Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 39
Текст из файла (страница 39)
9.20г. и пересекающихся по линии 00„, аппликаты точек которой равны дисперсии )гг', Нормированная корреляционная функция равна г„(Г, Г') = — ' — = туГ г 1 (г' — т) + з Г г 1 (т — г'). К,(й Р) à —, у'(з (г)(з,.(б) 1г г ' 1 Поверхность г„(У, т') показана на рис. 9.20г. 9.21. Случайный процесс Х(г) возникает следующим образом. На оси времени Ог имеется стационарный пуассоновский (простейший) поток событий с плотностью Х. Случайная функция Х(г) попеременно 1 г г-р'~ принимает значения + 1 и — 1; 1 г при наступлении каждого события она скачком меняет свое значение с + 1 на — 1 или на.
оборот (рнс. 9.2!а). Найти характеристики лг,(1), Вв(г) и К (г', 1') случайной функции Х(г). Р е ш е н и е. Сечение случайной функпии Х (1) имеет закон распределения, представленный рядом х;(~) (! — 1! +1 282 Дейсзвительно, так как моменты перемен знака никак не связаны со значением случайной функции, нет никаких оснований считать какое-либо из значений +1, — 1 вероятнее другого. Отсюда 1 1 лг (1) = — — + — =О; 2 2 Р, (~) = ( — 1)' 2 + 1' 2 — 1. я 1 я Чтобы пай~и корреляционную функцию К„(1, Р), рассмотрим какие-то два сечения случайной функции: Х(1) и Х(Р) (р ) у) и найдем математическое ожидание их произведения: К„(г, Р) М(Х(г) Х(г')~ = М[Х(т) Л (т")~. Произведение Х(() Х(Р) равно — 1, если между точками и Р произошло нечетное число событий (перемен знака), и равно + 1, если произошло четное число перемен знака (включая нуль).
Вероятность того, чте за время т =. р -1 произойдет четное число перемен знака, равна (ьт)еш еьт+ е хт р = з: — е-'т = е-"т —— „~', (2т]! 2 аналогично вероятность того, что за время т произойдет нечетное число перемен знака, будет Отсюда К ((, Р) (+1)р +( — 1)р„=е-йхт, где т=-К вЂ” ~.
Аналогично при ре г найдем К„(у, р)=е ь<- >, Объединяя вти две формулы, получим К„(1, 2') = й„(т) = е-'"1т1. График втой функции показан на рнс. 9.21б, Поверхность К„(Ф, 1')=е-аь1'-"1 показана на рис. 9.21в. К Гу29 Рнс. 9.216. Рнс. 9.2!в. Случайная функция Х (1) стацпонарна. Ее спектральная плотность равна ~х(ез) 2 ) х( ) ч(4ь'+ые) ' 9.22. Случайный процесс Х(г) возникает следующим образо ь На оси 01 имеешься стационарный пуассоновский поток событий с плотностью ХЮ лего ). (Рис. 9.22). При наступле- нии каждого события слу- чайная функция Х(1) скзчв' ком меняет свое значение, л ! принимая, независимо от предыстории процесса, слу- 1 " ! 1 ~ ' (чайное значение г' и сохра- 1 1 няя его до момента появления следующего события. Рнс.
9.22. Случайная величина к' не- прерывна и имеет плотность распределения ~р(о). Найти характеристики лг„(1), О„(1) и К„(1, К) случайной функции Х(1). 284 Р е ш е н и е. Любое сечение случайной функции Х(<) распределено по закону <р(х); отсюда СО М л>„(у) л< = ~ хф(х) <(х; В„(1) =В,= ~ (т — л<,)в<р(х)Фх.
Корреляционную функцию К„(<, <') находим с помощью того >ке приема, что и в задаче 9.21. Рассмотрим два сечения Х(<) и Х(< ) (< ) <), разделенные интервалом т=-<' — <. Имеем Если между точками <, <' не появилось ни одного события, то Х(<') =-Х(<) и К„(<, У') = М((Х(У))Я1 =Р (<) <! . Если между точками <, Р появилось хотя бы одно событие, то М!Х(<) Х(1')) = О. Отсюда К„(<, (')=е->т0„+(1 — е хт) О=х> е Аналогично при г'с..
< К,(<, г') =В е-х<-т>, о~куда корреляционная функция стационарного случайного процесса Х(<) равна К„(т) = г>,е х ж <. Эта корреляционная функция не зависит от аида закона распределения <р(о), а зависит только от его дисперсии Вн. 9.28. Случайный входной сигнал Х(<) преобразуется с помощью реле в случайный выходной сигналу(<), связанный с Х(г) нелинейной зависимостью У(<) в!даХ(г), т.
е. 1 при Х(<) ) О, у(<) О при Х(<)= О, — 1 при Х(<) (О. Входной сигнал представляет собой случайную функцн<о Х(~), рассмотренную в предыдущей задаче 9.22. Найти закон распределения сечения случайной функции у(<) и ее характеристики лт (<), К (г, г'). Решенйе. Случайная функция У(<) может принимать только два значения: +1 и — 1 (значением 0 можно пренебречь, т. к, Р (Х (<) = 0) = 0) . Вероятность того, что Х (<) ) О, 285 равна р= ') «р(д)«(к. Ряд распределения случайной величие ны у(т) имеет вид ,и; (г) ~ 1 — «О Отсюда т =2«« — 1; О =1 — (2р — 1)'=4р(1 — р).
Пусть т' ) г' и г' — г' = т. Если за время т в пуассоновском потоке не появилось ни одного события (а вероятность этого равна е-хт), то значении случайной функции 3'(О и 1'(г') равны друг другу и условная корреляционная функция К (г', г )= = О (() =4р (1 — р). Бели же за время т появилось хотя бы одно событие, то 1'(г) и г'(г') между собой не коррелированы и условная корреляционная функция Кг(т', г') равна пулю. Отсюда при К ) г К (( ~') е — ««4р(1 «) а в общем случае (при любых г', г') К ((, г')= й (т)=с х«т«4р(1 — р). 9.24. Случайный входной сигнал Х(г), рассмотренный в задаче 9.22, преобразуется в случайный выходной сигнал У(г) с помощью реле с зоной нечувствительности; / в1йпХ(т) при ) Х(г))) е, 0 при ! Х(1) ) ~ е, где в †зо нечувствительности реле.
Требуется найти закон распределения сечения случайной функции У(г) и ее характеристики:математическое ожидание п корреляционную функцию. Р е ш е н и е. Случайная величина г'(т) при любом может принимать одно из трех значений: — 1, О, 1 и имеет ряд распределения тле -е р = Р (Х(г) < — е) = ( <р (л') гтж( м Ра=р( — в < Х(О < е) = ~ ~Р(х) ~(х; па = Р (Х (() ) е) =- ~ гр (х) г)х. е Отсюда ж =Р~ — Р; 0 =Рт+ Рз (Рз — Рт) ° Рассуждая аналогично тому, как мы это делали в предыдущей зздаче, определяем корреляционную функцию Ь (т)е е х''!ар +рз (рз р )з1.
У 9.25. Случайная функции Х(У) преобразуется в случайную функцию г'(1) с помощью нелинейно~о элемента, работа которого описывается формулами — Ье при Х(() < — з, у()) — ЬХ(() при (Х(~)) < е, Ьв прн Х(1) ) е. График зависимости у (х) показан на рнс. 9.25а. На вход такого элемента поступает случайная функция Х(г), рассмотренная в залаче 9.22. Найти одномерный закон распределения случайной функции у(г) и ее характеристики: матема- Ьа тнческое ожидание и корреляционную функцию.
-е Р е ш е н и е. Случайная величина р е У(Π†сечен случайной функции -Ьа У(~) — ниеет непрерывное распределение в открытем интервале Рнс. 9.25а. ( — Ье, Ье) и, кроме того, дискретные возможные значения — Ьв н Ьв с отличной от нуля вероятностью; таким образом, сечение У(г) представляет собой смешанную случайную величину, функция распределения которой Р(у) непрерывна на участке ( — Ьв, Ьв), а на концах участка — в.
точках ( — Ье) и (Ьв) — терпит разрыв. Скачки е-(у) в точках разрыва равны -е Р()'(д) = — Ьв) =Р (Х(д) < — е) = '~ ьр(х) ~х=ры О Р ( т'(~) = д в) = Р (Х (~) ) е) = ) ьр (х) е(х = р,. Найдем функцию распределения случайной величины т"(ь) в промежутке ( — Ье, Ьв): е Р(у) =-Р(У(ь) <у) =Р ~Х(д) < — ") = ') р (х) ь(х= е ь =-р, + ) ьр (х) 'х ( — Ье <у < д,), -е График функции распределения й(у) показан на рис. 9.25б.
Плотность распределения сме- РАДУГ шанной случайной величины т" (т) в интервале ( — Ье, де) равна производной от р (у) на этом интервале: Ь ьр ~Ь~ при — Ье <у < де. Рнс. 9.256. Характеристики случайной функции у'(ь) равны тв (Ф) =яь = — Ьер +деря+ — ) уьр р ) ь(у= -ье е = — Ье (р, — рт) + Ь ~ хьр (х) Нх; П,(~)=д,=а.(у(()1 (,р))е= =(дь) (рт+ре)+ д )у р ( д ) ~у лев= -Ье е Ь'е~(рт+ря) + д' ~хв~р (х) е(х — льве. -е Аналогично предыдущим задачам находим корреляционную функцию и (т) =)у е-5!в!. У У 9.20*. Рассматривается случайная функция У(!) = %'соз(ю,! — 6), где йр — центрированная случайная величина с дисперсией !2, 6 †случайн яеличина, распределенная с постоянной плотностью в интервале (0,2п), ага — неслучайный параметр (ы, у 0).
Случайные величины )Р' и О независимы. Определить характеристики случайной функции У(!): математическое ожидание, корреляционную функцию. Определить, является ли случайная функция У(!) стационарной и зргодической. Если опа стационарна, найти ее спектральную плотность Ю (те). У Решение. Представим случайную функцию У(!) в виде У(!) Иксов(о> ! — 6)= И'созбсозю !+%5!п65!пго !. Обозначим йр соз 6 = ст, )чг 5!и 6 = У. Найдем сначала основные характеристики системы случайных величин У и $'.
М [(.!] = М [И" сов 6] = М [К] М [со56] =0; Ы [У] = Ы [)р 5!и 6» = Ы [ К~] Ы [5!и 6] = 0; 0 [Ц = М [()(У соя 6) ] = М [)Ре] М [созе 6] = Е1„М [соз'6]; 0 [)У] = М [(ругйп 6)в] = В,„М [51пв 0]; Кв = М [ Ж соз 6 2У 5!и 6] = ву,„М [5!и 6 соз О], Так как величина 6 распределена равномерно в интервале (0,2п), то М [з!и 6] = М [соз 6] = [ созе 0 ау — т(0= 1 ! е М[з!п6соз6]- ] з!п0 сов 0 — г)0=0.
1 2п в Итак, имеем !О и. с. Вевтаевв, л. а. Овчврвв Следовательно, выражение у(!) = Иусоз(ю,! — 6) =усов ю !+ (гв!па~1 представляет собой спектральное разложение стационарной случайной функции, корреляционная функция которой имеет вид й (т)= — совы,т, а лт =О. 1З у 2 т ' у График этой функции показан на рпс. 9.26.
Рис. 2.26. Эргодп шой у(!) не является, так как характеристики, найденные по одной реализации, не совпадают с характеристиказш, определепньыш по множеству реализаций. Действительно, кахгдая реализация случайной функции 3'(1) есть гармоническое колебание, амплитуда которого представляет собой значение, случайно принятое величиной йт, Среднее по времени для каждой такой реализации будет равно нулю и совгюдает с математическим ожиданием случайной функции У(!), но дисперсия и корреляционная функция, найденные как средние по времени для одной реализации, уже не будут совпадать с соответствуюгцими характеристиками случайной фунюпш У(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
