Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 30
Текст из файла (страница 30)
у =ср (х) х = ф (у) )ф'(у)! е(у) = уИ(у))! ф' (у) ! Графики д(у) при разных и 8.7. Случайная велпчппа с плотностью ! г" (х) = ( +х, см. рис. 8.6. Х распределена по закону Коши ( — оо < х ( т ао). 2!6 Найти закон распределения д величины 1'=- е-~'. Р е ш е н и е. На участке Рис.
8.6. возможных значений аргумента Х функция у == е-" монотонна, Применяя общее правило, получим цни, получим 1 ! е (р) =- илп 1 ч(!+к") ( — о (р(+с ), т. е. величина, обратная величине, распределенной по закону Коши, также имеет распределение Коши. 8.8. Через точку А, ле!кащ>нт на осн Оу на расстоянии 1 от начала координат, проводится прямая АВ под углом гх к оси Оу (рис. 8.8). Все значения и л угла а от — — до †' равновероят- 2 2 ны. Найти плотность распрелелеппя абсциссы Х точки В пересечен!ш прямой с осью абсцисс. Р е ш е н и е.
Х= !К си функция и и монотонна на участке — — ас —; Имеем 1 и (! + х') ( — оо < х С + со), рнс, з.з. т. е. случайная величина Х распределена по закону Коши. 8.9. Дискретная случайная величина Х характерпзуетсп рядом распределения ! — 2~ — 1~ 0~ 1) 2 ( 0,1 ! 0,2 ~0,3(0,3(0,1 ,и, Найти законы распределения случайных вели пш 211 Найти плотность распределения обратной величины у Р е ш е н и е. Учитывая„что, несмотря на разрывный ха- 1 ! рактер функции у = †, обратная функция х =- — однох к значил, и решая задачу по правилам для монотонной функ- $1 ! Р е ш е н и е. Определяя для каждого х; соответствующие значения величин У и Я и располагая их в возрастающем порядке, получим ряды распределения а(1!2~5 О ~ ! ~ 2 р," 0,3 ~ 0,5 ! 0,2 8.10. Через точку А с координатамн (О, 1) проводится прьчтя АВ под случайным углом тт к оси ординат (рис.
8.10), Закон распределения угла 6 имеет л вид у (О) = — сов 0 при Найти закон распределения расстох яния й от прямой АВ до начала координат. Рнс. 8.!О. Р е ш е н и е. Имеем Е =- ( а!и 0). Функиия ! = — ! з!п О) на интервале ( — — — не монотонна. Применяя обычную схему записи, и и') 2' 2,! имеем у(х) т. е. расстояние Ь распределено равномерно в интервале (О, 1), как это можно видеть и из геометрических соображений. 218 й==~р(х) х= ) ра(р) ) р; (у) ) =- 1 р:, (й) ! а д(р) =. ~„г(ф, (й))(ф (у) / — соь0 при — — < 0 (-л. ! и и 2 2 г'=(з!п О) — агса!п ! агсейп ! 1 У~ — ! 1 и(!) = соз (ашейп !) = 1 у'! !а при 0(Г(1, 8.11. Радиус круга )с в случайная величина, распределенная по закону Релея: ы у(г) = — е "' при г) О, Найти закон распределения площади круга 8.
Решение. Функция 8=пгс' на участке возможных значений )с(О, со) монотонна, следовательно, 5 1 й'(е) = —, е ла' при е ) О, т. е. закон распределения плоШади круга есть показатель- 1 ный закон с параметроы — , . 2лоз ' 8,12. Маятник совершает свободные незатухающие колебания, причем угол у (рис. 8.12) изменяется в зависимости от времена 1 по гармоническому закону: гр = а з! и (еу1 + 6), где а †амплиту, со †часто, 6— фаза колебания.
В некоторый момент а а 1 = О, совершенно не связанный с по- Р ложеняем маятника, производится его ! фотографирование. Так как положение г маятника в момент фотографирования неопределенно, то фаза 6 есть слу- Рис 8 12. чайная величина, распределенная равномерно в интервале (О, 2п). Найти закон распределения угла Ф, который будет составлять маятник с вертнкалшо в момент фотографиряваннв, найти его математическое ожидание н дисперсию. Р е ш е н и е.
Ф =- а з1п О, где фаза 6 распределена равномерно в интервале (О, 2п), на котором функция гр= а и!п0 не монотонна. Очевиднэ, решение задачи не изменится, если считать фазу 6 распределенной равномерно в интервале ('" — †, †), где функция ~р = а гйп 0 монотонна.
Плотность распределения величины Ф будет 219 Так как закон д(<р) симметричен, то его математическое ожидание гн,= О. Дисперсия угла Ф равна Е)е = — ' ~ " сйр= а и(, 2 2 и) 2 о 8.13. Завод изготовляет шарики, номинальный диаметр которых равен с(„а фактический диаметр Š— случайная величина, распределенная по нормальному закону, с математическим ожиданием гГе и средним квадратическим отклонением пп После изготовления каждый шарик проходит контроль, причем бракуются все и~арики, проходящие сквозь отг77,1 1 1' "гЯ верстие диаметром де — 2о, 1 н все шарики, не проходящие 1 1 сквозь отверстие диаметром Найти закон распределения диаметра шариков,прошедших Рнс. 8.13. контроль (не забракованных). Решение, В этой зада- че нужно найти плотность рас.
пределснг~я некоторой случайной величины Е", которая равна Е только н случае, когда Е приняло значение между г(е — 2о, и г(„-)- 2а„; вне интервала (с)е — 2оп г(а + 2о,) платность распределения у'а(1) должна быть равна нулю (рнс. 8.13), а внутри интервала †пропорциональ /'(1), причем а,+го, 1 Уа(1) г(1.=1. А-го, Из этого соотношения можно найти коэффициент пропорциональности а: Ч„ьаа, еа.~. 2ю уа(1) с(1= а ~ г" (1) И= а (2Фа (2) — 11=-1, и,-асч д,-хо, откуда 1 1 2чэ' (2) — 1 0,9544 228 Таким образом, Г !ь ялв е ' при 11 — г(о( < 2ап а, У 2п О при (à — г(,() 2ап У" (Г) = 8.14.
Имеется случайная величина Х с плотностью распрелеления у'(х). Случайная величина У определяется через Х соотношением !'= — ш!п (Х, 1), т. е. 1'=Х при Х < 1, !'=1 при Х)~1, Найти закон распределения случайной величины у п оп. ределить ее математическое ожидание и дисперсию. Решение. Случайная величина У булет величиной смепшнного типа, При у=! ее функция распределения пмсст скачок ры равный вероятности того, что величина Х прямет р; Гр) значение, большее единицы: р = ] Г'(х) дх=- ! — г' (!). 1 При у < 1 функция распределения гд(у) случайной величп- Рнс.
8.1!. ны г' будет совпада~ь с функцией распределения Р (х) случайной вели пшы Х прн х =-=у: р,(у) =р(у) ] Г" (х) Фх. у ) 1 Р (у) = — 1 (рис. 8.14). й(атематическое ожидание смешанной случайной вели шны вно 1 О 1 т =- 1 р + ] ур' (у) г(у = ] У(х) дх + ~ у,р (у) пу.
1 ерсия случайной величины )' равна О 1 О,=-оса(У] — т,'.,= ~ У(х) г(х+ ~ уер(у) г(у — т,',. 1 Ф 22! 8.15. Имеется непрерывная случайная величина Х с плотностью распределения у'(х). Найти закон распределения случайной величины +1 при Х) О, У=а!япХ= 0 при Х=О, — 1 при Х(0 и ее числовые характеристики. Р е ш е н и е. дискретная случайная величина 1' имеет всего два значения: минус едкница и плюс единица (вероятность того, что 1'=О, равна нулю).
о ! (У= — 1) = [ (Х < О) = 1 У(х) (х = Р (О); ~О [о ()'== +1) = [з (Х> О) = ~у'(х) сКх= 1 — Р (0). о т = — ! Р(0)+1 [1 — Р(0)[ =1 — 2Р(0); ссз [!') =1 Р (О)+1 [1 — Р(0)1 — ! !У = — сс,[У) — т,', = 1 — 1 -'- 4Р (0) — 4 [Р (О))' = =4Р(О) [1 — Р(О)~. 8,16. Имеется непрерывная случайная величина Х с плотностью распределения у'(х), Найти закон распределения слу- У чайной величины ха Г=ш!и [Х, Х'-'), т.
е. величины, которая равна Х, если Х ( Ха, и Ха, если Хе ( Х. Решение. Функцияу=~р(х) монотонна (рнс. 8.16) ( ха при х~(0, 1), ') х при х~(0, 1). Рнс. 8.!6. Так как интервал (О, 1) осн Ох отображается на интервал (О, 1) оси Оу, то по общему правилу к(у) = У'( у) = при уЕ (О, 1), 21' у ( у(у) при у((0, 1). 222 8.17. Случайнак величина Х имеет плотность распределения 7"(х), заданную графиком (рис.
8.17). Случайная величина Г связана с Х зависимостью )г 1 — Х'. Найти плотность распределения случайной величины У. М 1~ е ш е н и е. Плотность 7 (х) даетси функцией 7"(х) = 2(х+ ) 1 и при хб( — 1, +1). Рис. 8.17 Функция у=! — ха на этом участке не монотонна; обратная функция имеет лва значения: х,= — и'1 — у, х,=+)/'1 — у. Отсюда К(у) = — ((! — ) г1 — у) + (1+ )~! — у)) 4у 1 — у или д(у)= = прп Оч„уч.1, 1 2Р! — у 8.18. Случайная величина Х распределена по закону с плотностью 7'(х).
Найти плотность распределения обратной 1 ей случайной величины У= --. Х' 1 Р е ш е н и е, Функция у = — хотя и не монотонна в обыч- х ном смысле слова (при х= О она скачком возрастает от — оо до оо), ио обратная функция однозначна, значит, задача может быть решена так, как она решается для монотонных функциИ: прн тех значениях у, которые могут быть обратныил заданной совокупности возможнык значений х. 8.19. Натуральный логарифм некоторой случайной величины Х распределен по нормальному закону с центром оассеивания тл и средним квадратическим отклонением о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
