Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Независимые случайные величины Хы Х,, ..., Х„,... распределены одинаково по показательном) закону с параметром Л. Случайная величина 1'= 1' + 1, где случайная величина 1; распределена по закону Пуассона с параметрол~ и. Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины 2= ~ч.",.
Х, с=д Решение. Закон распределения суммы ~Хд представ1=д ляет собой закон Эрланга (л — 1)-го порядка (см. задачу. 8.8!) с параметром Л: У " (х) = ' ) -д (х ) О). Л Лх" (и — 1) 1 По формуле полной вероятности плотность распределения случайной величины Х будет Л ()ыа-д аа-д др (е) = ~~д~,у оо (х) Р =- ч ' — е д' е ' = — С (,,Н,„1) е=д п=д Ю -дх-а ч~ (Лха)" прн е) О (а ~)д а=о Эту плотность можно выразить через модифицированную х 2 цилиндрическую функпию 1 (х) =,у о,хы (Е()д др(х) =Ле д' ' У (2(/Леа) при а) О, Далее на основании решения предыдущей задачи М И=.„т,= —,, а+1 ду(х) = — 0 т +т'В = — + — = —.
а+1 а 2а+! х у х у Лд Лд Лч 247 8.53. Рассматривается система случайных величин Х; (! = 1, 2, ..., л), которая связана с дискретной случайной величиной 1' следующим образом; Х ]О, если !)!'. Известна функция распределения Га(у) случайной величины 1'. Требуется найти закон распределения каждой случайной величины Х; и числовые характеристики системы слушйных величин (Х„ХЬ, ..., Х„).
Р е ш е н и е. Ряд распределения случайной величины Х; пГюсг в:!д О ! р (у !) Р (у) !) Тск как Р (У ( !) =- Гт(!), то ряд распределения имеет вид О Гч(!) (1 — Г(!) откУда иГ„, =- ! — Р'(!), ![)и — — !ч(!) [1 — Г(!)]. Е!айнем корреляционные моменты случайных величин Х; и Хеь для чего найдем М [ХГХ.]. Произведение ХГХ, прп !' ( у может принимать только два значения: 1, если Л;= 1, и О, если Х =- О. Следовательно, М [Х!Хт] = лГ,! = ! — Г".(у) (! (у), откуда К1,= М [ХГХ~] — лВ„,не!=1 — г".(!) — [! — г".(!)] [! — Г(!)[= = Р([] [1 — Р([)] «<1], а коэффициент корреляции р (!! (! — р ([», ~.р-(!)-[] — р (;)]- 11 ~~;ау Г' г (!) г ([) (! — Р (!» (1 — г" !1» Е Г (]) [! — Г' (!)1 (1 (! (у'(л).
8.54. Найти характеристическую функцию случайной величины, равномерно распределенной в интервале (а, Ь). ь еПЬ епа Решение. л(!)=] — ен-"е[х= — .. Если „Ь вЂ” а Ь вЂ” а Ы е а= — Ь (Ь) 0), то ! Впь е лВ ! е~~ь — е-~!В ьщ !Ь й(г) = 2Ь !! ГЬ 2! !Ь 24В 8.66. Найти характеристическую функцию случайной величины Х, распределенной по показательному закону: т"(х) = Хе х", х ~ О. Решение, и(2)= ~)е-"епкг(х= —.=- — —,. ) '+ыг ) е+ Ге е 8.56. Найти характеристическую функшпо лля случайной величины Х, распределенной по закону Лапласа: у(х) е-а~и †2 Решен пе.
Заменой х — го==у пол)чпч с (2) == (, ен' — е а' ' '" Ых=- 2 = — е'""( ~ епх е"у ду-'; ~ енх е "у 2 2 (а+П ' а — ~ Г!ри т==О получим е(Г) =- —, а2+Р 8.57. Найти характеристическу1о функцию чины Х, распределенной по биномиальному метрами р и и: случайнои велнзакону с пара- Р (Х ==- т) = С„рмдь где Х; †случайн величина с рядом распределения Характеристическая функция величины Хь равна и„(т) — (1)) '(епхь1 псе л реп и+реп где п=1 — р; О(р(1; т=О, 1,...,и. Решение.
Представим величину Х как сумму и езависимых случайных величин: Х= ХХю Так как характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристическнх функций, то ()) К(~) =- П А"» (~) =- (Ч + Ре' )" о=» 8.58. Найти характеристическую функшпо случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром а: ао' Р(Х=»и)= —,е " (а) О; т=О, 1, 2,,) х-о а'" ъ (аен)'о Решение, ж(!)= у — е аеиж е-а ~ и! ли ы =- о е-аеаеа,-о Ы вЂ” оо~ 8.59. Характеристическая функция слу оайной величины Х равна ех (1). Случайная вели нина ?' получается из Х прибавлением постоянной величины а; У= Х-,'-а.
Найти характеристическую функцию д (1) случайной величины У. Р е ш е н н е. Рассматривая неслучайную вели шну а как частный случай случайной, находим ее характернстическук> функцию »то(1) = е"о. Так как случайная величина Х не оюокет зависеть (в вероятностном смысле) от неслучайной а, получаем »т (») =-у„(() е;(») =-а„(1) еи". 8.60. Найти характеристическую функцию», ()) случайной велячины Г, распределенной по закону Паскаля; Р(У=-й)=рдо ((»=О, 1, 2,...), а также характеристическую функцшо случайной величины Х, распределенной по осдвинутому на единицу» закону Паскаля: Х= У+1; Р(Х=й) =Рдо-т (й=?, 2,...).
Р е ш е н и е. оо (» ь (() = ~~'., )л)оел»=,о ,'~,(Чен)а= 1 — Ееи Применяя правило, выведенное в предыдущей задаче, получим 8.Ю=, ' 250 8.61. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Опыты прекращаются, как только событие А появилось и раз (и» 1). Найти закон распределения, числовые характеристики и характеристическую функцию числа Х «неудачных» опытов, в которых событие А не произошло. Р е ш е н и е. Найдем вероятность того, что случайная величина Х примет значение )г. Для этого нужно, чтобы общее число произведенных опытов было равно л+ )» (и опытов кончились «неудачно», а и — «удачно»). Последний опыт по условию должен быть «удачным», а в предыдущих п — й -'; 1 опытах должны произвольным образом распределиться и--1 «удачных» и )г «неудачных» опытов.
Вероятность этого равна Р(Х=й')=С,'з,,р "ц» (к=6, 1, ...). Полученный закон распределения является естественным обобщением закона Паскаля, Мы будем его называть «обобщенныя законом Паскаля и-го порядка». Случайную величину Х можно представить в виде суммы п незаввсимых случайных величин: » Х=- Х Х„ 5=1 где каждая случайная волн'шна Х, распределена по закону Паскаля: Р (Х, = к) == рг)» (я =- 6, Лействительно, общее число «неудзчных» опытов складывается из: 1) чвсла ~ неудачных» опытов до первого появления события А; 2) числа «неудачных» опытов от первого до вгорого поввлення события А и т, д.
От«игла получаем числовые характеристики величины Х ла „ лч т= —; )у=— » р ' «р« и характеристическую функцию 8.62. Условия задачи те же, что и в задаче 8.61, но случайная величина У представляет собой общее число опытов, произведенных до и-кратного появления события А. Найти закон распределения, числовые характеристики и характеристическую функцию случайной величины у. 251 Р е ш е н не. )'=Х+ п, где Х вЂ” случайная величина, фигурирующая в предыдущей задаче. Отсюда Р (1'= и) = — Р (Х= Ф вЂ” и) = =Сьь:игр"дь "=Се,'р"е)ь " (3=п, и-(-1, ...).
Числовые характеристики величины у' и =-и.+и=- —, п= — —; О,=.В .=- —. лч и ла у л р ~,,' у ' е дер Характеристическая функция ~,1 — ееп/ 8.63. г)айти характеристическую функцию случайной величины Х, распределечной по обобщенному закону Эрланга (и†1)-го порядка (см. задачу 8.3!): е сьге (х) =-( — 1)" ' Д Х;~' — Ц (),у — ьл) ь~/ при х>0. и е Л' ).
Г Если все и случайных величин распределены одинаково, то получаем закон Эрланга (п — 1)-го порядка: с характеристической функцией 282 Р е ш е н и е. Обобщенный закон Эрланга (и — 1)-го порядка получается как результат сложения и независимых случайных величин, распределенных по показательным законам с различными параметрами ).ы Х ...,,'А„. Следовательно, характеристическая функция будет равна произведению и характеристических функций показательных законов (см.
задачу 8.55): 8.64. Имеется случайная величина ?; распределенная по показательному закону с параметром ?к Т'(у) = Ле-хе (у ) 0). Случайная величина Х при заданном значении случайной величины ?'=у распределена по закону Пуассона с параметром у: Р (Х=-А)1'=у) = ~, е У ()а=О, 1, 2...,). Найти безусловный закон распределения случайной величины Х. Р е ш с н и е. Полная вероятность события Х = )е будет ",,ч Р(Х=-й)= =,е УЛе лег)у= — уее ц'"и'ду=.- ,) Гг1 Л1,) е = — (е)(1 —, Л) '"+" = ()г =- О, 1, 2, ...). Л, Л а1 ' ' (1+Л)юю Если ввести обозначения Л 1 =Р! =Ч=1 Р 1+Л ' 1+Л получим Р(Х=Й) =-рд" (1е= — О, 1, 2, ...), т.
е. случайная величина Х подчинена закону Паскаля с параметром р = — . 1+Л ' 8.65. На космическом корабле установлен счетчик Гейгера для определения числа космических частиц, попадающих в него за некоторый случайный интервал времени Т. Поток космических частиц †пуассоновск с плотностью Л; каждая частица регистрируется счетчиком с вероятностью р.
Счетчик включается на время Т, распределенное по показательному закону с параметром ?г. Случайная величина Х— юшло зарегистрированных частиц. Найти закон распределения и характеристики т„, О„ случайной величины Х. Решен не. Предполоягим, что Т=-1, и найдем условную вероятность того, что Х= лт (лг = О, 1, 2, ...): Р (Х = лг ( 1) = — е (Лрг) -х ег1 253 Тогда полная вероятность события Х=т будет г(л 1) Р (Х=т) =~ Р е хо'««е-нг г(г т« о о (Лр) 1ме РР «н«г Ж и (лр+ р) о Это есть распределение Паскаля с параиетрон лр+ й (см. предыдущук1 задачу), поэгому (см.
задачу 5.15) т = лр+р лр+р р Лр (' р '«о Лр (Лр+й) уЛр,о ур ( ~.=л, +р'(лр+«1) л р.) 8.66. Решить задачу 8.6о при условии, что счетчик включается на случайное время Т с плотностью распределения Т(1) (1>О). Р е ш е н и е, Так же, как и в предыдущей задаче, условный закон распределения величины Х при Т= г': Р(Х т(г) =- — ", е лр' (т=О, 1, 2,...). Безусловный закон распределения будет Р (Х=-т) = ~, е-хо) (1) Ж (т=-О, 1, 2, ...). (Лрг)о о Находим числовые характеристики случайной величины Х.
Условное математическое ожидание т„~г = Лф; безусловное ма'тематическое ожидание т = ~ Л р1г (1) И = Лр ~ у~' Я Ю =- Лрто о о где т, = М (Т). Аналогично находим второй начальный люиент случайной величины Х (заметим„что так можно находить только начальные безусловные моменты, а не 254 центральные): а, [Х[г) =)р1+()»рг)»« » х а, [Х] -)р ~ гУ(Е) «(+()р)' ') (У(Е) г«У-)рт,+(лр)еа, [У)— о а )~рт~+()"р) (О»+ т)) где О,— дисперсия случайной величины Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
