Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 35
Текст из файла (страница 35)
О~сюда имеем О„= ае [Х1 — т„' - урт, +()р)»Оо 8.67. Решить предыдущую задачу для конкретного случая, когда у'(«) есть закон Эрланга й-го порядка с параметром а: у(«),у, (1) "(«"')" е-е (г > О). Р е ш е н н е. Г (лрг) ",, р («ы)» » — ~ р»+» е-а»ч-»«~ г)г р ()„р) н «»» т««н о , (.т) л «„» (т+»)«, „° »,», т«а«(«т . «»)ы»ч '"'» «Хр+и) «,)р+р) Итак, величина Х распределена по «обобщенному закону Паскаля ()е + 1)-го порядка» (см. задачу 8.61) с параметром лр й +н М+~ т) Математическое ожидание случайной величины Т, распре»+1 деленной по закону Эрланга А-го порядка, будет т, = — ' «» а дисперсия О,= —,.
Следовательно, по форчулаи, по- «»2 лученнын в предыдущей задаче, и»„= — ()»+1); О„= — (й-,'-1) ~1+ — ), «,р К» ~ р)' что, как и в задаче 8.61, можно представить в виде (4 + 1) Ет 1) (Д + 1) Чг глх р ~ х т 3 Рт 8.68. Найти характеристическую функцию гамма-распределения 8"х"-г г(х) = Г( е З" (х) 0; ~ ) 0; а) 1).
грх ~ „, ра Решение. д(у)= ) е-,"х них,( ,) Г (а) — (() П р в и е ч а н н е. Прн целом и гамма-распределенне превра. щается а распределение Эрланга (н — !)-го порядка, так как Г(сс)=(гс — 1]! н )(х)= — е Зх (х > О) р (рх)" (гг — 1)1 н характеристическая функция распределения Эрланга имеет такой же внд, как н для гамма-распределения(см. задачу 8.83) 8.69». Случайная величина Х представляет собой сумму случайного числа случайных слагаемых У Х=~ Х„, а=г где Ха — одинаково распределенные случайные величины с плотностью Г"(х) и характеристической функцией с.„(Г), а случайная величина у распределена по сдвинутому на единицу закону Паскаля: Р(у=гл).=рд ' (из=1, 2, ...).
Случайные величины Ха (й = 1, 2, ...) и У независимы между собой. Требуется найти характеристическую функцию слу тайной величины Е и ее числовые характеристики. Р е ш е и и е. Допустим, что случайная величина У приняла значение лг. При этой гипотезе Характеристическая функция случайной величины Л будет равна а. (1) =- [6. (1) 1", следовательно, характеристическая функция случайной вели чины Е будет Так как 0 (д (1 и 0()8„(Е)(~~1, то Отсюда дрв (1) д(ы) 1 о (1 чкх(1)1 ~ о 1 так как ж = —.
Далее имеем д йя(1)( ао д(Ы)' (о=о р' р~п = — = тхт, рв х у~ а,„р+ 2дт', 1 откуда О =а — и = а,„р+2дтх тх в вв в в — — =О т +и О рв х у х у) Рнс. 3.70. 8.70. Найти характеристическую функцию случайной величины Х, подчиненной закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) в интервале (а, Ь) (рис. 8.70). 257 9 В. С. Вевтвелв, л. А. овчвров где О = —. 9 у рв' Мы получили тот же результат, что н в задаче 8.51, но другим методом.
Решение. 4 (х — а) е«х г(„),)х '( енх (Ь ь Нх+ —:а а «'+ь У а — Ь «4(Ь вЂ” х) 4 е ~ 2 (Ь вЂ” а)ь (Ь вЂ” а)ь Ьх а+Ь «(',а — Ьм а+ь 4 е ~ 2 ь (1 — Ы вЂ” ) — е' (Ь вЂ” а)' Итак, е+ьч г2е =-~„' (« -" )1 ~(() ( е«а е«ь 4 еь (Ь вЂ” а)' При а= — Ь (Ь) О) имеем а(()=( —,',з1п —,") . Сравнивая полученные результаты с решением задачи 8.54, заклкьчаекч что распределение Симпсона можно рассматривать как композицииь двух равномерных распределений на Уа Ь1 интервале ~2' 2)' 8.7П При измерении физических величин результат измерения неизбежно округляется в соответствии с минимальной ценой деления прибора.
При этом непрерывная случайная величина превращается в дискретную, возможные значении которой отделены друг от друга интервалами, равными цене деления. 2ь8 0 4 (х — а) (Ь вЂ” Р У(х) = 4(Ь вЂ” х) (Ь вЂ” а)' 0 при х(а, при а (х(— а+Ь при — ( (Ь, а+Ь при х) Ь. о+о,ь Р(у=й)- ~ у(х) А-о,ь откуда о ьЧ-о,ь льу = )~, ьь ~ У'(х) ь(х; ььх (и=О, -1-1, -~-2, ...), м А-~-о,ь ), ль ) 7(х) г)х — лько о). ь=-ю ь-ом 8.72. Случайные величины Х и 1' независимы и распределены по законам Пуассона с параметрами а и Ь. Найти закон распределения их разности Л Х вЂ” У и модуля их разности У !Х вЂ” У~.
Р е ш е н и е. Случайная величина Х может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Вероятность того, что л примет значение й . О, равна сумме вероятностей того, что Х и У примут два значения, различающиеся иа А (причем Х вЂ боль или равно У): т=о *) Если единица измерения (цена деления прибора) мала по сравнению с диапазоном возможных значений случайной величины Х, то льу оьо Оу 17 В связи с втим возникает следующая задача. Непрерывная случайная величина Х, распределенная по закону с плотностью у(х), округляется до ближайшего целого числа; получается дискретная случайная величина У=2((Х), где под Ц (Х) подразумевается целое число, ближайшее к Х.
Фкг Найти ряд распределения 2 - — -о — ь случайной величины У и Г ее числовые характеристики: ль, Е) . чо РУ 2от у у. -I Р е ш е н и е. График функции Ц (х) представлен на рис. 8.7!. Правило округления Рнс. 8.71. в случае, когда расстояния от значения х до двух соседних целых значений равны, несущественно, так как для непрерывной случайной величины вероятность попадания в любую точку равна нулю.
Вероятность того, что случайная величина г' примет целое значение л, равна Вероятность того, что е. примет отрицательное значение — и, будет л=е '! (ч Для случайной величины У получим Р (У 0) ~ ~ (а ) е-ы+ь); р(и=й)= ~~», ( а) е "+ '(аа+Ь ) ли (тл-(-е)1 (и ) 0). Эти вероятности могут быть записаны с помощью модпфнцированных цилиндрических функций 1-го рода: ~а( )=~-а(")=~х~м 1(~)~ а ( =О 1 2 ° ° ° ) ). т=о Прн этом Р(Е Уе) У (23/аа)(ь3 е '+ю (* 0' ~1' ~2' ''') Р (У = О) = Уо (2 )/ аа) е ы+ь>. Р(у-ч-| от~и~(( — ) .~( — ) ) " ' в)Оъ.
8.73. Грибник вышел собирать грибы в лесу. Радиус обзора его равен Я. Перемещаясь по лесу, он обнаруживает каждый гриб, находящийся в пределах круга обзора, с вероятностью р(о), которая зависит от скорости о передвижения грибника по лесу. Считается, что грибы в лесу образуют пуассоновское поле точек с плотностью Х (), †среднее число грибов на единицу площади). Определить оптимальную скорость движения грибника по лесу, при которой он за время г' обнаружит в среднем наибольшее количество грибов, если вероятность р (о) задана формулой р (о) = -"" (сс ~ О, о > 0), и грибник не возвращается на уже пройденные им места.
*) Таблицы цилиндрических функций можно найти в справоч- 2 никах. 260 Решение. Ва время Р грибник просмотрит полосу, площаль которой Я= 2эИ, и обнаружит в среднем количество грибов, равное лг = о)ср (и) = 2п1 77)се-в". Ллн нахождения оптимальной скорости движения продиф.
ференцнруем величину гл по и и приравняем производную нулю: ж = 2ИХа-"' (1 — па) = О, 1 откупа оптинальное значение скорости будет пв =- — . 8.74. В условиях задача 8.73 грибник идет со скоростью и и собирает все обнаруженные ип грибы. Веса отлельных грибов представляют собой независимые случайные величи- ны Уп распределенные по одному и тону же закону с ма- тематическим ожиданием тл и дисперсией й .
Найти мате- матическое ожидание общего веса г". всех собранных гри- бов за время 1 и (приблнженно, считая число грибов боль- шим), вероятность того, что эта величина превзойдет за- данную емкость корзинки яа. Р е ш е н и е. Число собранных грибов Х будет случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с парамет- рои я„= 2пгй).е-ч". Общий вес всех собранных грибов будет х к.= ~'" 1;.
1=з В соответствии с решением, изложенным в задаче 8.51 илп 8.69, имеем ш =т„т . Лалее Ог глав+ шк0х = лгх (~у, тля) = гл~'пяу так как для распределения Пуассона В„ = т . Считая при- ближенно случайную величину Е распределенной нормально, получим Р(Е> аа) =1 — г'(яа) 1 — Фв ( ' г), где а, = )l тТ. 8.75. Известна плотность распределения ~'(х, у) системы случайных величин (Х, У). Найти закон распределения их разности: х. =Х вЂ” 1'. Решение.
Лля системы (Х, — 1') плотность распреде- ления есть у'(х, — у), поэтому нз Х вЂ” у=Хай( — у) находим О я(я) = 0' (г) = ~ у'(х, х — а) с(х. 26! Если случайные величины (Х, У') независимы, то а(«) = ) у (х) у (х — «) Ых = ~ д (у — «) ув (у) Иу. Ф 8.76. Найти плотность распределения разности двух независимых показательно распределенных случайных величин Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
