох=-(2 лт 5)в 0,01 =ив 7да'л л л-(,дх,),д х.— 0;=Л. Таклллл образом, разница при вычислении точным и приближеннылл методами мала (0,04%а по ш, и 0,01 % по и,). 7.66. Для построения равностороннего треугольника со стороной а = 3 см пользуются следующии способом: из произвольной точки О откладывают отрезок длиной а; при нем строят угол сл равный 60'; затем на стороне этого угла снова откладывают отрезок длиной а и полученную точку соединяют с точкой О (рис.
7.66), Отрезки длиной а'=Ы' а откладывалотся с помощшо линейки с делениями по ! л!.лл; максимально возможнаи при этом ошибка Ряс. 7.бб. равна 0,5 мм. Угол откладывается с помощью транспортира с максимально возможной ошибкой 1'. Пользуясь методом линеаризацин, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение третьей стороны Х. Решение. Обозначим фактическую длину первой стороны Х„ второй Х„ фактическое значение угла й. Эти случайные величины можно считать независимыми.
Имеем Х = )7гХ -1- Х,' — 2Х,Х, соз О. Пользуясь методом лннеаризации, найдем шх=)'гихл — пллк.— 2шхзнх 'о'шл х, хр ! где тх =т„=30[им), соыи =- —, откуда шх — )' 900+ оОО 900 =-30 [мм]. Далее ( дх л( 7' 1 2х,— 2х,сол0 ') ! х, + хл — 2хлх, сел О) и ()- дх ( /1 2хл — 2хлсолб л 1 (и) (2 ~~~~ ь л) 201 Вычисляем Дисперсии аргументов нам не заданы, заданы лишь максимальные практически возможные отклонения их от математических ожиданий: Лх = Лх, = 0,5 [мм]; ЛО = 1' = 0,01745 [рад1. Полагая приближенно о;, = о, = — ллх, = 0,167 [мм[; .О,, = йл, = 0,0278 [лгма[, о' = — гл0= 0,00582 [рад~; О =3,39 10 '[рад[, 1 3 получим Он =- — ° 0,0278 ° 2+675 3,39 10 ь 0,0139+ 0,0229 = = 0,0368 [лм'~; оь = 0,192 [л~м[.
7.67. Расстояние О от некоторой точки О до об.ьекта К определяется слелующим образом: измеряется угол ж, под которым виден объект нз точки О (рис. 7.67); далее, зная Рнс. 7.б7. линейный размер объекта Х, определяют расстояние по приближенной формуле: О= Х Х п ж 2 а1п— 2 Линейный размер объекта Х в зависимости от случайного 202 положения объекта может изменяться в пределах от 8 до 12 и; угол а определяется с точностью до 0,1 тысячной радиана. Расстояние ху велико по сравнению с размером объекта Х.
Найти приближенно среднее квадратическое отклонение пр ошибки в 'определении расстояния В, если измеренное значение угла а равно одной тысячной радиана. Ре шеи не. Применяя метод лкнеарнзации, имеем Линейный размер Х с штаем равномерно распределенным в интервале (8; 12); и.="-' "'= ==[хг); и,'= — [мв); лг„=10 (и). грЗ зуЗ Фз 3 Далее 0,0001 10 откуда пР=( ) пкт ( 2) оа (ц~ т ~ '3 "т' -~-( — ) ° — = —. 10" + †. 1О' = —. 10' [мт); 1О та 10 ~ 4 „,, 1 в 13 1О") 9 3 ' 9 9 пп — — 3 10з 1 20. 10з [м~ Р 13 7.68. Имеются две почти линейные функции и случайных аргументов: у=-ы,(х„х„..., х„); ~= р,(х„х„..., х„). Даны характеристики системы т„н О, (1= 1, 2, ...„и) и корреляционная матрица (,'КР ().
Найти приближенно корреляционный момент К,. 203 Решение. Линеаризуя функции ф и ф„получим /дфа'т , (, дх;)ж Ежф (тк, тх, °... тк)+ Х ( — ) Х;; /дф,й (, дхг )ж отшода '=Х(Ф) Х,: '=Х( — ") Х,; х,,=м(ГЛ=м)л(';, ) х, з,'(" ) х1= -~(д.) (д'-) х+ ~(Д ') (д'-) И Последняя сумма содержит п(п — 1) членов; каясдому Кп ( го соответствуют двз члена суммы: ( — ";)-(Ф)"" - ( — "';)ы( — ":)" ) 7.69.в Летательный аппарат, находящийся над плоскостью мОу в точке А (рнс. 7.69), определяет свои координаты (Х, У) с помощью двух наземных радио- а А локационных станций О и О', измеряя углы а и (3, состав- Ф ленные направлениями на этп д станции с фиксированным направлениеы АВ ( Ох. Размеры базы (расстояние между стангт( х д д цпями) известны со средней квадратической ошибкой ап; угРнс.
7.69. лы а и Р определяются с одной и той же средней квадратической опшбкой а„= ой Известны: номинальное значеняе базы тв и измеренные значения углов и н р, равные т, и тм Ошибки в определении всех параметров независимы. Пользуясь методом линеаризации, определить приближенно математические ожидания случайных величин Х п 'г', их средние квадратические отклонения и коэффициент корреляции. 204 Прн т. = тз зто выражение можно упростить: 2оьв ы!пь т, соьь т, гь (2ов ь!пь т„соьь т, +о~та) 7.70.
Для определения расстояния Я от точки К до начала координат можно применить два способа: 1) определить расстояния Х и Удо осей координат и затем найти Я по формуле )7 = )л Хь + У'; 2) измерить только расстояние У до оси абсцисс и угол сь )рис. 7.70), затем найти лс по формуле Х д )? У Какой способ приведет к меньшей пот у грешности, если расстояния Х н У и угол гх определяются с независимыми друг от друга ошибками, причем средние квадрат тические отклонения ошибок Х, У равны о =о, а ошибки в угле — о.? Рис.
7.70. Привести численный расчет для зна- чений средних квадратических ошибок о„=-о„=1 [м), о„=1'=0,0174 [рад) при средних значениях параметров равных т„ =- !00 [м); т, =- 60 [ж); т„= асс!К вЂ”." 59' ж 1,03 [Рад). Решение. д!? х дк у 1) — =- — —; д. = Ухьдуь ду = Ух +„. ' д!? ! д!? у ь!па 2) -3-= —, 0ь[)?)=-[ —,) о„+[ ь ) о,„>о„о,йло,.
соььи,Лм Первый способ дает ббльшую точность. Для числовых данных задачи: о,=о =-1 [м); = 3,90 [м]. 206 7.71. Система трех случайных величин Х, У; Е имеет ! ! математические ожидания лги=10! пг =5; лг =3, средние У квадратические отклонения п„=0,1; и =0,06; п,=0,08 и нормированную корреляционную матрицу о,т — од~ Пользуясь методом лннеаризацни, найти математическое ожилание и среднее квадратическое отклонение случайной вели пшы У= „ 3 100+1 301 Решение. лг = „' = — =7. У 25+2 9 43 ди бх ди (Зх'+ 1) 2у дх уг+2гг ' ду О!г+2гг)г ' ди (Зхг+ !) 4г дг (уг + 2г')г — = — = 1,40; уйи', 6 10 (дх,'л 43 ( '' = ди) 301 12 — = — — = — 1,95; дг /и~ (43)г О ~и~ =1,40' 0,1'+1,634 О,Обе+1,95' 0,08г+ -)-2 ~ — 1,40 ° 1,63 0,7 ° 0,1-0,06+1,40.1,95 0,3 0,1 0,08+ + 1 63'1 95'0 6'0 06'О 081 ж О 066; о„0,26.
7.72, Производится параллельное соединение двух выбранных наугад сопротивлений !ст и Яг. Номинальное значение каждого сопротивления одинаково и равно лг,, = и,, = = 900 [оз!]. Максимальная ошибка в Я при изготовлении сопротивлений равна 1 е/ номинального значения. Определить методом линеаризации номинальное значение сопротивления такого соединения и его среднее квадратическое отклонение. 207 Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
