Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 45
Текст из файла (страница 45)
допустим, что гштервал времени 7' (в часах) между появлениями двух соседних по времени автобусов может принимать только два значения: г, = 0,9 с вероятностью 0,5 н (в = 0,1 с вероятностью 0,5. Тогда на осн О( мы будем нметь поток Пальма, в котором с одннаковой частотой будут встречаться длинные (0,9) и короткне (0,1) участки (см. рнс. 10.46). Пусть пассажир появился случайно в какой-нибудь момент на осп 01. Спросим себя, что более вероятно: что он попадет на участок алины 0,9 нлн на участок длины 0,17 Очевидно, первое более вероятно: отрезков 0,9 и 0,1 на оси Ог в среднем одинаковое количество, но отрезки 0,9 длиннее в 9 раз; значнт, онн занимают в 9 раз большую протяженность оси О1, чем малые отрезки, а следовательно, вероятность попадания точки П на отрезок 0,9 равна уже не 0,5, а 0,9, а вероятность попадания на отрезок 0,1 равна О,!.
Таким образом, на атом простом примере можно убедиться, что закон распределения того промежутка, на который попала точка П, не совпадает с его апрнорным законом распределения. 326 решим эту же задачу для непрерывного распределения. Пусть априорная плотность распределения промежутка Т между соседними событиями есть у'(7) (7 О). Найдем плотность распределения у"(7) того промежутка Т", на который ПОПаЛа тОЧКа П. Дня ЭТОГО НайдЕМ Гн(7)Ж вЂ” ВЕрОятНОСтЬ того, что точка П попадает на промежуток, длина которого заключена в интервале (7, 7 + Ж), Эта вероятность приближенно равна отношению суммарной длины таких промежутков на очень большом интервале времени к полной длине такого интервала. Пусть нз очень большом интервале уложилось большое число М промежутков.
Среднее число промежутков, длина которых лежит в пределах (7, 7+ й), равна Х~(7)п(1 средняя суммарная длина всех таких промежутков будет (И/())с(Д Средняя общая продолжительность всех И промежутков равна Д)гвп где т, = М ~Т) = ~ 77'(7) й. о Следовательно, у, (7) дт 7717 (Г) г)Г Г) (Г) д7 Ма, т, Это равенство выполняется тем точнее, чеи более ллительный промежуток времени будет рассматриваться (чем больше И). В пределе закон распрел деления случайной величины Та будет — У(7) при 7 ) О, Г (7) = мг 0 при )с.0. Рис. 10.4в, гр (О) .=- ~ У и (7 ) ф (0( 7 и) ггг' "', (О ) О), о 329 Нетрудно убедиться, что функция Гч(7) обладает всеми свойствами плотности распределения.
После того как мы нашли плотность распределения интервала времени Т' между прибытием двух авгобусов, на котором появился пассагкпр (!, можно найти и плотность распределения гр (О) времени О ожидания автобуса (рнс. 10.4в). С этой целью воспользуемся формулой полной вероятности где <р(0(г«) — условная плотность распределении времени 6 при условии, что случайная величина Т« попала в интервал времени (1«, 1«+ сУ«). Так как точка П на интервале времени 1 " распределена равномерно, то — при О (0 (1«, 1 ф (О ( 1 «) = 0 при 0~1".
Отсюда получим Ю « 7 (О) = 1 ', у« (1 и) г(1 « ~ ' ! ' у (, а) д « 1 — р (О~ з з где г. (1) — функция распределения случайной вели!!инм ! Р(1) = 1У(1) )1. « Искомая плотность распределения времени ожидания 0 будет иметь' вид при 0 ) О, 1-Р (О) <р (О) и!! 0 при 0(0, 10.5. В условиях предыдущей задачи закон распределения промежутка межлу автобусами есть закон постоянной плотности в интервале от б до 10 минут. Найти г * (!) и гр(0). Р е ш е н и о.
— при !'~ (5, 10), 1 у(!) 5 О при !'б (5, !О). Средний промежуток времени между автобусами т! = г,б. — при ! Е (5, 10), 0 при 1((5, 10). График плотности г"а(1) показан на рис. 1О. 5, а. О при 1<5, Г(Г) = — при 5 < 1 < 10, 5 1 при г>10. Отсюда 0 прв 9<0, — при 0 <9<5, 1,5 !Π— 0 прн 5 < О < 10, 0 при 9'> 10, График плотности распределения гр(9) показан на рис. !0.5, б. ( учЮ) у лр л/' Рнс. !0.5. 19.6. В условиях задачи !0.4 найти закон распределения времени ожидания очередного автобуса, если поток автобусов представляет собой поток Эрланга й-го порядка.
Найти плотность распределения длины интервала времени Т'", на который попал пассажир. Р е ш е н н е. (р(9).= — (1 — Р(9)1=- — ~ ! — ( 1 — ~ ' е- я=я =, ", )р(й, йО) (О > О). Если исходный поток автобусов был простейшим (Й=О), то р (9) =- йе-хе (О > О), 331 т, е. время ожидания будет показательным, о чем уже говорилось выше. Плотность распределения интервала времени 7*, на который попадает точка П, имеет вид уа(1)= — 7'(г)= — е '"'= .
е-ы = Лг Л(и)ь ци)ь+' т~ Л+ 1 Д1 (а+1)1 =) Р(й+ 1, И) (1> О), т. е. представляет собой закон Эрланга (я+1)-го порядка. 10.7. Стапионарный поток Пальма разрежается посредством р-преобразования: каждое событие с вероятностью р остается в потоке, а с вероятностью и = 1 — р выбрасывается, Закон распределения промежутка между событиями в потоке Пальма имеет плотность 7"(1). Показать, по преобразованный по~ок будет также потоком Пальма, и найти закон распределения и числовые характеристики промежутка между событиями в преобразованном потоке.
Р е ш е н и с. На рис. 10.7 показана схема р-преобразования исходного потока Пальма. Рис 10.7. Случайная величина 9 — интервал между лвумя событиями в преобразовзнном потоке †буд определяться как сумма случайно~о числа независимых случайных величин: где У в случайная величина, распределенная по сдвинутому на единипу закону Паскаля с паране~ром уи г. (У = лг) = рр"' ' (ш = 1, 2, ...). 332 У, 61,= 1 7 У, Е,= ~и",Т„„,..., =1 1 г где случайные величины гы уя,... независимы (каждое со. бытие независимо от других остается в потоке или выбрасывается), а случайные величины Т, Тг+ко ... независимы, так как исходный поток является потоком Пальма.
Следовательно, случайные величины (9ы О, , независимы, и преобразованный по~ок является также потоком Пальма. Если харакгеристическая функция случайной величины Т есть д,(х), то характеристическая функция случайной величины О (в соответствии с решением задачи 8.69) буде~ равна гр (0) = 2 ) а в'н (х) г(х. с „() Ра(х) 1-аа, (х) ' а плотность распределения случайной величины О выражаетсн формулой В соответствии с задачей 8.69 находим числовые характеристики случайной величины О: та= —, Он = — +т,—, тг 0~ ь е Р Р Р где т, ==. ~ гу(1) м, и О~ — — ~ (1 — т,\~ Т(1) и. ! О о Можно доказать, что прн многократном Р-преобразовании стационарного потока Пальма получается поток, близкий к простейшему 10.8.
Простейший поток с параметром ). подвергается Р-преобразованию (см. задачу 10.7). Цоказать, что преобра. зованный поток также будет простейшим и найти его параметр. Р е ш е н и е. Характеристическая функция расстояния Т Х в первоначзльном потоке: ь (г) = †. (см.
задачу 8.55); ы в преобразованном потоке, в соответствии с решением задачи 10.7, ~а (г)— Ра~ (О Рх Рй 1 — Ей,(1) ),-11 — а) Р),— и ' Рассмотрим интервал времени Т*, на котором появнлсв пассажир П (рис. !0.10, б), Для того чтобы произошло событие А, нужно, чтобы точка П, распределенная равномерно на интервале времени Т", не была накрыта «зоной захватах соседних автобусов. Вероятность этого события будет Ю р(1) ~ Г' — 2~0 -«( а) д а ~' Р— 2!« ~ Г(1«,!Г« 1)„ «ы О б Г Г«У(1а ДГ« «Г г(Г«) Г« — лн„ ли, в1, «б В втой формуле У(1) — плотность априорного закона распределения интервала времени Т между появлением на остановке двух автобусов (! > О), т, =- ~ 1у(Г)лг — математпо ческое ожидание времени Т. 10.11. Рассматривается работа электронной пнфровой вычислительной машины (ЭЦВМ). Среднее вре- мя безотказной работы ЭЦВМ равно 1/Л; поток отказов (сбоев) ЭЦВМ вЂ” простейший ха с параметром Л.
Если в машине происходит га сбой, то она останавливается и неисправность устраняется. Среднее время устранения це- Рнс. !0,11. исправности равно !/)х; поток восстановле- ний ЭЦВМ вЂ” простейший с параметром р. Определить вероятность того, что ЭЦВМ в момент вре- мени г' будет работать, если она в момент времени У = 0 ра- ботала. Р е ш е н и е.
Рассмотрим два состояния ЭЦВМ: х„— ЭЦВМ исправна, хт — ЭЦВМ ремонтируется. Вероятности этих состояний в момент ! обозначим р«(г) и р,(1) соответственно; составим размеченный граф состояний (рис. 10.11), ЛГ = РРь (т) + "Ро (т). = — ) Ра (т) + РРь (!)! решение системы уравнений при начальных условиях р,(0) = 1; р,(0) =0 будет При 1 оо булет иметь место стационарный режим работы системы с вероятностями состояний Х Р 1= ),+$ Р = — ' о д ! 10.12. Рассматривается предельный стационарный режим работы л-канальной системы массового обслужявания с отказами. Плотность потока заявок ), плотность кпотока обслуживанийл (потока освобождениИ одного занятого канала) р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
