Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Распространение этого результата на любое число слагаемых производится по индукции. 8.43. Система случайных величин (Х, У) распределена по нормальному закону с характеристиками ига и, а„, а н г„ . Случайные величины (У, Ъ') связаны с (Х, 1') завпснмостшо У=аХ,-Ь)-[-с; Р=ЬХ+)У+и.
Найти закон распределения системы случайных величин (У, 1'). Ответ. Система (У, $') распределена нормально с характернстнкамн и„—.-ага + Ьт +с; лге = гги„+ йю + т; а„=. )г' гуго, + Ь'а' —;— 2аЬа„а„г„; а = )lйга'. +)ганг+ 2ага а г. „; ад г, + Ыагг+ (И + а)) а„ав г„е Г ие па Е! Ф 8.44. Самолет-бомбарднровщпк производит бомбометание по паласовой Рнс. Знрь целя ширины Ь.=- 40 м, заходя па нее под углом 30' по отношению к направлению полосы (рнс. 8.44). Коорднггаты точки попадания распределены по нормальному закону; главные осн рассеивания †направлен полета н перпенднкулярцое к нему„ начало координат на средней линии полосы. В этой системе коордннат кОу параметры нормального закона лг,= — 10 [м); и = 0; а„= 50 [м[; а = 25 [м). Найти вероятность р попадания в полосу прн сбрасываннн одной бомоы.
Р е ш е и и е. Проектируем рассеивание на ось Ог, перпендикулярную к полосе: лг, = 10 соз 60' = 5 (м); и, = )~ а', юп' 60'+и„' з(па 60' = ="1' 50з 0,25-1-25з 0,75 33,1 [и]. , ЗЗ,1 ! ( ЗЗ,1 8.46. ((ех завода производит шарики для подшипников, За смену производится л = 10 000 шариков. Вероятность того, что один шарик окажешься дефектным, равна 0,05. Причины дефектов для отдельных шариков независимы.
Продукции проходит контроль сразу после изготовления, причем дсфекгные шарики бракуются п ссыпаютсн в бункер, а небракованныо отправляются в цех сборки. Определить, на какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0,99 после смены он не оказался переполненным. Ре шение. Чнсло забракованных шариков Х имеет биномпальное распределение; так как л велико, то нз основании центральной предельной теоремы можно считать распределение приблизительно нормальным с характерисгикзмн: е„=- лр = 10000 0,05.= 500; В„= лрг) = 500. 0,95 = 4У5; сг„21,8 Находим такое значение 1, для которого Р(Л (1) =-0,99, нли С)Зч (1 — лг ') Ф„('1 — 50З') 0 99 и / (218 По таблицам функции Ф"(ж) находим 1 — 500 2,33, отнуда 1 551, т, е.
бункер, рассчитанный примерно на 550 париков, с вероятностью 0,99 за смену переполняться ие будет, 8.46. Условия задачи 8.45 изменены в том отношении, что причины брака являются в значительной степени общнгпг для различных шариков, так что вероятность одному шарику, изготовленному в течение данной смены, быть дефектныи, при условии, что другой шарик (лгобой) уже был дефект. ным, равна 0„08. 240 П р им е ч а н не.
Число опытов (и=10000) считать достаточно большим для того, чтобы, несмотря на зависимость опытоа, закон респределення суммарного числа дефектных шариков был приближенно нормальным. Р е ш е н и е. Рассмотрим случайную величину Х вЂ” общее число забракованных (дефектных) шариков — как сумму п = 10 000 слагаемых: ааааа Х= ~~ Хм 1=! где величина Х; принимает значение 1, если шарик дефектный, и 0 †ес не дефектный. Имеем тл =-= и7о =- 1О 000 О, 05 = —.
5 00; !оооо 7!н= ~~' 77 -;2 ~Кит,=— ! !(! == 47 )+ 2Соооааа К!а ="- 475 ' 10 000 9999 Кмо, где Косо — корреляционный момент случайных величин Хг, Х.. Найдем К,, а= М (Х;Х,] — тот,, Так как произведение Х;Х! принимает только два значения: 1 (при Л; . †- 1, Х.= 1) н 0 (в остальньох случаях), то ]()] ]ХгХ ] = 1 Р((Х; =-!) (Х.= 1)) == 005 008 =-0004 и Кп = 0,004 — 0,05 0,05 =- 0,0015, о! куда О, 475 — Р 15 !Оа 15,05 10а, Оа ж 388. Д,' .. 7 у ! '! — "00 Сйда ~ " ~ = 0,99; "„= 2,33,' 7= 1404 т.
е. бункера, рассчитанного примерно на 1400 шариков, будет достаточно (с вероятностью 0,99) для бракованной продукции за смену. 8.47ч. Лотерея организована слелующим образом. Участникам продаются билеты, на каждом из которых имеется таблица с номерами: 1, 2, ..., 90, Участник должен выбрать 211 произвольным образом пять различных номеров, отметить эти номера н послать билет организаторам лотереи, которые хранят все присланные билеты в запечатанном виде до дня розыгрыша.
Розыгрыш лотереи состоит в тои, что случайным образом выбираются (разыгрываются) пять различных номеров из девяноста; выпавшие номера сообщаются участникам. Если у игрока совпали с объявленными менее двух номеров (О или 1), он никакого выигрыша не получает. Если совпали с объявленными два нолвера, он выигрывает 1 рубль; если три номера 100 руб.; если четыре в 10 000 руб.; если все пять — 1000000 руб.
1) Определить нижнюю границу цены билета, при котором лотерея в среднем еще не приносит убытка ее организаторам; 2) определить средний доход Л, который приносит лотерея организаторам, если в ней участвуют 1000000 человек, назначающнх свои номера независимо один от другого; каждый покупает олин билет, а цена билета 30 коп.; 3) пользуясь «правилом трех сигма» найти границы практически возвюжных выплат по лотерее; моокно ли считать суммарную ныплату по лотерее распределенной по нормальному закону? Решение. 1) Обозначим р; вероятность того, что нз пяти названных игроком номеров ровно в' совпадут с выпавшими. Находим С'С Сво Сао р =- — ''"' 9,67 1О в; р = —, 2,28 1О Минимальная цена билета должна быть равна математическому ожиданию выигрыша игрока, купившего этот билет: т 2 25.
1О-в. 1 + 8 12, 10-», 10в+ 9 67, 10-в. 10в + 2 28, 10-в, 1Ов 22 3, 10-в (руб ) т. е. минимальная пена билета †око 23 коп. 2) М== (0,30 — 0,223), 10в . 77, 10в (руб ) 3) Общая сумма выигрышей Х, которая подлежит яыплате по лотерее, представляет собой сумму выигрышей отдельных игпоков: о оаооао Х=- ~ Хо !=в где Х; — выигрыш 1-го игрока.
242 Считается, что игроки называют свои номера независимо друг от друга, так что величины Х;(1 1, 2, ..., 1 000 000) независимы. Из центральной предельной теоремы известно, что сумма достаточно большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин приближенно распределена по нормальному закону. Требуется выяснить, достаточно ли в данном случае числа слагаемых и .= ! 000 000 для того, чтобы величину Х можно было считать распределенной нормально? Находим математическое ожидание тл„ и среднее квадратическое отклонение ох случайной величины Х. Для любого ю' = 1, ..., 1 00 0 000 Шх, = 22 3 10 з 0,223! а (Л;) =2,25 !О '- 8,12-,' 9,67 10«-'- 2,28 10«=2,38 ° 10«; Р, = 2,38 1Оа — 0,22з = 2,38 10«.
Отсюда и 10« и, =- 2 23. 10а. Р, = 10' Р„, =- 2,38 ° 10'«; и„ = 108 'и' 2,38 ж 1,54 10а. Мы знаем, что для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, границы практически возможных значений заключены между гл„ .+- Зп„ («правило трех сигма»). В нашем случае нижняя граница возможных значений случайной величины Х, если бы она была распределена по нормальному закону, была бы гл„— Зп„(2,23 — 3 1,54) ° 1Оа =- — 2,39 10«. Отрицательное значение этой границы говорит о том, что случайная величина Х не может считаться распределенной нормально.
« ем 8.48*. Найти предел йш ~~' „—,! е ", где а — целое пологи! жптельное число. а аш Р е ш е н и е. Выражение ~„— е ' есть вероятность топ! т=« го, что случайная величина Х, распределенная по закону Пуассона, не превзойдет своего математического ожидания а. Но при неограниченном увеличении параметра а закон Пуассона приближается к нормальному. Для нормального закона вероятность того, что случайная величина не превзойдет своего математического ожилания, равна 1/2, значит, а ч~ а™ -а 1пп ~ —,е 2 ' т! 8.49. Доказать, что показательный закон распределения валяется устойчивым по отношению к операции нахождения минимума, т.
е. если случайные величины Х, Х„ ..., Х„ независимы и подчинены показательным законам распределения с параметрами Л,, Л,„' ..., Л„ соответственно, то случайная величина Е;= ш!и (Х„ Х,, ..., Х„) также подчинена показательному закону, причем параметр етого закона 1=1 Р е ш е н и е. На основании решения задачи 8.34 функции распределения случайной величины х: а это есть функция распределения показательного закона с и параметром Л=~~Р~ Лп с=1 8.50. Независимые случайные величины Х„Х,, распределены одинаково по показательному закону с параметром Л: г" (х) =- Ле-'" (х ) 0). Рассматривается сумма случайного числа таких вели ипп где случайная величина У распределена по сдвинутому на единицу закону !!аскаля (см. задачу 5.1 5): Р„= Р (У= и) =рд" ' (О < р ( 1; и = 1, 2, ...).
Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины к.. Р е ш е н и е. Сумма фиксированного числа и случайных а величин ~ Хг подчинена закону Эрланга (и†1)-го порядка г-а 244 (сн. задачу 8.31) с плотностью T">(х) = ) е-х' (х)0). = (и — 1)! Плотность распределения случайной величины х нахо. днм по формуле полной вероятности с гипотезами гт*„(У= и): Пр(а)=~~П уоа(д)Р =и Ч Е Хпрд" '=- Л (Лг)" — ' 2ы (и — 1)! П=1 п=1 =-р);е " ~ — = — РЛе "елп' =-РЛе хе' (е ) О), (М~)' п л! е =. и т. е. случайная величина Е будет также подчинена показа! тельному закону, но с параметром Лр.
Следовательно, 1 1 1 8.51сч Рассматривается сумма случайного числа случайных слагаемых У Е=~„ХР где Х,, Хе, ... †последовательнос независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью у'(х), 1' †положительн, не зависящая от ннх целочисленнаи слушйная величина с законом распределения Р (1'= и) = Р„ (и=-1, 2, ..., М). Требуется найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины Е. Решение.
Допустим, что случайная величина У приняла значение и (и -- 1, 2, ..., Ф). Вероятность этого равна Рп. При этой гипотезе Обозначим плотность распределения суммы и независимых одинаково распределенных величин Х„ Х„ ..., Х„ через г"!"1(х). этн плотности можно найти последовательно: сначала у!а!(х) †композиц двух одинаковых знаков у(х) и у(х), затем у 1з1(х) †композиц г"'а>(х) и у'(х) и т. д.
По формуле полной вероятности плотность распределения случайной величины х. будет ф (х) = Х У'"' (х) Р; Для нахождения числовых характеристик воспользуемся тем же приемом. Допустим, что г'=- и. В этом случае условное математическое ожидание будет М(Л ] = М~~~~ РХг .— —. лтя, где гла —..: М (Х,,) =- ~ ху (х) г(х.
-и Тогда полное мзтематпческое ожидание найдем из выра- жения м М (Я] ~ лгл Р ~ глг я=1 где л' л~г =-,~,, лР„. и-1 Таким же образов найдем и условный второй начальный момент при условии, что у=л: М]Л„е]=- М ~ Х; = М ~~'.,Х +2 ~Р ~Х;Х =;~~ сея-,'-2 ~2~ е,.тя= лаз» вЂ” , 'и (и — 1) т„'=-лВ„-';паж";, где и=1 =-ь)мт -',— е'„пз, я зг У где сазу ~ л Р Оу ] гля Второй пз,— — М Пя=-О(Х,.]= ~ (,— т„)-У(х) г) . Ф начальный момент случайной величины Е м Л (Еа] =,~~ М [Е,") Р„= ~~~ ~(л0„+лаоф Р„=- Дисперсия случайной величины Е 8.52.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
