Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 42
Текст из файла (страница 42)
! С Решение. Ю;(ог)= —,е! !«г(т)е-"'"«!т=— — > 1 — ае з"!2Ь(т) е-«"'«!т— 2н .! 1 — — е! аг(з!оп т)'е- !г! е-«егдт. 2д~ 'ь Так как 1 1 при т ~~О, )( О при т=О (з!дп т)' = 306 и так как подынтегральная функция второго интеграла в точке т О не имеет особенностей, то во втором интеграле можно пренебречь точкой т О.
Получим а аз 2а а аз е( ) и 2п аз-)-юз и аз +юз ' График спектральной плотности Яе(ю) представлен на рис. 9.41. Спектральную плотность Зе(ю) можно было получить прощеследующими рассуждениями. Предста. вим случайную функцию У (1) как г,"м производную случайной функции Х (1) нз задачи 9.40 (пункт а). Имеем д„(т) =е 1 а бх(ы)= — з, з Рпс. 9А1. амплитудно-частотиая характеристика оператора дифференцирования равна Ф(йе] гьь следовательно, * з 1 а з 5 (ю) = Ях(со))Ф()ю))з = — 11ы)з= — —— е — х и аа-сые = и аз юз Фаге е 6)ле) го Рнс. 9А2а.
Рнс. 9Л2б. внд, показанный на рис. 9.42ас при )ю) (юю при )ю) ) оз, его равна нулю, т. е. имеет О ) а или, в другой записи, о'„(ю) = а 1(1 — — ~ . ю, /' 9.42. Спектральная плотность стационарной случайной функции Х (г) на участке от †до †, 'ю, постоянна, а вне Найти корреляционную функцию Ьх (т) случайной функции Х(1). Р е ш е н и е.
lгх (с) = ~ Х„" (гз) ещ' Аа =- мо 2а о!и ы,т 2а ) сов гот Ао = Е1„= 1г„(0) = 2 ага,. График корреляционной функции показан на рис. 9.426. 9.43. Показать, что не существует никакой стационарной случайной функции Х (г), корреляпнонная функция которой Ь„(т) постоянна в каком.то интервале ( — ты тг) и равна нулю вне его. Р е ш е н и е. Предположим противное, т.
е. что существует случайная функция Х(1), для которой корреляционная функция равна Ь Ф О при (т) ( тг и равна О при )т) ) т,. Попробуем найти спектральную плотность случайной функции Х(1): ~х (го) ~ 1гх (т) соз сот г(т = 1 Г о То 1 Г Ь 5!и ыт1 — ) Ь сов егт г(т=— о Из етого выражения видно, что функция 8„(го) для некоторых значений го отрицательна, что противоречит свойствам спектральной плотности, и следовательно, корреляционной функции указанного выше вида существовать не может. 9.44.
Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, у которой корреляционная функция задана выражением А„(т) =- Охе-~"*. Решение. Имеем о (гв) ~ гг е ь ые гегг)т х ~ е ь и гопг(т 2п 2п 308 Пользуясь известной формулой — лс-в* е-лх а4вх-одах=- )l — е " (А> О) А М и пыея в виду, что га= — 1, получиы — х я4 Я (щ) х ~/ —,а 4ь х е 4к4 2п лх 24 ~"д График этой функции подобен кривой нормального закона. 9.45. Показать, что взаимная корреляционная функция 14',У(1, 1') стационарной случайной функции х(1) и ее производяой У(~)хх — Х(П удовлетворяет условию =Ъ й„У(У, 1') = — Л„У(1', У), т, е. прн перемене ыестаыи аргументов меняет знак. Р е ш е н и е, Пуст ь К„(1, 1') = 44„(т), где т = 1' — 1. Я (~, 1 ) = М ~Х (1) —,Х (г )] - д, М ~Х Ф Х (1 )] = д' х(' ) дГ' д д Но т=-~' — ~, следовательно, И дт и ~~хУ( ~ ) 41 х(Г) дГ 41:4( )' С другой стороны, ~хУ( ~ ~) д4 ~х(1 ) ~х(т) д, д дт что и требовалось доказать.
9,46х. Определить, обладает ли функция д, (т) = е-" ~ 41(с(4 рт + — аЬ р ( т () (я > 0„'() > О) свойствами корреляционной функции. Р е ш е н и е, Нужно проверить выполнение следующих свойств: 1) м„(0) > 0; 2) й„( — с) м„(т)! 3) (л~(т) )'~ йл(0)! 4) Ях(в) — ~ !зт(т) а 'в~с»т =з 0 прн любом е!. ! "и а Свойства 1) н 2) очевидны. Проверим встальные. 3) Так как функция !з„(т) четная, достаточно исследовать ее при т =з 0: й (т) — е-!а-В! ' ( — а+ 11 — — е-»аьа!" ( — — ! ). Так как Ф.„(0)=1, нужно, чтобы вто выра!кение по модулю не превосходило единицы.
Можно доказать, что при а с Р вто условие не выполняется, так как при т со выражение е »а В!' будет неограниченно возрастать. В случае и = )) л (т) =— 1; при а ) р )з„(т) ~ !. Таким образом, свойство 3) выполняется только при а "-(). 4) Ьх (ю) =- — ! й„(т) а '""пт ! Г Ф Ю вЂ” Ке (( 1 + — ) ') е-<а-в+!"!1лт-~- 2п (», р)) о Ф (» — — 1 ( а-»а+еже! т (т ( . 1 ! (!+а, (» — а — — Ке 2л(»» а — (!+нв ' а-)-(»+!в а' — (Р ( ! ! 2лр ( (а — в)~-,'-в~ (а (!)а4.вв ~ а' — Р' 2а )О и Иа р)а ~-ва)1(а+0)~4.в')- при а ~ () (Ке †действительн часть), При а=р имеем 5'„(в) = 6(в). д!О Таким образом, функция и (т) е-а(т~ (сп()т+ — зЬр(т() при а ~ р обладает всеми свойствами корреляционной функции.
Графики м„(т) и Ю,"(го) при а ) () показаны на рис. 9.46, а и б. бР Рвс. 9.46. 9.47. Случайная функция Х(1) имеет корреляционную фУнкцию )ех(г) =е-а~" (сЬ()тй- — з(з )) ) т)) (а) Р > О). Случайная функция У(1):= — Х(1). Найти ее корреляцион- 4 '= Ж ную функцию л (т) и спектральную плотность Юе'(ы). Решение. При нахождении й,(т) применяем свойства 3, 4 и 9 обобщенных функций (стр. 210): а (т) = — — й (т) = — — ~ — е-а "а Х а' К Г, а)т( у а е к лт ( ' ат х ( с(з Рт -, '— — з(г () ( т ) ) + е -" ~ '1 ( р з(1 рт + а с)1 )) ) т ! — ) ~ = д /()2 ая т ае ()3 а)т,: — — — е-"~т' з(ь рт ) = — ~ — ае-'х~ т зЬ рт — '+ + ()е-"1" с)з рт =(х' — рз) е-" '1 сп рт — — з(з р(т (1; 2и<о' а' — ()з ~" ( ) = ~"")1'")' ' и — 3)'+ ч и +р) + ч ' Так как предел 1!п1 й (т) существует (он равен а (О) = т О =аз — рз), то случайная функция Х(г) дифференцируема.
9.48. Случайная функция Х (1) с характеристиками гл„(1) 1з+ 3 и К„(Е, т') = бгг' подвергается линейному 311 преобразованию вида У(() = ~ тХ (т) (т-Р Р. о Определить характеристики случайной функции У((): лг (т) и К (г, К). 3 Р е ш е н и е. т (() = ~~ т (те+ 3) ~(т+ Р = — + — '(Я+ Гз. о Однородная часть рассматриваемого линейного преобразования будет 1.)" (Х(г)) = ') тХ(т) йт. а Следовательно, ! К (Г, К) = ) пт ') гт'К (т, т') лт' = о а = э тт т с г(т г(т= — г г о о 9.49. Случайная функция Х (() с характеристиками тх(г).=0; К„(г, К) подвергается линейному неоднородному преобразованию; (() ~гю ( Х (() ) +гр (1) где ~р (г) — неслучайная функция. Найти взаимную корреляционную функцию К„~(С Р). Решение. Имеем Х=Х((); У(() =У.,'ю(Х(~)), так как при центрировании случайной функции г'(() неслучайное слагаемое ~р(Г) уничтожается.
Отсюда к„,(у, г') = м 1х(~) у(к)1 =м (х(() ~)" (х'(()ц= = г) Р М [Х (г) Х (г )] = А(м К„((, ( ). 9.бО. Случайная функция Х((), имеющая характеристики гн,. (Ф) =О и К„(Г, г') =бе- П+'>, подвергается линейному преобразованию вида 1 1" (1) — 1 — + ) тХ(т) с<т+ з<п Ы. о<Х (<) «< о Найти корреляционный момент случайных величин Х(0) и 1'(1) (т. е.
двух сечений случайных функций: Х(<) при < = — 0 и г'(1') при <' — 1 ). Решение. На основании решения предыдущей задачи где о'-< †однородн часть линейного преобразования, при<»< мененная по аргументу 1'. В нашем случае , де «+<1 Л„т(<, г') =.— Зг' д, +3 З т'е-<'+ 1«т'= о 3<'е-<<+к< +Зе ' <е-' (.— <' — 1) —;11 = Зе-' (1 — е-<). Полагая (=О; <'=1, получаем Кх<оь к<1=)«о (О, 1)=3(1 — е ') ж1,90. 9.51. В различных технических задачах, относящихся к стационарным случайным процессам, часто пользуются в виде характеристики так называемым «временем корреляции» т„=) <р(т))«т, о ! 1< при тЕ ( — —; — „); при т( ( — —; — „), 1 — а<т) р(т)= 0 где а>0.
313 где р (т) †нормированн корреляционная функция случайного процесса. На рис. 9.51а время корреляции геометрически интерпретируется заштрихованной площадью. Найти время корреляции т„ для стационарного случайного процесса с нормированной корреляционной функцией вида Р е ш е н и е. Изобразим на рнс. 9.51б график зависимости р (т). Величина т„численно равна заштрихованной 1 1 1 на рис. 9.5!б площади: т„= — ° — = —. 2 а 2я Рис. 9.5!а. Рпс.
9.516. 9.62. Нзйти время корреляции т„ для стационарной случайной функции Х (1), нормированная корреляционная функции которой имеет внд о(т)=е-"'"! (я) О). Как будет вести себя время корреляции при и- 0 и я оо? ! Решение. т„= ') е-«'нт= —. п При а — О случайная функция вырождается в случайную величину и ее время корреляции т« оо.
При сс оо слу- чайная функция превращается в стационарный белый шум, а т„ О. 9.53. Найти вреаш корреляции для стационарной случай- ной функции Х (1) с нормированной корреляционной функцией Внда р (т) =Е 1«ти. От не т. т = —, 2«« 9.64. В радиотехнике в качестве характеристики слу- чайного процесса иногда пользуются величиной Лу, — «энер- гетической шириной спектра» стационарной случайной функции: Ю 52н) () 52 ~2 о где 8 †максимальн значение спектральной плотности, Ь достигаемое в точке ю: 8 = Я(со ); а„,=х— .
Найти энерх гетическую ширину спектра стационарной случайной функции, нормированная корреляционная функция которой имеет вид 1 — сс(т( при тЕ ~ — — „; — „), р„(т) = О при т~( — —; — ), где и> О. Р е ш е н н е. Нормированная спектральная плотность случайной функции Х (1) имеет вид » 2 Г 2и ~ м~ а. (ш) — ~ р (т) сов штат= — ( 1 — соз — 1, х х пмз а~' » Эта функция достигает своего максимума при ш=-ю„= О. 1 ах (ге»~) ат Имеем 1 а дг а»2н 2 9.55.
Показать, что для стационарной случайной функции с нормированной корреляционной функцией р (т) = е а , 'т ,' незавидною от значения а, произведение т„.б~, равно 114. 1 Ре ш си и е. Из задачи 9.52 имеем; тх= —. Нормированная спектральная плотность равна 2м ах (ю) = и (ц»+мй) ' 2 ее максимальное значение г = — , откуда » 1 псг 1 т сч' = — — — —. а 22м 4' 9.56». Показать, что для любой стационарной случайной функции Х(1), корреляционная функция которой неотрицательна ()г„(т) ) О), произведение времени корреляции с„ на энергетическую ширину спектра Ьг» равно 114.
Р е ш е н и е. В данном случае р„(т) О, поэтому Ю о т„= ~ (р„(т) ) о)т=) р,(т) с)с. Нормированная спектральная пло гность выражаетси через р„(т) интегралом оо 2 Г а„(в) = — ) р (т) сов втг)с. о Полагая в этой формуле в=О, имеем ~. ( ) = — ) Рх ( ) ~~ = — т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
