Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Найти плотность распределения величины Х 223 Р е ш е н и е. Обозначим нормально распределенную величину У. Имеем >и- »>* 1 У=1п Х; Х= ес>; у" (и) = е оР 2п Функция е" монотонна; >>пл-тр >ь>х-т)' „(х) =.— е 'ш —,= е мм при х )О. о)' 2п х хо)' 2п Такое распределение велич>шы Х называется логнорл>альньт. 8.20. Пятно П, изобража>ощее объект на круглом экране радиолокатора, может занимать на нем произвольное поло- «кение (рнс. 8,20), причем плотность распределения коорди- нат (Х, У) пятна в пределах экрана посто» янна.
Радиус экрана равен га. Найти плотность распределения расстояния Я от пятна до д >у центра экрана. Р е ш е н и е. Найдем функцию распре.>егр ле>шя 6 (г) = Р (й < г) = Р ((Х, 1') Е К,) Рнс. 8.20 где К, †кр ралиуса г с центром в точке О. Так как в пределах экрана плотность распределения постоянна, то вероятность попадания в круг равна его относительной площади откуда 2г ь (г) = бр (г) = —, при 0 г С ге.
га 8.21. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале (О, 1), Случайная величина 1' связана с Х монотонно возрастающей функциональной зависимостью 1'= >р(Х). Найти функцию распределения б(у) и плотность распределения д(у) случайной величины г'. Решение. Имеем у(х) 1 при хЕ(0, 1). Обозначим >р(у) функцшо, обратную по отношению к функции у =>р(х). Так как >р(х) монотонно возрас«ает, то ФУ) =У(ф(У)) ф'(У) =ф'(У) откуда б(р) = ф (у), т. е. искомая функция распределения есть обратная по отношению к функции >р (в области возможных значений величины У).
224 8.22, Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (О, 1), чтобы получить случайную величину 1; распределенную по показательному закону с (у) = Ле-ьа (при у > О)? !' е ш е н н е. На основании решения предыдущей задачи мы должны положить У=гр (Х), где гр — функция, обратнзя требуемой функции распределения 0(у) случайной величины У. Имеем и 6 (у) = ~ Ле-ладу = 1 — е-лн е Полагая ! — е-с-н.—...х и разрешая относительно у, получим у =- — — !и (1 — х), 1 Л оюсуда искомая зависимость будет У==. — — !и (1 — Х), О а, Х --. !. 8.23е. Имеются две случайные величины: Х с плотностью ,г,(х) и У с плотностью ун(у). Известно, что величина У представляст собой монотонно возрастающую функцию величины Х: У.==гр(Х).
Найти вид функции гр. Решение. Введем в рассмотрение, кроме плотностей ,У,(х), Уе(у), еше и функции распрелеления н в Гт (х) = ~ сгт (х) гссх' Ее (у) — ~ ?' (у) с(у Представим слу шйную величину Х как функцию от У: Х=-гр '(У), где ~р "— функция, обратная по отношению к искомой гр. Применяя обычный способ нахождении функции распределения монотонной функции, находим чьи Е, (х) = ~ ун (у) г)у = Еа (гр (х)). Разрешая это уравнение относительно ~р (х) и ввода функцию Е,', обратную функции Е„ получим гр (х) = Е, '(Е, (х)), 225 а в, с.
вентнень. л. А. Овчарне ) или, возвращаясь к случайным величинам, ! У вЂ” Е [Е (Х)) Полученная формула определяет функцию ~р(х) только в тех интервалах, где плотность уг(х) отлична от нуля. 8.24. Случайная величина Х распределена по показательному закону: ~',(х) лв-ьм (х " О). Каким функциональным преобразованием можно превратить ее в случайную величину Г, расмределеннуго по закону Коши: ! Г"- (У) = и (1+ Ка) Решение. Е,(х)=1 — е-гх (х) О); 1 Г пч Е (у)= — [ сап — , '2 ! 1Г, п) Полагая — 1г агс(йу + — '2 ~ =-. и и разрешая относительно у, найдем обратную функцшо Е,'(и): у=Е,'(и) =-18(пи — —,) = — сгони. 2,Г Г!о решению предыдущей задачи получим У= — Е, ' (Ед (Х)) .= — с(8 и (1 — е-»») = сгй пе-»» (Х ) О), 8.25гч Решить ту же задачу, что и 8.23, но при условии, что связывающая две случайные величины функция гр должна быть не монотонно возрастающей, а монотонно убываю.
щей. Р е шеи не. В те» же обозначениях, что в задаче 8.23, имеем :,1, 1) Х = гр г (1'), Ет (х) =- [ Г (у) г(у =- ! — Е,[гр (х)], Е 1я1 откуда гр (х) = Е, ' [1 — Ег (х) ] н У = — Е., ' [ ! — Е„(Х)]. 8.26. Двое условились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 12.00 до 13.00.
Каждый из ннк 226 приходит на место встречи независимо от другого и с постоянной плотностью вероятности в любой момент назначенного промежутка. Пришедший раньше ожидает лругого. Найти распределение вероятностей времени ожидания и вероятность того, что ожидание продлится не менее получаса. х Р е ш е н и е, Обозначим моменты прихола двух лиц Т, и Т;! за начало отсчета времени выоерем 12 час.
Тогда каждая из независимых случайных величин Т„ Т, распределена с постоянной плотностью в промежутке (О, 1). Случайная величина Т вЂ вре ожида- 3 / l ния; Т=) Т вЂ” Т ). Найлем функцию распределения 0(1) Рнс- 8 28. этой величины. Выделим на плоскости 7,07, область 7) (1), в которой )гт — 1,! У (заштрихованная область на рис.
8.26). Функпия распределения 6 (7) в данном случае равна площади этой области; 6 (1) = 1 — (1 — 1)з = 1 (2 — ~), откупа К(1) = 2 (1 — 1) при О < 7 ( 1, Р(т> — ) =- ! — а( — 2') =О,28. 8,27. Случайная точка (Х, У) распределена равномерно в квалрате К со стороной 1 (рнс. 8.27а), Найти закон распределения плошали 8 прямоугольника 17 со сторонамн Х, У. Щ Г Рис. 8.2?а. Рвс. 8.278.
Решение. Выделим на плоскости хОу область 7.7 (г), в пределах которой ху С з (рис. 8,27б). 227 функции распределения в данном случае равна площади области В (а): о 1 6(ю) =1 — ) ') г)хг(у=! — ') о1х ~ о(у=а (1 — !па). п(о) С)тс)ода д(а) = — 6' (а) =- — !и гприО<ю<1. 8.28. Система случайных величин (Х, 1') имеет плотность распределения у (х, у). Найти плотность распределения д(г) 1' их отноц)ения л = —. Х' Р е ш е и и е. Зададимся некоторым значением я и построим на плоскости хОу область 0 (а), где ~ < г (рнс.
8,28, зал )нтрихованная область). Функпмеет внд Рнс. 8.28. ция распределения 6 (з) 6(а) = ) ') У(х,у) г(хо(у= О о) к оо = ~ дх ~ )'(х, у) о(у — ,'- ( г(х ( г"(х,у)ду. о — оо Дифференцируя по х, имеем о ьо (а) = — ~ хг" (х, ях) о(х -)- ~ хг" (х, хх) о(х. о~ о Если случайные величины Х, У независимы, то о х (л) — — ( ху", (х) уо (ах) о(х + ( хуо (х) Го (лх) о)х. 228 У 8.29. Найти закон распределения отношения Х= — двух Х независимых нормально распределенных случайных величин Х, г' с характеристиками л)„ = ло, = О, о, и о . Р е ш е н и е. Рассмотрим сначала частный случай им=о 1.
На основании предыдущей задачи о 1 и 1 — — См+ык'1 „1 - — (ычыхн 2 е ~(х+) х е с(х 2л 2л =-.— ) е ' хс(х=— л а л(!+г') о (закон Коши). В общем случае отношение Х=- —, можно представить в Х о, У, Х У виде Е= — к —,, где величины Х,=- — и Г,=- — имеютуже о„х, ох ~ ог нормальные распределении с дисперсией, равной 1; поэтому в общем случае д(г) =- , ~1, (~дг) ~ог В частном случае, если о,=.сг, получим 1 ~(г) =л„~Рта). 1 л т 2 у' ' откуда 1 8(г) =11'(г) == +, (закон Ноши). Рис. 8.20. 8.31. Состаннть композицию двух показательных законов прн х )О, при хд .,О, при хе) О, нри х,(0.
8.3Х Случайная точка (Х, У') распределена равномерно в круге К радиуса 1. Найти закон распределения случайной У величины Е=- — . Х' У Р е ш е и и е. В данном случае 6 (г) есть относительная площадь области =г О(г) (рис. 8.30): Решение. Обозначим Х=Х +Х„где Хт, Хз распределены по законам гх(х,), у (ха). Согласно общей формуле для композиции законов распре- деления м К (х) = — ~,!! (х,) ув (х — х,) г(хх.
Но в нашем случае оба закона отличны от нуля только при положптельнол! значении аргумента; значит, !з(хт) = 0 при х, <О и Уе(х — х,)=-О пРи хх)х. Прн х > 0 полу ны! х(х)=-~),е ххЛзг ' " "»ах —. а х х (обобщенный закон Эрлакга 1-го порядка]. Ирн Л == Л = Л, раскрыв неопределенностчм получим закон Эрланга 1-го порядка: й" (х) =).зхе '" при х. О. П р н и е ч а н и е. Методом математической нндукннп можно доказать, что закон распределения суммы и независимых случайных величин Хо ..., Хч, подчиненных показательным законам распределения с различными параметрами Л„..., 1.„, т.
е. обобщенный закон распределения Эрлапга (и — !)-го порядка, с1х1еет плотность я ,ц ~~ е '='Ц (Л! — Лл) с~! 0 при х>0, дя, (х)=- прн х< 0. ( я Запись Д означает, что берется произведение всех биномов вила а — '! кроме Л вЂ” Л; 1 Г) Л вЂ” Ле при в=1, 2, ..., 1 — 1, ! — , '1, ..., п, т. е. ! В частнол~ случае, когда Лг=й: ая, (х) = ~~~~~ ( — 1)! ' С!„Л)е з=х 230 функция распределения обобшенного закона Эрланге (и — 1]-го по- рядка имеет внд ! — е ьтх при х>0.
Если Ц=!)., то бн т (х)= ~~~ ~( — !)У ~ Сгн (1 — е ттх) прн х > 0 где ае о(,л, а) = — ~~у' а е а. ан р(т, а)='т е е; тн! 8.32. Имеется система двух случайных величин (Х, У) с плотностью распределения у'(х, у). Найти функцию распределения 6 (л) и плотность распределения л (л) максимальной из этих двух величин: Я= шах(Х, г'). Р е ш е н и е. Будем искать функцию распределения случайной величны Л: С! (л) = Р (х. ( х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
