Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Например, ьйп — ~ уе(!) И= 1 г „2Т,) т = 11ш Г ) В"' — [1+ соз 2 (гв,! — 0)) Ю = —, Р', 1 Р 1 1 -т Найдем спектральную плотность случайной функции У(!). Покажем, ~то она пропорциональна дельта-функции: ~„(ю)= 2- б(ю —,) (б:. С..), В Действительно, при такой спектральной плотности корреляционная функция будет равна 8 (оз) советско=) — 6(оз — га,) соя озт йо= — сов ш,т, 2 что совпадает с корреляционной функцией для У«). А так как прямое и обратное преобразования Фурье определяют спектральную плотность и корреляционную функцию взаимно однозначно, то написанное выше выражение для Я (ьз) у дает спектральную плотность случайной функции У«). Если воспользоваться не действительной, а комплексной формой преобразований Фурье, получим спектральную плотность Я„",(го) в виде 8„"(в)=Ф(6(а+И,)+6( —.
)1 ( — Сш( ). Заметим, что в аналогичном виде можно было бы записать н 8 (ы) = — (6 (го..(-в )+6(гз — ы,)), В, положительных ы (так как шт ) 0) 6(в+аз )=:О. 7. Случайная функция Х«) представляет собой слую величину Ы Х «) = — У с ззданнымп числовыми хаистиками т„.0„. йтн характеристики случайной функции Х(г): матемаое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию. елить, является ли случайная функция Х«) з) стацни, б) зргодичной.
Если она стацнонарна, найти ее альную плотность. ше ни е. т„(т) = М (х (~)) = М (и] =- т„; К„(г, ~') = М (Х(г) Х«') ~ = М ~ии) = 77„; ~7х «) ~х « ~) )и' ак лг„(1) = сопя( и К„(т, Ф') = сопя(, то случайная ия Х(г) стационарна. Так как среднее по времени ждой реализации равно значению, принятому случай- личиной У в этой реализации, и различно для разализаций, то случайная функция Х«) не эргодична.
29! Рассматривая случайную функцию Х(Ь) как частный вид при ы =О случайной функции Г(Ь) Усовюь1+!га!пы,1, рассмотренной в предыдущей задаче, получим для иее спектральную плотность вида ~к (ге) )-~а б (ю)! А (ы) 2~л (го) 2 ь б (ы)' 9.28. Случайная функция Х(~) строится следующим образом. В точке г = О она случайным образом и с одинаковой вероятностью принимает одно из значений: + 1 или в 1 и остается постоянной до 1 = 1.
В точке Ь 1 она снова, с одинаковой вероятностью 112 н независимо от того, какое значение она имела на пре- ХЮ ФО дыдущем участке, принима- ет одно из значений + 1 или / — 1 и сохраняет его до следующей целочисленной г вне точки Ь = 2, и так далее. Вообще функция Х(г) постоянна на любом участке Рис. 9.28а. от п до п+ 1, где п — нату- ральное число, а на границе каждого нового участка независимо от предыдущих принимает одно из значений + 1 или — 1 с вероятностью 1/2.
Одна из возможных реализаций случайной функции Х(г) показана на рис. 9.28а, Требуется определить характеристики случайной функции Х(1); математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию. Определить, является лн случайная функция Х(1) стационарной. Решение. Имеем Найдем корреляционную функцию К (1, К). Если точки 1 и г' относятся к одному и тому же интервалу (и, п+ 1), где л †цел, то К„(1, 1') =Й„ = 1, в противном случае К„(1, 1') = О. Этот результат можно записать в более компактной форме, если обозначить через Ь(Ь) целую часть числа 1 (см. рис.
9.28а). Тогда получаем ( 1 при ) т( ч„1 — Ь(ппп(1, 1')); '( О при ) т ( ) 1 — Ь(ш!и (г, Г')). Эта функция зависит не только от т=г' — г, но также и от того, где на оси 01 находится участок (2, 1'); следовательно, случайная функция Х(1) стационарной не является. Поверхность К„(1, 1') выглядит как ряд кубов с ребром, равным 1, поставленных на плоскости 101' вдоль биссектрисы первого координатного угла, на +о которой 1 = 1', так что диагонали я (941 оснований совпадают с биссек- 7 трисой (рис. 9.28б). 9.29. Случайная функция Х(2) формируется так же, как и в предыдущей задаче, с той разницей, что точки, в которых происходит «розыгрыш» нового значения случайной функции, не закреплены на оси 0~, а занимают на ней Рис.
9.286. случайное положение, сохраняя между собой постоянное расстояние, равное единице (рнс. 9.29а). Все положения начала отсчета относительно последовательности моментов «розыгрыша» одинаково вероятны. Найти характеристики случайной функции Х (1) †математическое ожидание, дисперсию в корреляционную функцию; определить, является ли слу- Х® чайная функция Х(~) ста! Т1'-1 цнонарной. < Решение.
Как и в "1 т у т предыдущем случае, х(~) к Рис. 9.29а. Е>„(1) = В„= 1. Найдем корреляционную функцию. Зафиксируем момент г' (рис, 9.29а), Этот момент случаен относительно точек, в которых случайная функцяя Х(г) принимает новые значения. Обозначим Т промежуток времени, отделяющий точку от ближайшей точки, в которой будет «разыгрываться» новое значение Х(1). Случайная величина Т будет распределена равномерно на участке от О до 1. Пусть 1' ) ~; т = Р— 1 ) О. Ршли т ~Т, то К«(1, 1') =1; если т ь Т, то Ка(1, 1')=О. Поэтому К„((, т') = Р (т ) т) ! + Р (т ( т) О = = Р (Т > т) 1 — т прн О «. т < 1.
293 Аналогично при т < О получим К (1, 1') = 1 -(- т при — 1 < т < О, отсюда /1 — )т) при )т) 1, ) О при (т(> 1. (9.29) График этой функции представлен на рис. 9.29б. Так как К,((, г') = й„(т), то случайная функ- ж ция Х(() стационарно. Корреляционную функцию (9.29) можно ааписать в более компактном виде с помощью единичной функции 1 (х); /г,(т) = (1 — ~ т,') 1(1 — (т(). Рнс. 9.296 9.30. Условия предыдущей задачи (9.29) изменены в том отноюснпп, что в каждый из случайных ьюментов 1о разделенных единичными ннтерваламн, случайная функция Х(1) принимает (независимо от других) значение Со являющееся случайной величиной с математическим ожиданием тл„ и дисперсией й, в сохраняет его до следующей точки.
Одна из реализаций такой случайной функций показана на рнс. 9.30. Найти характернстикн этой слу- 1 ! чайной функции: мате. су магическое ожидание, 1 днсперсшо цкорреляционную функцию и определить, является лп слу~айная функция стационарной, а если стацнанарна, то какова ее спектральная плотность. Р е ш е и не.
Рассуждая точно так же, как и в предыдущей задаче, найдем т„ (4) =- М /Х (Ф)] = т„; Ох (() = 0 /Х (()) = В„; / 0 (1 — )т)) при (т( < 1, ( О при (т(> 1, илп, в другой записи, й„(т) = 0х(1 — ) т() 1(1 — (т(), где 1(х) †единичн функция. Случайная функция Х(1) стационарна. Ее спектральная плотность Я„"(в) = —;(1 — созю). х; '! откуда 1, 1 т = — 1.— -'- 1 ° — =О х 2 2 2 ! 2 Найдем корреляционную функцию К„(1, 1+ т) = М [Х (Г) Х(г+ т)[ = М [Х(1) Х (1+ т)[. Так как произведение Х(1) Х(! — , 'т) может принимать только два значения +1 или — 1, то М [Х (1) Х(1+ т) [ = 1 р + ( — 1) ° (1 — р ) = 2р, — 1, где р, †вероятнос того, что точки Г и 1+ т попадут на участки, в которых Х(1) и Х(1+ т) имеют один и тот же 9.31.
Случайная функция Х(1) представляет собой ступенчатую знакоперемеиную функцию (рис. 9.31а), которая через единичные интервалы принимает попеременно значения: -)- 1 и — !. Положение ступенчатой функции относительно на- Х® чала отсчета случайно; случай- г Г 1 1! 1 ная величина Т, характеризую- рг ! ! 1 гцая сдвиг первой точки пе- гГ у / у у ремены знака относительно начала координат, есть случайная величина, распределенная рав- Рис. 9.31а. номерно в игпервале (О, 1).
Найти характеристики случайной функции Х: математическое ожидание т„, дисперсию О„и корреляционную функцию. Решение. Рассмотрим сечение случайной функции Х(г); оно с равной вероятностью может попасть как на у ~асток, где случайная функция равна единице, так н на участок, тле она равна минус единице. Следовательно, ряд распределения любого сечения имеет внд знак. В силу равномерности распределения сдвига Т на рис. 9.31а мы можем перенести начало отсчета в левый конец того участка, на котором находится точка 1, и считать, что точка 1 равномерно распределена в интервале (О, 1) (рис.
9.316). При таком толковании р есть вероятность того, что точка (1 +т) попадает в какой-либо из интервалов вида (2п, 2п+1), п — О, -4-1, Р,,У г г 4 Ю -Ь2,... (эти интервалы отме- чены жирными линиями на рис. Рис. 9.316. 9.31б). Подсчитаем эту вероятность для разных значений г. При О т < 1 точка (1 + т) может попасть либо в интервал (О, 1), либо в ннтервал (1, 2), поэтому р,=Р(1+т < 1) =Р(! < 1 — т) =1 — т.
При 1 < т < 2 точка Г+т может попасть либо в ив|ерзал (1, 2), либо в интервал (2, 3), поэтому рт = Р (~ + т ) 2) = Р (! ) 2 — т) = 1 — (2 — т) = т — 1. Продолжая эти рассуждения, получим 1 — (т — 2п) при 2п < т < 2п-,'-1, (т — 2п) — 1 при 2п+ 1 < т < 2п+ 2.
Отсюда видно, что р,, а значит и К„(1, 1+т) =2р,— 1, зависит только от т и является четной функцией т. Следовательно, << 4п+ 1 — 2т при 2п < т < 2п+ 1, ( 2т — (4п+3) при 2п-)-1<т<2п-(-2. График корреляционной функции представлен на рис. 9.3!в. Рнс. 9.3!в. Рис. 9.39а. 9.32. Случайная функция Х(!) представляет собой последовательность равноотстоящих положительных импуль- 1 сов, имеющих одинаковуюширину у < —. Начало каждого импульса отделено от начала каждого следующего единичным интервалом (рис. 9.32а).
Последовательность импульсов занимает относительно оси 01 случайное положение (см. условия предылущей задачи). Величина 1-го импульса Уг случайна, распределена по одному и тому же закону с математическим ожиданием тл„ и дисперсией Р„ и не зависит от величин остальных импульсов. Найти характеристики случайной функции Х(1): математическое ожидание т„(г), дисперсию Р„(() и корреляционную функцию. Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
