Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Среднее число выходов из строя узла (-го типа за время т равно л;т; среднее время ремонта олного такого узла раино 1/ц;; среднее время, которое булет затрачено на ремонт всех вышедших из с~роя за время т узлов 1-го типа равно Х;т/)г;; среднее время, которое будет затрачено на ремонт узлов всех типов, равно т~ 1и 7.56.а Условия задачи 7.55 изменены таким образом, что каждый вышедший из строя узел отправляется в ремонт, а техническое устройство на зто время прекращает работу; при неработающем (выключенном) устройстве узлы выходиз ь из строя не могут. Найти; а) математическое ожидание числа остановок устройства за время т; б) л~атематическое ожидание той части времени т, в течение которой устройство будет простаивать (оио же среднее время, затраченное на ремонт). Р е ш е н и е.
а) Обозначим Х вЂ чис остановок за время т и найдем его математическое ожидание гл„. Залачу булсч решать с помощью слелующих не совсем строгих (ио тем не менее верных) рассуждений. Рассмотрим неограниченп~ и во времени процесс работы устройства в виде последователь- ности кцикловр (рис. 7.56), каждый из которых состоит из периода работы системы (отмечен жирно) и периода ремонта. Длительность каждого цикла представляет собой сумму двух случайных величин: Т,6 (времени работы устройства) и Т„„ (времени ремонта). Средняя длительность времени работы й /-й газет й й гыт й-й мргл Рнс. 7.бб.
устройства рл,, вычисляется как среднее время межлу двумя 1рр6 последовательными отказами в потоке отказов плотности 1 1 Л =~ч' Л;; это среднее время равно и, ~~~6 Л Д Лг Г=! Находим среднее время ремонта и, . Будем его ис- ~рсм кать по формуле полного математического ожидания прп гипотезах Н; †ремонтирует узел)-го типа (1 =.1, 2, ..., л).
Вероятность каждой гипотезы пропорциональна параметру Лг Л; Условное математическое ожидание времени ремонта прн этой гипотезе равно 1!р;; отсюда рея, ЛО~ Л р~ ' 1=1 р=1 Срелнее время цикла ! (=р ,=1 Теперь представим себе последовательность остановок ройства как последовательность случайных точек на оси разделенных интервалами, в среднем равными и Сред- рч число остановок за время т будет равно среднему числу 193 с. Врртчррм л. А.
Орррррр й' таких точек на отрезке длиной т: т Хт УВ глад л ~ч»~)ч ,рс ь ~ч,» 3., Ю=! н К б) За каждый цикл устройство будет простаивать (ремонл 1ч тч тироваться) в среднем время тл, = — т †"; за а„ циклов среднее время простоя будет равно 7.57. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с характеристиками е„ и о„. Случайные величины У и Х связаны с Х зависимостями т'=Х'; Л =Ха. Найти корреляционные моменты К„, К„, и К,.
Решение. )(ля упрощения вычислений перейдем к центрированным величинам и воспользуемся тем, что для центрированной нормальной величины Х=Х вЂ” т„ все моменты нечетных порядков равны нулю, а М [Х'1 = о,', М [Х') = Зо„' (см. задачу б.бЗ). Так как У = (Х -'- лг„)' — М [Х') = Х' — , '2Хтл -'; лР.
— 0„— пР„= = Х'+ 2Хтл, — о„-"с то К = М [ХУ) =- М [Х (Х'+ 2Хт — ов)~ = 2о,'тлн. Далее 2 = (Х+ (и,)' — М [Х') = Х' (- ЗХ'лв „+ ЗХт', + и'„— — (Зтл,.о'„,- тл'„) = Х'-,'— ЗХ'тл -„'- ЗХтв — Зт„о'„ и поэтому Кн, =- М [Х2~ = М [Ха~ + ЗтнМ [Ха~ + Зт„'М [Х-')— — Зт„о,'М [Х~ =- Зо„'-',— Зт,'о-'. 194 Наконец, Кх,= М 1(Хя-)-2Хт„— и,') (Ха+ЗХялг„+ЗХлг', — Злгха',)) =5т„М (Хч) +блг„(лг' — и„')М (Хя~ -)-Зш п4 = = 12лг„п', + блг'„а'„. 7.58. Воздушная цель перемещается над обороняемой территорией со скоростью и. В течение времени т цель находится в зоне действия средств противовоздушной обороны, Число обстрелов, которому может подвергнуться цель, находясь над территорией, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметроьг а = 'лт.
В результате каждого обстрела цель поражается с вероятностью р. Пораженная цель немедленно прекращает полет. а) Найти вероятность Р, того, что к моменту 1 С т цель будет поражена. ы б) Нзйти среднюю глубину проникания цели на обороняемую территорию. Р е ш е н и е. а) Выделим из пуассоновского «потока обстрелов» цели с плотностью )г поток споражающих обстрелова с плотностью )р. Вероятность того, что за время 1„ ель будет поражена, равна вероятности того, что за реня 1, произойдет хотя бы один поражающий обстрел; =- 1 — е-'лг б) Введем гипотезу: цель поражена в интервале ремени (1, 1 + сгг). Вероятность этой гипотезы будет ре-хш И (О ( 1 ( т).
В предположении, что указанная гипоеза имела место, дальность Р, на которой самолет будет оражен, равна пг. Следовательно, средняя глубина пронпания цели на обороняемую территорию будет: гло = ~ Ие ~хлор Н = — [1 — е хг' ()рт-'; 1)]. 1гр о Заметим, что тр- — при т — оо.
Лд 7.59. Тело, вес которого равен а(г), взвешивается на аналпшеских весах четыре раза; получаются результаты Хы Х, „ Х4. В качестве измеренного значения веса принимается 1 х среднее арифметическое: )'= — (Хт-(- Х, + Х, + Х,). 4 езультаты взвешиваний независимы. Весы дают систематиескую ошибку т„= — 0,001 (г) .
Среднее квадратическое отклоение каждого взвешивания а„=0,002 (г). Найти параметры: 195 математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины у. Решение. т„= 4 ° 4(т„+а)=а+0,001 [г[. 1 '(ут 4з ~' 4 ~ '~и= 2 =0,001[г 1 1 о 7.60. Производятся четыре независимых измерения одной н той же величины Х. Каждое измерение характеризуется одним и тем же математическим ожиданием т„ и средним квадратическим отклонением и„. Результаты измерений: Х„ Х„ Хю Хз.
Рассматриваются разности между соседними измеРениями; 1'т =- Хз — ХП 1'з =Хз — Хз' )з — — Хз Хз Найти характеристики системы этих случайных величин: математические ожидания т че т, т ; средние квадратические отклонения ст, и , и ; нормированную корреляционную матрицу ~)г;,1). Решение. тз =лзз.-..=ги =О. В силу независимости величин Х„ Х„ Х„ Хз К,, = М [(Хз — Х,) (Хз — Хз)! = — М [Х,',] = — о,-; Кз,, = М [(Хз — Хз) (Х, — Хз) [ = — М [ХЦ = — П,'-'1 К,, = М [(Хз — Х,) (Х, — Х,)) = О. ор 2о" '1 — —, О~ нГОО =. 7.61.
Стрельба по некоторой цели Ц начинается в момент ее обнаружения и продолжается вплоть до некоторого момента 1"', в который цель покидает зону обстрела и становится уже недоступной. Момент Т, в который обнаруживаетси цель, представляет собой случайную величину, распределенную с постоянной плотностюо в промежутке от О до 1*. Число выстрелов, которое может быть осуществлено по цели за время ее обстрела 1* — Т, есть случайная величина, распре- 196 деленная по закону Пуассона с математическим огкиданием а = 7.(г" — Т). При каждом выстреле цель поражается с вероятностью р.
Найти полную вероятность поражения цели с учетом случайности момента обнаружения. Р е ш е н и е. Вероятность поражения цели есть функция момента обнаружения р (Т). Рассматривая пуассоновский поток «поражающиха выстрелов с плотностью >р, имеем р(Т) = 1 — е-ль1'-г'. Полная вероятность поражения р= М [р(Т)< =- — [ [1 — е лх~г"-0) Ж 1 — „[1 — е-рх"<. Р уйти о Отметим, что пря малых р) г' будет р — рИ'. 2 7.62. Имеется кубический бак с горючем, на одной из шести стенок которого случайным образом появляется пробоина от осколка; пробоина оказывается с равной вероятностью на любой из гпести стенок бака и в любой точке каждой из шести стенок.
Вследствие наличия пробоины из бака вытекает все горючее, находящееся выше пробоины. Б неповрежденном состоянии бак заполнен на а~« сноего объема. Определить среднее количество горючего, которое сохранится в баке после пробития его осколком. Р е ш е н и е. Для простоты будем считать ребро бака равным единице. Высот> пробоины обозначим через Х, количество оставшегося горюче~о через г'. Так как площадь основания равна единице, то « Х при Х «. 0,75 0,75 прн 0,75 ( Х < 1.
Если пробоина окажется выше чем на 0,75 от дна бака (Х) 0,75), то горючее вытекать не будет, и в баке останется, как и было, количество горючего 1'= 0,75; вероят- ность этого авиа доле площади пове хности бака, нахо- ! Р Р дящейся вып~е уровня 0,75; Р (У=- О 75) = Р (Х 0,75) =- — + 4 — О 25 = з Если пробоина окажется в дне бака (Х=О), то вытечет горючее; вероятность этого равна доле площади, приящейся на дно бака: Р ( У = О) = Р (Х = О) =- — .
197 т =- 0,75 — + 0 — + ~ х — о(х = — + — = — = 0 44. 1 1 Г 2 1 3 7 У ' '3 ) '3 4 Гб Гб о 7.63. В интервале (О, 1) зафиксирована точка а (рис. 7.63). Случайная точка Х распределена равномерно в том же интервале. Найти коэффициент корреляции между случайной Ряс. 7.63. величиной Х и расстоянием !т' от точки а до Х (расстояние Й всегда считается положительным). Определить, при каком значении а величины Х и й будут не коррелнрованы. Р е ш е н и е.
Определим К„„по формуле К„= М [Хй) — т„т,. о М [ХК] = М [Х) а — Х [) = ~ х ) а — х (у" (х) о(х = о ! =~х о (а — х(о(х= ') х(а — х) ь'х — ')х(а — х) пх= а ао а = †„; ††+ †' 2 3 ' 1 а 1, — — ( тьх = ) (~ — х) Нх— о о 1 1 — ') (а — х) о(х = ао — а + — . 2 ' а Отсюда ао а 1 1 У о 1 ! ао ао 1 К,= — — — + — — — ( ао — а-!- — ) = — — — + —.
3 2 3 2(, ' 2,) 3 2 12' Если пробоина окажется в одной из боковых стенок бака на расстоянии Х( 0,75 от дна, то в баке останется количество горючего У=Х Плотность вероятности в интервале 1 1 1 — —— 3 б 2 0 ( х ( 0,75 постоянна и равна О 75 — .
Среднее ко- 3 ' личество оставшегося в баке горючего будет равно Находим 1 1 Ох 2 ох Ва — сгг !) ] лгх! 1 ахг [)с] =] (а — х)гс(х= а' — а+ 3 ,' з ! ьа„=2ах — аз — аг.-' — ' и =]/Г, 12 ' Отсюда аз аа — — — -г— 3 2 !2 г. —— ат 1 ! 2аз — аа — аз + —— !22 узз аз аг, 1 Уравнение †††0 имеет только один корень 3 2 12 1 в интервале (О, 1): а= —,. Поэтому случайные величины Х, )с 2' 1 становятся некоррелированными только при а =- — , 2 ' 7,64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
