Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Коэффициенты А, В, С, Е, Р, гт' являются случайными, так как определяются из опыта с ошибками; номинальные значения величин А, В, ..., )т' равны а, Ь, ..., Ь соответственно; ошибки бА, ЛВ, ..., Кг) представляют собой случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями Вл, ств, ..., Вн. Нормированная кор274 реляционная матрица этих ошибок имеет вид Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайных функций 1г(г) и У(г), представляющих собой горизонтальную и вертикальную составляющие скорости снаряда. Решение.
Из условий задачи следует, что Таким образом, случайные функции 1г(1) и У(1) прелставлены в виде разложений (не канонических, так как их коэффициенты зависимы). Имеем т, (г) = 2а1+ Ь; т„(1) = 2ег'+ г'; Кч (1 ( ) = 4Пл(К+ Пи ' 0 4 тг' ПлПв (2(+ 2( ) К„(1, К) =4П й'+Пл-)-0,7 ф'ПлПг(И+2('); П„(Г) = 4Плг'+ Пв+ 1, 6 1' ПлОв 0 П„(1) = 4Пл(а+П„+ 2,8)~ ПвПл(. В.10. Случайная функция Х(1) имеет характеристики гн„(() = (а — 11 К„(У, К) = — 2а-~~г-оа, Определить характеристики случайных функций 1 0,4 — 0,2 0 0 1 0,3 0 0 1 0 0 1 0,7 1 0 0 0 — 0,2 0,5 1 Решение.
(1) ( 1а ( 1 1((е 1)+1а ~ 1 1з+1а К (Е К) =11'2е аШ-еи У т, (1) = 21 —" + (1 — 1) =- 1 — 21+ 51т; дте (П е дг др — а 16~1' [(1' — 1) Е-иШ-О 2а(1' — 1) — Е-ви -О'")= = 16айре-~Ш-о" [ — 2и (1' — 1)а+ 1[; те(~) = — ~язв 3-1=3; Ка(~, ~')=- лсе"(де,)а . деК (Е, 1') При вычислении К (1 г') мы уже нашли — "— ',, следое дс де' вательно, К (1, 1') —,4 не- ° и'-и' [1 — 2а(К вЂ” 1)а~ = де д1 др 3п'е - ш-О' [3+ 4а' (1' — 1) е — 12п (1' — 1)'~.
9.11. Случайная функция Х(1) задана выражением Х(У) = 1'соя е1У, где Ъ' †случайн величина с характеристиками т =2; о =3. Найти характеристики случайной функции Х (1): т„(1); К„(1, 1'); й„(1). Определить, является ли случайная функция Х(1) стационарной. Найти характеристики сл> чайной функции У (1) = Х (1) + а —, дХ (1) Ж где а в не случайная величина. Является ли стационарной случайная функция У(1)? Решение, т, (1) = т„соа в1 = 2 соа в1; Ке(г, т') с),,соавтсоавт'=9соавгсоавг'1 О„(1) 9 сова в1. Случайную функцию У(1) можно представить в виде У(1) Усоав1+а „= У(совой — ава!пМ)1 дУ соа в) 27В отсюда т (1) =т (созие — паз(п аг) = 2(созОИ вЂ” сев з1п а1)' Ки(1, 8') = 9 (соза1 — аа айпа1) (соза1' — ав сйп а('); О„(1) = 9 (соз ат — па з(п а1) а. Случайные функции Х(1) и г'(1) не стационарны.
9.12. Задана случайная функция Х(1) = 1',е- ' -)- Ъ~зе-"-', где )'т и )~а †некоррелнрованн случайные величпны с ха- рактеристиками т = т = О; Й,е О,, Найти характерн- стоки случайной функции Х (1). Решение. Случайная функция Х(1) представлена кано- ническим разложением„ следовательно, т„(() =О; К„((, 1') =В, е-" н г>+О, е-"-н+еь, О (1) =О е-ааи )-с) е-еан х э, 9.13. Случайная функция Х(1) задана своим каноняческим разложением Х(г) = ~~'., У,е-"н -'; а, где )г; — центрированные случайные величины с дисперсиями г1~,.(1 = 1,2,..., и); М 11~;кЛ = О прн 1~у'; а †неслучайн величина.
Найти характеристики случайной функции Х (г). О т в е т. и, (Г) = а; К„ (1, 1') = )Р ~В,,е - ' и- ' ', ех„ (1) =. =,~~ гт~,.е аан г=т 9.14. Случайная функция Х(1) задана каноническим разложением Х(1) =1+(Г созМ+ (г з1пв1, где )г и )га — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и с дисперсиями В =О = 2. Определить, является ли стационарной случайная функция Х(1). Решение. т (1)=~; К„(1, 1') 2(созвгсозаК+ + з) и ау з(п вК) = 2 соз и (К вЂ” г).
Корреляционная функция случайной функции Х(1) удавлетворяет условию стационарности, однако математическое 271 ожидание тл„(7) зависит от времени. Случайная функция Х(Ф) не стационарна, но центрированная случайная функция Х(7) стацноиарна. 9.15. Заданы две случайные функции: Х(!)=У созез 7+У я!псе 7, У(!)=(7 созезе~+(7 в!пыз!. Математические ожидания всех случайных величин У„ У„(7 и (7в равны нулю, дисперсии равны 77„Р 1; Ю„ 7:7„„ = 4; нормированная корреляционная матрица системы (Уы Уз, (7ы (уя) имеет вид 1 0 0,5 0 1 0 — 0,5 1 0 1 Определить взаимную корреляционную функцию )7„((, ! ) н найти значение этой функции при т О, 7' = 1.
Опреде. лить )т (7, 7') и найти значение втой функции при 7 0; !' 1. Р е ш е н и е. 77„, (7, !') - М (Х (!) У' (!')]— М ((Уь соз езтт Р Уз 8!п сзтт) ((7т соз ыз т + (уе 3!п сез! )]- сов се~! соз езз~!'М (У~У] + соз сзз~! з!п се~!' М (У~(~] + (- ып се,! сов се !'М (У,(7т]+ сйп сод! и!п езз!'М ~Уа(7е] = сез сотт соз ьз,!' — жп ез,1 ап езз!' сов (ытт'+ ыз!'). й„~(0, 1) = сова,; 77„,,(7, У ) — 77,.у(7, т) — соз(03,! -(-Оят), Йул(9, 1) созб)т 9.10.
Имеются две некоррелированные случайные функции Х(!) и У(!) с характеристиками е „ (!) - (в! Кч (1, (') = е'" !ьЬн1; лз (!) =1; К (т', 7') =е"*<'-П'. У ' У Найти характеристики случайной функции Е (!) Х(7) + + Л'(!)+ та. Решить ту же задачу, если случайные функции Х(7), т" (!) коррелнрованы н их взаимная корреляционная функция равна Й„ (7, Ф') = аа-"!н-'!. 278 Решение.
В случае, если Я„т(1, 1')=О, ш, (1) лт„(1) + 1ш„(1) + 1в 21а+ т. К,(1, 1)-К„(1, 1)+а к„(1, 1)=еъп.к~+ИВ: п-о. В случае, когда )7„ (1, 1') ае-"Н '~, т,(1) не меняется; А (1, 1') К„(1, 1') + й.' К„(1, 1') +1'й„» (1, 1') + Я„» (1', 1) = = е" и+~>+й'е" и о'+а(1+1') е-м~'-с~ 9.17. Случайпая функция Х(1) имеет характеристики т„ (т) =- О„' Й„(т) =- )'.>„е-"~' й Найти ее спектральную плотность 5",(ш).
Р е ш е н и е. Ю Ю о„'(ез)= — ~ )з„(т) е ' 'с(т=- — Ме~)>„е '"'+' '~(т О о Вк и л а'-; ма где Ке †действительн часть. 9.18. Найти спектральную плотность случайной функции Х(1), если ее корреляционная функция й„ (т) 1>„е "' " соз()т. Р е ш е н и е. (Ке †действительн часть). 9.19. Комплексная случайная функция Я (1) задана в виде Е (1) * Х (1) + 1 У (1), о "0 где ь е Х(() = 'Я (аа+ Уь) е-~ Ы, 'г'(() = ~~В (Ьа+ Уь) е Вьг. ь=г а=т Математические ожидания всех случайных величин Уа и У» (й= 1, 2, 3) равны нулю, а корреляционная матрица системы слУчайных величин (У, У„ Ую (Уы У„ Ц) имеет вид 1 0 0 1 0 0 200 — 1О 30 03 Найти характеристики случайной функции Е (г).
ь а Ответ. ш,(г) = ~' аье-"ь'-',-г ~ ~В,е-зь', и=~ ь=г К, ((, ~') — Кл ((, (') + К„ ((, (') + г ((( ((', Π— В)„.„ (( ( )) где ь э К„((, (') ~~'~ /ге "ь и+нь, К ((, (') =* ~~~ ~йе-В» и+ш1 Ф=~ ь-1 т) = е-" ~ -В ~ — е- П'- ВП+ 3е-ам -ВП. хт ( (') е ан-В н — е-ан-а,п-~ 3е а,~-ан' Г,20. Рассматривается случайная функция Х(г), представляющая собой число заявок, поступивших на телефон- ную станцию за время г'. Одна из реализа- ИЮ ций случайной функции Х(() показана на рис. 9.20а.
Поток заявок простейший с 7 — й! 1 плотностью Л. г-т 1 м Найти закон распределения сечения слу- В чайной функции Х(г) и ее характеристики лг„((), й„((), К„(1, К), г ((, К). рнс з 2оа Р е ш е н и е. Закон распределения сече- ния Х (г) есть закон Пуассона с параметром а = Лг', значит, вероятность того, что случайная величина Х (г) примет значение т, выражается формулой Р = елс (гл 012 (Л~)~ Математическое ожидание и дисперсия случайной функции Х(1) будут лг„(1) И; Ю„(1) =- М. Найдем корреляционную функцию К„(1, 1').
Пусть г' ) 1. Рассмотрим интервал времени (О, ~') (рис. 9.20б). Разобьем этот интервал на два участка: от 0 до 1 и от ~ до 1'. Число вызовов на всем интервале (О, ~') равно сумме чисел вызовов на интервалах (О, г) и (у, К)"): ' х(~)=х(~)+у(~ -у), где г" (К вЂ” 1) — число вызовов, пришедших рнс. . 9.20б. на интервале (1, 1'); вследствие стационар- ности процесса случайная функция У(1) имеет то же распределение, что и Х(1); кроме того, согласно свойстнам пуассоновского потока событий, случайные величины Х (г) и г'(1' — 1) не коррелированы. Имеем к„(~, ~') = М(х (~) х (~')) = М(х (1) (х(1) + У (1' — 1) )1 = М((х (У) )') = =О„(~) =М. Аналогично при г ) К получаем Ах(У~ ~ ) Таким образом, К„(1, ~') =) ш1п(1, ~'), где пнп (г, г') †минимальн из величин 1, 1' (при 1 = К в качестве минимальной можно взять любую из величин 1').
Пользуясь символом единичной функции 1 (х), можно записать корреляционную функцию в виде К„(~, ~') = М 1 (~' — 1) + И 1 (1 — 1'). *) Возможностью появления вызова в точности в момент Г пре небрегаем. 281 На рис. 9.20в показана поверхность Ка(г, г'). В квадранте г' ) 0 и г' ~ 0 поверхность К„(г, г') состоит из двух плоскостей, проходящих соответственно через оси 01 и 01' ~л и,т9 г' Рнс. 9.20в. Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
