Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пересечение иглы с линией происходит, если выполняется условие Х( — соай, 2 т. е. если случайная точка Х, О попадает в область .О, заштрихованную на рис. 7.30в; отсюла Р = ') ) — г(х с(0 = 1— оп 1О1 173 где Яр — площадь области 77: н/а а/я г,= ~ —, В 13-1~ .323=1, 1' -й1ч 9 21 откуда р= —. Еп' 7.31. В условия предыдущей задачи внесено изменение, состоящее в том, что ограничение 7 ( Е снимается.
Найти математическое ожидание числа пересечений иглы с парал- лельными линиями, которыми разграфлена плоскость. Р е ш е н н е. Разделим иглу на и элементарных участков Л1= — < Е. л Рассмотрим случайную величину У вЂ чис пересечений иглы с линиями; она равна сумме л случайных величии: л у=~ч; уо где Уг — число пересечений с линиями для 1-го участка иглы.
так как Л1 ( е, то случайная величина Уг может иметь 261 2Л1 только два значения: 1 и 0 с вероятностями — и 1 — — . Еп Еп ' Математическое ожидание этой величины равно По теореме сложения математических ожиданий 1 2 1, 1, Н' 2Л1 2на1 21 7.32. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, фигурирующую в предшествующих задачах, бросается случайным образом любой контур (выпуклый или невыпуклый, ззмкнутый илн незамкнутый) длины 1.
Определить математическое ожилание числа пересечений этого контура с прямыми. Решение. Как и в предыдущей задаче, М ~У)= — „. Чтобы доказать это, нужно разделить контур на и элементарных, практически прямолинейных участков длины Л1; для 174 каждого из них математическое ожидание числа пересечений 2Ы 21 будет — а для всего контура — . 1л ' 7.п ' 7.33. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми на расстоянии Е, бросается случайным образом выпуклый замкнутый контур длины 1, наибольший размер которого а не превосходит 7. ! . (рис.
7.33). Найти вероятность того, что он пере- сечется с какой-либо из прямых. Р е ш е н и е. Обозначим р — искомую вероятность, г' — число точек пересечения контура с прямыми. Так как контур выпуклый и замкнутый, а его наибольший размер меньше Ь, то контур может иметь Рнс. 7.33. либо две точки пересечения с прямыми, либо ни одной.
Ряд распределения случайной величины имеет вид у, ) О ( 2 р,)1 — р р На основании задачи 7.32 М [ У) = 0 (1 — р) + 2р = 2р = откуда Р= 1.п 7.34. Плоскость разграфлена на прямоугольники со сторонами Е и М (рис. 7.34). На плоскость случайным образом бросается игла длины 7 (1 ( Е, 7 ( М). Найти вероятность того, что игла пересечется хотя бы с одной из линий. Р е ш е н и е. Рассмотрим прямые, ограничивающие прямоугольники, как две системы линий †горизонтальн и вертикальных. Рассмотрим события: А — нгла пересечется с одной из вертикальных прямых;  †иг пересечется с одной из горизонтальных прямых. 175 Так как положение иглы относительно вертикальных примых никак не влияет на ее положение относительно горизонтальных, события А и В независимы; поэтому искамая вероятность Р (А + В) =- Р (А) + Р (В) — )з (А) Р (В).
На основании задачи 7.30 Р(А)= —; Р(В)= —, 2! 21 н1.' лМ ' откуда Р (А+В) = — -~- — —— 21 21 4!а л!. ' лМ йт!.М 7.3б, Игла длины 1 случайным образом бросается иа плоскость, так что зсе значения угла 6 (рис. 7.35), составленного иглой с фиксированной осшо 7 †!", одинаково вероятны. )В ! ( ! Рис. 7.35. Рис. 7.34. Найти математическое ожидание длины Х проекции иглы на ось ! — !. Р е ш е н и е. Инеем Х= 1 сов 6. Угол 9 распределен равномерно; поскольку речь идет о длине проекции, можно зада~ь этот угол в интервале от О до— Р Е~(О, — 2~, у(е) = 0 при Е((0, — ) . 2 М(Х~= — „(1 Е бЕ= — „ 2 и 21 176 7.36. Прямоугольник с размерами 1 х1з случайным образом бросается на плоскость (рис.
7.36); все значения угла 9 равновероятны. Найти математическое ожидание длины Х его проекции на ось 1 — 1 Р е ш ение. Представим Х как сумму Х-Х,-)-Х~ где Х, — проекция отрезка 1, Х,— проекция отрезка 1, Искомое математическое ожидание равно т. е. равно периметру прямоугольника, леленному на и. / У Лл Х Рис.
7.37. Рис. 7.36. 7.37. Выпуклый замкнутый контур длины 1 бросается случайньш образом на плоскость, причем все его ориентации одинаково вероятны (рис. 7.37), Найти математическое ожидание длины Х его проекции на ось. Р е ш е н и е. Так как контур выпуклый, то каждый элемент проекции Лх получается проектированием двух и только двух противолежащих элементов контура: М, и Л1., (рис. 7.37); значит средняя длина проекции контура вдвое меньше, чем сумма средних длин проекций элементарных отрезков И, на которые можно разбить контур: М ГХ)=-2.— =— 1 2Л1 =2х',~ и и' 7.38. Имеешься случайная величина Х с плотностью распределении 7'(х).
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины У= (Х). 177 Решение. Запись У=)Х) означает, что — Х при Хч.О, К= Х при Х~О. т = М Я ) (х(У(х)ах= — ~ ху(х) ~Ух+ + ~ ху (х) ох = ) х (у'(х) — у'( — х)) Их. о о 0 =а,(У) — т„'= ) )х(еу'(х)е1х — т„' а,(Х) — т,',= х е (:-м.1" (х-м И о й 1 Г ее~ 1 Г еех ф 2п .1 ох 1' 2н., о х — щх Делая замену переменных '=1, получим о„ ех 1 1 е и т= — =~ (1о+т)е ' Ж+ у -,— ~ х х О а (мх;в 1 à — 2о„-, ( —,.) + — ~ (й~„+т ) е ' Ж=="е ~~х + Р 2п ° х У2т х! а, + „~1 — 2Е*~ — ™)1 1З =а,'+т',— т„'. В частности, при та=О т = "еу — а„ж0,80о„; -Г2 у ае' и х 1 17 = о' — о' == ~1 ' а'„ у х х ~ П ) х ~0,36 ах, 178 7.30.
Найти математическое ожидание и дисперсию модуля случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами !их, о,. Р е ш е н и е. Из предыдушей задачи 7.40е. Независимые случайные величины Х и )' имеют плотности распределения 7 (х) и у' (у). Найти математическое ожидание и дисперсию модуля их разности г =(Х вЂ” )']. Решение. Имеем / ( х — у ~,~т (х) „га (у) ох пу. Прямая у =-х делит плоскость хОУ Рвс. 7.4О. на лве области (7) и (П) (рис.
7.40). В области (7) х ) у, (х — у ) = х — у. В области (П) у) х, ( х — у ( =у — х. Отсюда т, =- ( ~ (х — у) у, (х) т; (у) Нх ~(у + (и + ~ ~ (У вЂ” х) 7; (х ) 7, (У) дх ИУ = ~ х7", (х) ( ~ 7; (У) г(У Их— (! и О О Ю Ю л — ( мтм((л ~ ) ~) е ~ 1 и ь~ ( 1 л ~ ) ~] е— — ] ху', (х) ~~у',(у) г(у] дх. — м к Введем в рассмотрение функции распределения а Р (х)= ] Л(х)дх' Р (у)= 1 уа(у)с!у Тогда гл, = ( хт;(х)Р,(х) Ас — ~ УД,(у)(! — Г,(у)]ду+ (- ] уу' (у) Г (у) г!у — ~ хУ' (х) ]1 — Г (х)] Ф».
!79 Объединяя первый интеграл с четвертым, а второй с третьим, получим Ф лт, = ) (2хл(х) Ра(х) — хут(х)) ((х+ О + ~ (2уЛ (у) Р' (у) — уЛ (у) ) ФЮ Ю =2 ) ху((х) Гв(х) ((х — л(„+2 ~ уев(у) Г((у) ф — л(, Так как Х, ?' независимы, то а, Я = М $ $ Х вЂ” Ц в~ = М ((Х вЂ” У')в~ .—. = М (Хв) + М Г У'1 — 2М (Х~ М Щ = авЯтав() ! — 2л(,.(в =В„+О„+(л(„— л( )'. Отсюда находим В,=а Я вЂ” ~,'. 7.41. Независимые случайные неличины Х и )' имеют плотности распределения у (х) н уа(у). Найти математическое ожидание н дисперсию минимальной из зтих двух величин Л ш1п (Х, 1'), т, е, случайной величины Е, определяемой следующим образом: Х, если Х( 1; Е= У, если Х) у.
Решение, Прямая у=-х делит плоскость хОу на две области (см. рис. 7,40): (!), где У=1; и (П), где Е=-Х (случай Х=Г не рассматриваем, как имеющий нулевую вероятность). л(, = М (х".) = ~~ хУ! (х) Ух(У) ((х((У+) ~УУт(х) Ув(У)((хаУ= ((!! ((! ю ( н -1 л(*(((л(у(е) -;(тл(у(((л(.(а ~ у= ') ху' (х)11 — Г,(х)]((х+ ) уув(у)1! — г" (у))(!у, 160 где 1-"ы г — Функции распределения случайных величин Хи 1'. а,[т] = ) хгГ" (х) [1 — гг(х)] ггх+ ~ Уг1" (У) [1 — Г' (У)]г(У; Ф Ю В, = аг Я вЂ” лгг.
7.42. Случайное напряжение У распределено по нормальному закону с параметрами ти и ои. Напряжение ст поступает на ограничитель, который оставляет его равным У, если У цо и делает равным цо, если У) цо: ( и при и~ц„ Е = нг! и ( у, ц,) = е цо при У ) цо. Найтя математическое ожидание и дисперсию случайной величины Е, Реги е ни е.
т, =-М [Е] =- ~ ппп (и, цо)у(ц) агц=- ~ цГ"(ц) г(ц+ Ф ио (и — игыг +~ цоУ(ц) йц= ~ — е " е(ц-Р г 2 и. М ! /и,— ио'~ г +ц Г"(ц)г(ц Гнфа~ о и и Е 1 ' ) ( о1 ио [1 — сй*("" " )] = "о жи где 1о=— о» игу (ц) г(ц+ $ игу (ц) г(н =- о ио ог1 г гг ог) с)гг (г ) 2оигпи+пи 1о е г о + г [1 фи (у )]. 2и — гг е] лгй= пи (1-1- го) Ф* (1о) + 1о — е 2п — (о сг'* (го) + —.
е 181 Заметим, что при ие глх, 1е =0 будет хп — ! В, =и„— 2н о, гн глх — — ,' )г 2н 7.43. Случайная величина Х распределена по нормальному закону: !х+гм ! ут(х)==а 2)У2н Независимая от нее случайная величина )' распределена равномерно в интервале (О, 2). Найти: а) М (Хну 1']; б) () [Х+ )х]; в) М [ХУ]; г) 0 «ХУ]; д) М [Х вЂ” )'з]; е) М [Х ]х Хзг'Я].
!к) Р [Х 1 Решение. и = — 1; т =1; 17 =4 Еу х у ' х ~ у 3 а ) М [Х -' 1'] = тх + т =- 0; б) ~ [Х+ у] =!ух+туг = 4З, ! в) М [Х)'] = тхту — — — 1; г) 0 [Х)'] .= а, [Х 1'] — е,'туг — — (су + т') (В„-~- т'„)— 2 —;-л„-"=Вхв,+ „И,+~Р„=5 —,; л) М [Х вЂ” "]=~х — па [У]=лгх — ~'у — лгу= — 2з! е) М [Х вЂ” )'+Ха)'з] =лгх — т + М [Хе] М [1'Я]= 2 = глх — ~у+ (Ох+ глх)(оу+ лгу) = 4 3 ) (З [Х вЂ” г'] = с) + Е) = 4 ! 1 0,5 — 0,2 1 0,4 1 !82 7.44. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами лгх= — 1; о = 3; случайная величина г' †равномер в интервале (О, 3); случайная величина х.
†равномер в интервале ( — 3, 0). Нормированная корреляционная матрица случайных величин Х, г', л имеет вид Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины У= 1 — 2Х+ 3 г' — Е. Р е ш е н и е. т„= 1 — 2т„+ Зт, — т, = 9. Оф = 47)з -(- 90у —,' Оз + 2 [( — 2) 3 о„оу гау + + ( — 2) ( — 1) о„а,гзз+ 3 ( — 1) о„о,г„] = =41,7 — 10,2]У Зж24,0.
7.45. Система случайных величин (Х, 1') распределена равномерно в прямоугольнике 14 (рис. 7,45). Определить: а) М [Х+ У]; б) М [Х вЂ” У]; в) М [Хг]; г) 0 [Х + 1']; д) 0 [Х вЂ” У]; е) М [(Х вЂ” У)з]; ж) М [2Х' -'; 3 уз †, '11. 1 4 1 Решение. т„=!, ту= —; В„= —; ))у = !2, К, =-О. а) М [Х+ У] =т, +т = 1 —; ! б) М [Х вЂ” У]=т„— т = —; 1 1 в) М [ХУ]=-т,гл = —; 1 Я г) 0[Х+У] И„+О г д) 0 [Х вЂ” У]=0 +О =- —; У 12' Рнс. 7.45. е) М [(х — У)з] = М [хз] + М [1 1 — 2М [х] М [г'1 = =0 +т',+О +т,"; — 2т„т = —; ж) М [2Хз+Зуз+1]= 2М [Хз]+ЗМ [У 1-(-1=6 так как М [Х'1 = — ] хзох=2. з ! г з а 7.46. При работе прибора возникают случайные неисправности; среднее число неисправностей, возникающих за единицу времени работы прибора, равно ).; число неисправностей за время т работы прибора †случайн величина, распределенная по закону Пуассона с параметром а = Хт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
