Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если эти случайные величины распределены одянаково, та поток Пальма называется сл«ациоиариым. Простейший (стационарный пуассоновскнй) поток является пото. ком Пальма. Нестационарный пуассоновский поток потоком Пальма не является. Пол«оком Эрланга й-го порядка называется поток событий, получаемый из простейшего путем операции «разрежении>, когда выбрасывают из потока й точек подряд, а сохраняют только (Ф+!)-ю (рис, !ог). Простейший поток есть поток Эрлавга нулевого порядка. а у г о р ... й т З г р Рнс. !Ог.
Промежуток времени Т между двумя соседнимн событиями в патоке Эрлаига й-го порядка есть неотрицательная случайная величина с плотностью распределения У« (!) ' е - тл (! > О) Л (и)ь й! (закоц Эрланга, см. стр. 23!) и функцией распределения Ра(()=Р(т < !)=! — ~ — е П> о). (й!) «=о з! При й=о (простейший поток) получаем )э(()-ье ~г (! >О) (показательный закон). Как плотность РаспРеДелениЯ (ь((), так и фУнкцию РаспРеделеиня Рь(!) для закона Эрланга любого порядка можно вычислять, пользуясь таблицами пуассоновского распределения: аь Р(й „),-а й! В зтих обозначениях )ь«)=ЛР(й,Л() «>О), Р„«) =1 — )1 (й, Л(), 1( (й, Л() =- ~~~~~ —, е (Л))' -т — табулированная фуннцня (с». приложение, табл.
1, где приведены значения функции 0 (гп, а) = 1 — )г (гл, а)). Функцшо Р (й, а) можно вычислять по тем же таблица» )1 (й, а): Р (Й, а) = Я (Й, а) — Н (й — 1, а) = 0(й — 1,а) — Я (й, а). Между функцияьи Р (й, а) и )г (й, а) существует следующее соотношение: д — И (й, а) = — Р (А, а). да Полезно знать предельные соотношения: 1(ш Р (й, а) = 1, В ш Р (А, а) = О.
е-~ Регулярнььк лтпоком событий называется поток, в котором события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времеки. При увеличении порядка й потока Эрланга (и одновременном уменьшении масштаба по оси 01 делением иа й+ 1) поток Эрланга приближается к регулярному. Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания какого-то потока заявок (например, ремонтная мастерская, телефонная станция, билетная кас. са и т. д.). Системы массового обслуживания делятся на системы с отказа ми и системы е ожиданием.
В системе с отказами заявка, пришедшая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получает отказ а покидает систему. В системе с ожиданиел~ такая заявка не покидает с ютему, а становится в очередь и ждет, пока не освободится какой. иибудь канал. Время ожидания и число мест в очереди ьюгут быть как неограниченными, так и ограниченными.
Система массового обслуживания называется нуассоновской, если все потоки событий, переводящие ее из состояния в состояние, являются пуассоновскими. Ниже мы будем рассматривать только пуассоновские СМО, причем с простейшими потоками переходов. 323 Работа системы массового обслуживания с отказами определяется следующими параметрами; 1) число каналов л; 2) плотность потока заявок )1; 3) плотность «потока обслуживанийэ одного канала р (плотность потока заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым ка.
налом). Е)еличива р обратна среднему времени обслуживания одной заявкш 1 р== а где Е„е=М (Т„); Тча †случайн время обслуживания. На рис. !Од показан размеченный граф состояний и-каиалшюй Сй(0 с отказами. Состояние хэ(О~Е«~и) состоит в том, что занято Л Д А Л «1 Л Л Л Я .тэ хе хе ха е ха хаы Ях„, Я ,н з" и !ее Й-ЕЕ а ~и Я Елее 1п-/~и лгм Рве.
!Од ровно ее каналов нз и *). из этого графа следуют дифференциальные уравнения для вероятностей состояний (уравнения Зрланга) й = )'р«(Е)+рр (Е) нр (е) «Ер~ (Е) = — (Х-)-р) р, (Е)+Лрэ (Е)+2ррэ (Е), — = — (Х+й!«) рэ(Е)+ Хра «(Е)+(Уг-)-!) рра«.д (Е), «Е э (Е) — = — нрр„(Е)+)р„, (Е). ЕЕР» (Е) Эту систему обычно интегрируют при начальных условиях р, (О) = 1; р„ (О) = О (й > О) (е начальный момент все кавалы свободны). При Е -~ «о существует предельный (установившийся) режим работы СМО, при котором вераят- *) Предполагается, что каждый капал мажет обслуживать только одну заявку, а каждая заявка обслуживается только одним каналом.
ности состояний опрелеляются Фоллрлпли Эр,гаага ,„а (я=О, 1,..., л), й ь о (!0.1) Р»= Х где и= —. Вероятности рз могут быть вычислены с помощью таблип пуассоновского распределения (см. приложение, табл. 1): Р (й,п) )г (й,а) — )г (А — 1,п) Рл (а =О, 1„., л). (10.2) )г (и, и) )т (и, и) Вероятность того, что заявка будет обслужена (ие получит отка. ва) выражаетсяформулой Р(п,а) )г(п — 1,а) оас ч )З (л и) (й = О, 1, ..., и), л л+» — ( — ) Х вЂ” "'" й) п.п) ! —— е=о и —."'®' "' у ","".'-(-.")и е=а и (!0,4) (з=!, 2, ..., ю), где и — число каналов обслуживания; 'Х, гл — число мест в очереди; и= —; л †плотнос потока заявок; 0 †плотнос »потока обслуживаний» одного канала.
Система массового обслуживания называется чистой сиса~слой с ожиданием, если ни время пребывания заявки в очереди, нн число заявок в очереди ничем не ограничено. Если имеются ограничения по какому-нибудь из этих признаков, система называется системой смешанного шила. Для системы массового обслуживания смешанного типа с ограничениями по числу мест в очереди предельные вероятности состояний выражаютсн формулами аь Для чистой системы с ожиданием (л!= е») установнвнюйся пре.
а дельный режим существ>ет только в случае — < 1 Предельные вел роятностн выражаются формулами. а» й! (а=о, 1, ..., л), (5=1, 2, ...) Р 1 —,+ 1 а» аа ) , 1!'! ',' ах аяя л л! 1! — — у! Ограничения по времени пребывания заявки в очереди (нлн е системе) при составлении уравнений для вероятностей состояний учитываются тем, что на каждую заявку, находящуюся в очереди (системе), действует «поток уходоз» с плотностью т, обратной среднему времени пребывавня заявки в очереди (системе). 10.1.
Поток машин, следующих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с плотностшо л. Человек выходит на шоссе, чтобы остановить первую попавшуюся машину, идущую в данном направлении. г(айти закон распределения времени Т, которое ему придется ждать; определить его матечап!ческое ожидание т, и среднее квадратическое отклонение он Р е ш с н и е. Плотность распределения времени ожидания будет такая же, как плотность распределения промежутка между машинамн, а именно у(!) =).е ы (() 0), так как <будущее» в простейшем потоке никак не зависит от «прошлого», в частности от того, сколько времени тому назад прошла последняя машина. Для показательного закона 1 !=Х1 1 0 = —; ! 1„2 ! и! = )„— лт! 10.2.
Тот же вопрос, что и в задаче 10.1, но поток машин — регулярный, с той же плотностью ).. Р е ш е н и е. Закон распределения времени ожидания Т будет законом постоянной плотности в промежутке времени ! . между двуми машинами, равном —: т )(!)=Х (О<(< 1).
Для закона постоянной плотности 1 ла 2Х 12 12ла ! о '3) 10.3. Показать, что для пуассоновского потока событий цш Р (Х (й!) 1) Ы О Р (Х (Д!).=1) где Х(А(] — число событий, попада)ощих на участок длиной А!. Решение. Имеем Р(Х(А!) ~~1) =1 — Р(Х (А!) =О) =1 — е лл'; Р (Х (А)] = 1) = ХА)е хл К Следова тельно, Р(Х(Д))ем 1] у 1 — е-'" л,оо Р(Х(Ы]=.1) л: о лаге 10.4.* Пассажир выходит на автобусную остановку и ждет очередного автобуса. Автобусы подходят к остановке через случайные, взаимонезавнсилаые и одинаково распределенные промежутки времени Т, 7„ ...(7) > О). Каждый нз зтих промежутков времени имеет одну и ту оке плотность распределения 7'(!), Требуется найти закон распределения времени ожидания очередного автобуса при условии, что выход пассажира на остановку некоррелирован с моментом прибытия автобуса (расписание движения автобусов пассажиру неизвестно).
327 Р е ш е н и е. Рассмотрим поток событий, состоящих в том, что на остановку прибывает автобус. Этот поток по условиям задачи будет стационарным потоком Пальма. Выход пассажира на автобусную остановку можно рассматривать как появление некоторой точки Г! на оси времени О!.
Случайность выхода пзссажнра на остановку следует понимать в том смысле, что в интервале времени 7ч между прибытием двух автобусов (рис. 10.4а) точка П распределена равномерно (подчеркнем, что речь идет об очерелном автобусе н ему предшествующем). Закон распределения интервала времени Тн между прнбытнем двух автобусов, на котором появился пассажнр (на Рнс. !ОАа. Рис. 10.4б. который упала точка П), в общем случае не совпадает с законом 7(!). Этот (на первый взгляд парадоксальный) факт можно пояснить на следующем наглядном примере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
