Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 36
Текст из файла (страница 36)
8.78. с параметрами ) и р; е, =Х вЂ” У, у (х) =).е в.", .гв(у) =)ге вх (х)0, у)0). вв Решение. к(«) = ~ Г,(х)гв(х — «) в(х; ув(х) отлично — Ф от нуля при х ) 0; г" (х — «) отлично от нуля при х — «) О. а) «> 0; («) = ~ ) е '")ве "'"' " бх = —. )Ре вв Рь — — х+Р ' б) «<0; хв(«)=) )е ' )ве всв *'в(х= —. ьрев» Х+Р' Слеловательно, ьре-вв л+р в'() Л ).+и при «» О, при «(О. Параметры етого закона: р — ь 1 1 ьв+рв лв= — — — = —; й= — + — = в р вр в= вв рв (вч„)в Кривая распределеняя будет иметь вид, изображенный на рис.
8.76, а. При ) =)в получаем хг(«)= — е-ь~в! (рис. 8.76, б). Та). 2 кой закон распределения называется законом Далласа. ГЛАВА 9 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Случайной функцией Х (1) называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее, какой именно. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результа1е опыта, называется реализацией случайной функции. При фиксированном 1 случайная функция Л (1) обращается в случайную величину Х (1), называемую сечением случайной функции.
Одномерным законом распреде»ения случайной функции Л (1) называется закан распределения 1(х, 1) сечения Х (1) случайной функции, Деумерным зако»ом распределения случайной функции Х (1) называется закон распределения системы двух ее сечении: Х(1т), Х (1»), представляющий собой функцию четырех аргументов: ) (»т, хе 1ы 1з).
Случайная функция Х(1) называется нормальной, если закон распределения системы любого числа п ее сечений представляет собой п-мерный нормальный закон. Матемагппческим ожиданием случайной функции Х (1) называется неслучайная функция т» (1), которая при каждом 1 представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайной функции: гп„(1)=М (Х (1)). Корреляционной функцией случайной функции Х(1) называется неслучайная функция двух аргументов К„(1, 1'), которая при каждой паре значений аргументов 1, 1' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной фуниции: К„(1, 1') =М(Х И) Х(1')), где Х (1)=Х(1) — т»(1) — центрированная случайная функция.
При 1'=1 корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции: . К„И, 1)=П„(1)=О(ХИН=(о„(1))з. Основные свойства корреляционной функции: )) К»И 1 )=К„(1', 1), т. е. функция К»(1, 1') не меняется при эамейе 1 на 1' (симметричность). й) ) К» (1~ ') ) ц о» И) о„(1'). 3) Функция К„(П К) — положительно определенная, т. е. ~ Км(П Е) р(()гр(К)б(АР~О, <и> гп> где (Г) — любая функция, В) †люб область интегрирования, одинаковая для обоих ара гументов.
для нормальной случайной функции характеристики т„(Г), Кя(Г, К) являются исчерпываюшими и определяют собой закон рас. пределения любого числа сечений. Нормированной корреляционной функцией случайной функции Х (() называется функция К„(г, Е) К„(П К) и (Г)о (Е) РгР„(Г)Р„(П) т. е. коэффициент корреляции сечений Х(г) н Х(К); при функция г„(Г, К) равна единице: г (К Г)=1. При прибавлении к случайной функции Х (Г) неслучайного сла. гаемого ф (() к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое, а корреляиионная функция не меняется.
При умножении случайной функции Х (г) на неслучайный множитель гр(т) ее ыатематнческое ожидание умножается на тот же мвожитель ф(Г), а корреляционная функция — на ф(т) ф(Е). Если случайную функцию Х(() подвергают некоторому преоб: разованию Аг, то получается другая случайная функция У (г) = Аг ( Х ()) ). Преобразование (.)'> называется линейно>м однородным, если л а П Ц'> ~ ч, Ха()) ~ = ~з„).>,'>(Ха(()) а=1 ь=г (т. е. преобразование к сумме может применяться почленно); 2) ) )о> (сХ (Г)) сй >го>(Х (Г)) (т.
е. множитель с, не зависяший от аргул>ента Г, по которому про. изводится преобразование, можно выносить за знак преобразования). Преобразование (ч называется линейным неоднородным, если (и ~Х (()~ = Цз>( Х (Г)) + р ((), где ф (Г) — любая функция, никак не свнзанная с Х (Г). если случайная функция У (г) связана со случайной функцией Х (Г) линейным преобразованием У(г) =~г(Х(г)1, то ее математическое ожидание и (() получается из тк(() телг же линейным преобразованием та (() = (ч (т (т)), а для нахождения корреляционной функции К (», »') нужно дважды подвергнуть функцию К„(», »') соответствующему лннейному однородному преобразованию, один раз по », другой раз по »'.
К,«, »')=»,)'>Ят) [К„«, »'))[. Взаимной корреляционной функцией Кку(», »') двух случайных функций Х(») и у(») называется функция В„ (», »') = М [А' (») У' (»')[. Из определения взаимной корреляционной функции вытекает, что В, (», »') = В „ (»', »). Норлироеонной азаимиоа корреляционной функйией двух случай- ных функций Х (»), У (») называется функция Вху(»» ) Вху(»» ) г„(», »)-- * е>, от гале ц ет ' Случайные функция Х (») и 'г'(») называются некорреаирован- ными, если й (», »') =--О. Если Х (») = Л' (») + Г (»), то юз (») лг„ (») + лт (»), К,(», »)-К„(», »)+К,(», »)-ьВ„(», »)+Р„,(», »).
В случае, если случайные функция Х(») и 'г'(») некоррелированы, К (», »') К„ (», »') + К„ (», »'). Если 2(»)= ~ч; Х,(П, ь=г где Хт(»). .. Х„ [») — некоррелированные случайные функции, то ю,(»)= ~ т„„(»), К,«, »')=- ~ К„„«, »'). ь=, я-1 Прв выполненви различных преобразований со случайными функциями часто бывает удобно записывать их в комплексном виде.
Комплексной случайной функ»»пей называется случайная функция вида Л (») = Х (») + »У (»), где Х (»), У (») — действительные случайные функции, Матеыатическое ожидание, корреляционная функция и дисперсия комплексной случайной функции определяются следующим образом: т, (») та (») + »и„ (»); К (», »') = М [Х (») Х (»')[, где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина; »), (») =К.
( . ») = Рй [[Х (»)['3 265 При переходе к комплексным случайным величинам и функциям необходимо определять дисперсию нвк математическое ожидание квадрата модуля, а корреляционный момент — как математическое ожидание нроизеедения центрироаанной одной случайной величины на комплексную сонряскенную центрироеанной друлой. Каноническим разложением случайной функции Х (1) называется ее представление в виде где Уа (А= 1, ... т) — центрированные, некоррелированные случайные величины с дисперсиями )ла(2=1, ..., т); фь(Г) (а=1, ..., т)— неслучайные функции *).
Случайные величины Уа (а=1, ..., т) называются хозффиц>интами, а функции фа(1) (й 1, ..., т) — координатными функция.чи канонического разложения. Если случайная функция Х (1) допускает каноническое разложение (1) в действительной форме, то корреляционная функция К„(1, 1') выражается суммой вида и> (2) которая называется каноническим разложением корреляционной функции.
Если случайная функция Х (1) допускает каноническое разложение (1) в комплексной форме, то каноническое разложекие корреляционной функции имеет вид (3) где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина. Из возможности канонического разложения вида (2) или (3) корреляционной функции вытекает представимость случайкой функции Х (1) в виде канонического разложения (1), где случайные величины У>, (й= 1, ..., т) имеют дисперсии Оь (>г 1, ..., т).
При линейном преобразовании случайной функции Х (1), заданной наионнческим разложением (1), получается случайная функция У (1) й> (Х (1)) в виде каноничесного резложения 1'(1) =т„(1)+ ~я~ ~Уефа(1), а > где т. е. при линейном преобразовании случайной функции, заданной каноническим разложением, ее математическое ожидание подвергается ') В частности, ми>нет быть т го. 266 тому же линейному преобразованию, а координатные функции соответствующему линейному однородному преобразованию.
Стационарной случайной функцией Х(С) *) называется случай-' ная функция, математическое) ожидание которой постоянно, тл (С) ю„ сопз(, а корреляционная функция зависит только от разности межд своимн аргументами К„(С, С') й (т), где с=г' — С. з симметричности корреляционной функции К„(С, С') следует, что й (т)=й„( — т), т. е. корреляционнан функцйя стационарной случайной фуйкцни есть четнаи функция аргумента т. Дисперсия стационарной случайной функции постоянна: Р К (С, С)=й.(0)=соп51.
Корреляционная функция стационарной случайной функции обладает свойством: )Де())~(т,. Нормированная корреляционная функция р„(т) стационарной случайной функции Х (С) равна р. (т) = —" й,(т) й (т) Каноническое разложение стационарной случайной фуикпии имеет вид х (с) = тл+ ~ч»', ((са сез ы„с+ 1'е з(п ы„с), (4) ь о где (Сю Уа (Л О, 1, ...) — центрированные, некоррелнрованные случайные величины с попарно равными дисперсиями О ((Са) =() (У,)-С)е. Разложение (4) называется спектральным. Спектральному раз ложению стационарной случайной функции соответствуег разложение в ряд ее корреляционной функции Й„(т) ~я~~ СУе соз ыет, (4) стационарной случайной функции в комплексной форме: „+ "Ь, ')у ее'"'"с, в широком смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
