Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Известные преимущества методы Лагранжа имеют в тех случаях, когда на движение механизма наложены дополнительные связи. Этому вопросу посвящен следующий параграф. 6.2. Движение при наличии внешних связей. Уравнения Лагранжа первого рода б.2.1. Определение реакции связей при использовании уравнений кинетостатики Вернемся вначале к уравнениям кинетостатики, рассмотренным в главе 5. Уравнения движения в форме уравнений кинетостатики можно использовать и в том случае, когда на движение манипуляционного робота наложены геометрические, или дифференциальные (кинематические) связи. Иными словами, связи могут быть как голономными, так и неголономными .
В первом случае примером может служить сбороч- Связь называют нетолономноя, если она выражается дифференциальными и иеиитегрируемыми соотношениями. Соответственно уравнение движения (5.17) можно записать так: А(у)д = Я(у, ф)ф+ В„'6+ 3'Х, + р, (б.16) где .7' = (г'((Š— о)+Ы(р )) г'о), (б.17) Л(р') = Йай(2.(р', „) Х(р, ) ... ?.(р', ). Остается определить силу (а в общем случае, и момент) реакции наложенных связей. В ряде случаев эту силу можно найти приближенно в зависимости от условий решаемой задачи.
Так, при сборке можно считать„что сила реакции возникает при взаимодействии двух тел, обладающих конечной жесткостью. Предполагая, что деформация в направлении нормали к поверхности и в точке контакта составляет Ат, запишем проекцию силы реакции на эту нормаль: Г»„= Гян = Спхп. Если С„С, — коэффициенты упругости каждого из тел, то можно положить что С С~ + С7 236 ная операция, при которой происходит проскальзывание подвижной детали относительно неподвижной при возникающих силах реакции. Второй случай характеризует, например, операцию сборки на движущемся конвейере или обработку роботом поверхности с помощью фрезерного или шлифовального инструмента. В соответствии с основным принципом кинетостатики наложенную связь заменяют силой реакции Г„и моментом реакции М, которые добавляют к уравнениям кинетостатики.
Так, в случае сборки сила реакции Г„возникает в контактной точке С„. Если обозначить через р,", „радиус-вектор этой точки относительно начала (1 — 1)-й системы координат (заданный в неподвижной системе координат) и считать, что внешние силы, действующие на остальные звенья манипулятора, являются силами тяжести, то уравнения кинетостатики (5.47), (5.48) примут следующий вид (а, = 1): Полная сила реакции включает также силу трения, действующую в направлении касательной к поверхности т.
Таким образом, Г =СЛхп+(э|дня)/с СЛхт, (6.18) где 7е — коэффициент трения; Р— относительная скорость в точке контакта. Совместно решая уравнения, оп- Яф' ределяющие положение в пространстве ф' :обираемых деталей, вычислим величину Лх. В случае сборки, например вала А и / втулки Б (рис. 6.1), достаточно решить совместно уравнения окружности (отверстие втулки Б в плоскости Я, ортогональной ее оси) и эллипса (сечение ци- Рис.
ЬЛ. К определению силы реакции линдрической поверхности вала той же плоскостью 5). При наличии точек пересечения нетрудно определить величину Ьх, которая, в свою очередь, позволяет вычислить величину силы реакции в соответствии с формулами, приведенными выше. В случае механической обработки гюверхности также можно найти силу реакции, которая определяется режимом обработки, заданным в свою очередь из условий технологического процесса, При этом сила реакции состоит из силы прижима инструмента в направлении нормали к обрабатываемой поверхности Г„и силы резания Г„зависящей от скорости движения и ряда технологических параметров.
Если справедлива приближенная формула Г, = (я1йп р)ЦЛ))Ги1т, (6.19) где lс(л.) — коэффициент, зависящий от технологических параметров Х, а т — вектор касательной к поверхности, то сила реакции будет определяться скоростью Р и силой прижима 1Г„~. В соответствии с уравнением (5.21) получим Га = Г'и = (У;,) ()г+ В,',(д)61) и. (6.20) Здесь 1а — вектор сил и моментов, развиваемых приводами манипулятора, а второе слагаемое соответствует действию сил тяжести.
237 Подставляя найденные значения сил реакции в уравнение кинетостатики (5.52), имеем возможность исследовать динамику манипуляционной системы при наличии связей для каждого из рассматриваемых частных случаев. 6.2.2. Уравнение Лагранжа при наличии связей Общий подход к составлению уравнений движения манипулятора при наличии сил реакции связей можно сформулировать, дополнительно предположив, что эти связи идеальны. Пусть, например, объект, удерживаемый в схвате робота, перемещается по поверхности, описываемой уравнениями связи У„(х, У) = О; з' =1, 2, 3; х = (х„х„х,)'.
(6.21) Поскольку связи предполагаются идеальными, то, согласно принципу виртуальных перемещений, работа снл реакции равна нулю: Е„'бх=О. (622) Определяя силы Г в соответствии с уравнением динамики (6.16) в предположении о невырожденности матрицы .У„, получаем ((У,,') ~Я(юу)ф — Я(у, юу)н — В;,С вЂ” рУ1 Ьх = О. (6.23) Такое уравнение, объединяющее принцип виртуальных перемещений и принцип Даламбера, называют уравнением Даламбера — Лзгралжа. Учитывая, что перепишем его в виде (-Ц(АУ-Ы~, а~-В;а-р~'бу=О. (6.24) Приращения бх, связаны уравнениями бУ; ,'~ — 'бх, =О, ч=1, 2, 3, ,, Ьху которые запишем в виде .У (х, У)бх = О, (6.25) где .У,(х,!) — якобиева матрица, соответствующая уравнениям свя- зи (6.21). Переходя к обобщенным координатам и обозначая х = У;„(у), 238 УУ (Л (Ч) У) = УУ (Ч ?) вместо уравнения (6.25) получаем .У;(Ч, г)У,(Ч)бЧ = О.
(6.26) Умножая выражение, стоящее в левой части этого равенства, на вектор неопределенных лагранжевык множителей Л =(Л, Л, Л,) и прибавляя полученное выражение к левой части равенства (6.24), получим, принимая во внимание, что приращение оЧ произвольно .ЙЧ)Ч вЂ” Я(Ч, Ч)Ч вЂ” В;,6 — р — У „(Ч, г)Л' = О, (6.27) где У„(Ч. У) = У;(Ч, У)У,.(Ч)- Уравнение (6.27) совместно с уравнением связей т.(ЧЯ, У) = У'(Ч, г) =О (6.2К) образует систему из (У+3)-х уравнений, позволяющую определить как неизвестные Ч„? =-1, 2, ..., Ф, так и неопределенные множители Л! Л2 ЛЗ' Сравнивая уравнения (6.27) и (6.16) видим, что силы реакции теперь можно вычислить по формуле Рк Уу (Ч У)Л (6.29) Полученные уравнения (6.27), (6.28) образуют систему урпвнелий деижения Лагранжа первого рода.
Ее непосредственное интегрирование является достаточно сложной задачей, которую можно упростить путем лннеаризации уравнений связи. Б зтом случае имеем У(х, У)= У(х*, У)+.У (х*, ?)х+ ' =-О, д?'(х*, г) д? или .У„,(Ч, г)Ч+ — — ' — = О. ф'(Ч', ?) (6.30) дг Дифференцируя выражение (6.30) по времени, получаем три уравнения вида д'У'(Ч', Р). .Ууя(Ч', ?)Ч'+?у~(Ч"„?)Ч+, ' =О, д?' которые вместе с уравнениями (6.27) (6.31) 239 позволяют на каждом шаге по известным значениям д, о*, в определить Ю+ 3 неизвестных я' и 3.. Далее путем двукратного интегрирования о определяются последуюгцие значения д', л, а также силы реакции по формуле (6.29).
Очевидным недостатком такого подхода является возможное накопление ошибок из-за неточности интегрирования, приводящих к тому, что уравнение связи (6.30) нарушается. Это требует использования дополнительных корректирующих алгоритмов. 6.2.3. Применение уравнений Лагранжа для анализа движения манинуляционных механизмов с замкнутыми контурами Метод Лагранжа обычно применяют в тех случаях, когда механизм манипулятора содержит замкнутые контуры, вследствие чего число звеньев оказывается больше, чем число степеней подвижности механизма (рис.
6.2, а). Для применения метода Лагранжа это не является препятствием, поскольку выражения кинетической и потенциальной энергии можно записать относительно координат звеньев, заданных в абсолютной системе координат, что позволяет, как и выше, добавить к уравнениям Лагранжа второго рода уравнения связей между звеньями механизма. Проблема, однако, заключается в том, что рассмотренные выше способы решения уравнения Лагранжа второго рода, содержащие рекуррентные процедуры вычисления угловых и линейных скоростей на каждом шаге вычислений, справедливы, вообще пэворя, только для разомкнутых кинематических цепей. Эту трудность можно преодолеть путем рассмотрения условной кинематической цепи, которая образуется путем разрыва всех замкнутых контуров (рис.
6.2, б). При этом число разрываемых соединений должно быть минимальным. Теперь можно составить выражение кинетической энергии системы точно также, как и прежде. Однако вектор обобщенных координат р будет другим и его размерность будет больше, чем размерность вектора обобщенных координат реальной системы о. Эти векторы связаны уравнениями ЛР,Ю вЂ” о, (6.32) определяющими разорванные нами связи контуров кинематической цепи. 240 Рис. 6.2. Пример механизма, содержащего замкнутые контуры (а); условная разомкнутая кинематииеская цепь (о) х=гр(Р). Кинетическая энергия механизма в этом случае равна К = — х'М„х =-.
р'.1'(Р)М„.( (р)Р, 1, . 1., 2 " 2 (6.34) где якобиева матрица преобразования (6.33). Используя уравнение (6.32), получаем Р = 1, (Р Ч)т' (Р. Ч)Ч =.1)Ч ° (6.35) 16 — ! 48В К этим уравнениям следует добавить уравнения связи в частично разомкнутой цепи, определякнцие координаты звеньев х через новые обобщенные координаты Р: ~ау ~ (ах1 где У, У вЂ” матрицы частных производных — ' и ---'-; .У- = ч =-У,'У„ Воспользуемся еще одним допущением: число уравнений связи (6.32) должно быть равно числу новых обобщенных координат р и матрица ~;„которая в этом случае будет квадратной, невырожденная. Тогда выражение для кинетической энергии К, как и раньше, можно записать в виде квадратичной формы от производных обобщенных координат д: 1 К = — д,.;Ьу, 2 (6.36) в котором Отсюда Д„= (.Уу ) (Я Ы; + р). (6.40) Подставляя полученное выражение в уравнение Лагранжа (6.1), получаем уравнение вида (6.15): д() 1 а-У(1У)Ч :У(а)1г'+ 242 Л =.У'-,У'М„,У .УУ.
(6.37) Рассмотренный способ позволяет использовать для расчета скоростей звеньев х те же формулы, которые применялись для разомкнугых цепей, поэтому конструкция матриц .У„будет такой же. Используя прежние обозначения, можно записать .У,(р) =(В,.(р) В.(р)). (6.38) Обобщенные координаты р можно выразить через обобщенные координаты 1г, приближенно решая уравнения связи (6.32): Р = И11) У,(р) = У„(Ч(У)) = У,(Ч) . Уравнение (6.7), определяющее элементарную работу обобщенных сил относительно новых обобщенных координат, примет следующий вид: Ьр'Д = 81('.У'(? = Ьу'Д„= Ьи'(Я'У; + р) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
