Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 3
Текст из файла (страница 3)
для манипулягора, имеющего разомкнутую кинематиче:кусо цепь (рис. 5.6). Р е ш е н и е . В данном случае х =- — 1, соа д, + 1, соя(с1, + с1з ), у=1, 51пд, +1, яп(д, +г1,). Соотношения для скорости конечной гочки кинематической цепи принимают вид Рис.
5.6. Оисзема двуязвеннопа манипулятора «=-1,.1пд, -1,(., +д,)51п(1, + 1,), У=1Я, соБс1, — 1,ф + с1з)соз(з1, +Ц,). Соответственно, якобнева матрица принимает вид 207 7, Япд, — Р Яп(е7, + о',) — ~т з1п(ч, + Ч,) 7,,(Ч) = У, сов д1 + У сов(ч, + Чт ) ~т созй~ + Чг ) Вычисляя, как и выше матрицу Л, получаем для суммы ее элементов, лежащих на главной диагонали, следующее выражение: Х = — тгасе А = — — '+ — '+ — ' — — '' соя ц,. (5.35) Этот показатель, в отличие от полученного в предыдущем примере, зависит от конфигурации манипулятора. При увеличении д, показатель Х также увеличивается, а эффективность, соответственно„падает. В этом смысле механизм с параллелограммной схемой оказывается эффективнее во всей рабочей зоне, чем с разомкнутой.
Рис. ЗЛ. Манипуляторе перекрестной книематической саязыо Из двух рассмотренных примеров ясно, что, выбирая ту или иную кинематическую схему манипулятора, можно существенно влиять на развиваемые рабочие силы и характер их распределения в рабочем пространстве. Интересный пример представляет собой схема манипулятора с перея77естной кинематической связью, также рассмотренная в [бб1 (рис. 5.7). Ее особенность состоит в том, что концевая точка манипулятора при любом положении может перемещаться только по прямой линии.
Благодаря этому вся энергия системы расходуется на развитие силы в одном направлении. При использовании тех же силовых элементов, что и в случае манипулятора с параллелограммной схемой (см. рис. 5.4), и при тех же размерах базовых элементов кинематической цепи сила оказывается в среднем больше в 1„б раза.
Эллипсоиды рабочих сил вырождаются в отрезки прямых, причем равномерное распределение допустимых значений снл сохрагиется (см. рис. 5.7). Трудность программирования такой системы очевидна, так как направления возможных снл различны в разных точках рабочего пространства. 5.3. Уравнения движения манипулятора в форме Даламбера Для составления уравнений движения маннпуляционного механизма, рассмотрим уравнения кинетостатики как наиболее общей и универсальной формы уравнений движения. Этот способ наиболее просто позволяет получить их в аналитической форме; вместе с тем он весьма удобен и в вычислительном отношении, так как предоставляет возможность решать первую и вторую задачи динамики с использованием рекурсивных процедур (см.
9' 3.1). 5.3.1. Силы и моменты инерции В основе процедуры составления уравнений кинетостатнкн лежит пригщггп Даламбера, Он состоит в том, что в кахочый момент времени действующие на движущееся тело внешние силы и реакции связей можно уравновесить силами инерции. Поскольку условия равновесия действующих на манипулятор внешних сил уже были рассмотрены в 9 5.1 и 5.2, нам остается определить силы и моменты инерции движу- шихся звеньев манипулятора и подставить их в полученные условия равновесия.
При этом условие равновесия с учетом сил инерции приобретет смысл уравнений Ньютона, описывающих поступательное движение твердого тела. Уравнения же моментов совпадут с уравнениями Эйлера„ описывающими вращательное движение тела, имеющего неподвижную точку. 209 и — г488 Главный вектор сил инерции, приложенный в центре масс 1-го звена Е„(в неподвижной системе координат ОХИ), можно найти по формуле (5Зб) гле т, — масса звена, и~, — абсолютное ускорение центра масс, определяемое формулой (3.38). Используя рекурсивную процедуру (см. 11 3.3), ускорения звеньев и, можно последовательно найти при 1= 1, 2,..., У, одновременно с вычислением нх линейных и угловых скоростей к,, в, При этом можно воспользоваться рекуррентными соотношениями (3.20), определяющими ускорение в системе координат, связанной со звеном ю,, применяя формулу (5.37) Для вывода уравнений кинетостатики, однако, более целесообразно использовать формулу, определяющую вектор в' = (и~, ...
и'„)' в аналитическом виде (см.(3.38)). Применяя матричные обозначения и учитывая эту формулу, можно записать следующее выражение, позволяющее вычислить вектор Г, =(Г„Г,„... Е„,)' через обобщенные координа.гы манипулятора и нх производные: Г, = — тн = — т(В,, (ц)я+ В,,(в, ф)ф); (5.38) матрицы В,, (11), В„(д, в') определены в п. 3.1.3. Для того чтобы определить главный момент сил инерции„введем еще одну систему координат С,.Х,'К'7,', связанную с 1-м звеном и имеющую начало в его центре масс. Выберем ее таким образом, чтобы соответствующие оси были параллельны осям системы координат О,Х, 1;У,, также связанной с 1-м звеном.
Во многих случаях оси системы координат С,Х,'У,'У; удается выбрать таким образом„чтобы они совпадали с главными осями инерции 1-го звена, что облегчает последующий расчет. Однако если оси системы С,Х,'У,'У,' не совпадают с главными осями инерции тела, можно выбрать и другую систему, оси которой совпадают с главными осями инерции, добавив соответствующую матрицу поворота в последующие уравнения. 210 Введем теперь кинетический момент г-го звена С,' в системе координат С,Х,'У,.'У,.'.
Напомним, что кинетический момент — это вектор, который определяет главный момент количества движения точек тела тр, относительно некоторого центра. В частности, при вращении тела относительна некоторой оси Е его кинетический момент С, =1,гв, где 1, — — момент инерции тела относительно этой же оси; щ — угловая скорость вращения. В общем случае при вращении ~-го звена относительно начала системы координат С,Х,'1 7,', т.е. его центра масс, кинетический момент определяют по формуле гле, 1,' — матрица, называемая тевэорол~ инерции н состоящая нз моментов инерции тела в системе координат С,Х,'.К,.'У,', а Й,— угловая скорость звена в связанной с ним системе координат: Напомним, что моменты инерции, стоящие на главной диагонали этой матрицы, определяют моменты инерции относительно соответствующих осей ~осевые моменты инерции), например: 1,,„= Щр(х', у', з')~у' + х")0х'дуИ', где р — плотность тела, Г, — его объем.
Остальные элементы матрицы называют также центробежными моментами (произведениями инерции). Если среди осей системы координат С,Х,'Г.'У,' имеются главные оси инерции ~'-го звена, то матрица 1,' упрощается. Так, если ось С,Х,'. является главной, то 1, „, =1, = О, при этом, как известно, ось С,Х,' должна быть осью симметрии тела. Если С,.Х,'г",.'У,' — главные центральные ~проходящие через центр масс) осн инерции, то матрица 1,' диагональная, т.е.
с" =с(сай(Ххх Хгг Хгг')со . (5.40) Обозначая, как и ранее, й,. матрицу перехода от системы координат О,Х,УУ, (следовательно, и от С,Х,.'У,'У,') к неподвижной системе координат, запишем выражение кинетического момента в неподвижной системе координат: 6, =й,сх,'. (5.41) Главный момент сил инерции М„твердого тела определяется как производная по времени кинетического момента сх, с противоположным знаком: М„=- — 6,.
сХ (5.42) сХс Подставляя (5.41) в (5.42) и принимая во внимание формулы, полученные в и, 3.1.3, имеем М„. = — й,б," — й,.б~,.' = -й,ЦЙ,)1,'Й, — й,1,' а, = = — Цсо, )й, 1,.'й;.со, — й, Х,.'й," а,. =- — 2(со,.) Х,со, — Х,а„(5.43) М, = — йЛ(Й)1' Й вЂ” й1' Й = — Л(со)1со — Хв, (5.44) где 1'=с11ая(1,' 1,' ... Х' ), Х=с((ая(1, 1, ... 1„). Первое из этих равенств более удобно при организации рекуррентных вычислений моментов инерции методом прямой рекурсии (см. ~ 3.3). Второе используют для записи этих моментов в аналитической форме. С учетом выражений, полученных в п.
3.1.3 для векторов угловой скорости со и углового ускорения а в неподвижной системе координат (3.23), (3.37), позволяющих выразить эти величины через производные обобщенных координат манипулятора, запишем М, = — Л(В„(д)д)ХВ (д)д — 1В„(д)д' — 1В„(д, д)д. (5.45) 212 где 1, = й,1,'й;, в, = со„1=1, 2, ..., У.
Таким образом, мы получили выражение для главного момента инерции 1-го звена в виде функции его угловой скорости со, и углового ускорения в, (в неподвижной системе координат). Совокупность равенств (5.43) для всех звеньев манипулятора можно записать в матричной форме, используя ранее введенные блочные матрицы: Компоненты векторов Е„М,, могут быть вычислены с помощью процедуры рекурсии, описанной в и. 3.3.1, одновременно с компонентами векторов оз, к, и и е. 5.3.2. Уравнения движения Обратимся теперь к процедуре составления уравнений кинетостатики манипулятора.
Вначале заметим, что в случае движения свободного твердого тела движение его центра масс определяется уравнением Ньютона Г,= — ти =Р;, где Г, — — главный вектор внешних сил, действующих на тело. Дзижение же тела вокруг центра масс описывается теоремой об изменении кинетического момента: а'С М,= — — =М,, е11 где М, — главный момент внешних сил относительно центра масс тела, принятого за точку вращения. Подставляя в это уравнение выражение М,, полученное выше в форме (5.44), получаем три уравнения Эйлера, описывающие вращения тела относительно центра масс.
В случае маннпуляционного механизма на движение образующих его тел наложены связи, характеризующие допустимые взаимные положения звеньев. Эти связи можно интерпретировать как дополнительные условия, налагаемые на решения рассматриваемых дифференциальных уравнений. Такой подход будет описан в следующих главах. При составлении же уравнений кинетоетатики используют рекурсивный подход, аналогичный рассмотренному выше при составлении уравнений статики манипулятора (см. ч 5.1) Для фрагмента кинематической цепи, образованной звеньями от 1-го до Ф-го, к уравнениям сил и моментов теперь надо добавить силы и моменты инерции каждого из звеньев. В соответствии с (5.9) получим следукпцие уравнения: для поступательной 1-й кинематической пары 2,', ,"~ (Е„+Ггз)+1л, =О; (5.4б) з у 213 для вращательной пары я,', 7 (М„+М,, +Цр, „)(Г„+Р;,))+1з, ==О. (5.47) Здесь Е, и ̄— главные векторы сил инерции и моментов инерции 1'-го звена в неподвижной системе координат, определяемые формулами (5.37).
(5.43). Напомним также, что Е„, М„, — это главные векторы внешних сил и моментов, действующих на звено; р, — момент или сила, развиваемые двигателем соответствующей степени подвижности в проекции на направление О,,У , а р, „ — радиус- вектор центра масс7'-го звена относительно начала системы координат О,,Х,,К,У,, Вид уравнений, таким образом, зависит от типа 1-й кинема.гической пары. поэтому уравнения (5.46) и (5.47) следует, как и раныле, представить в виде одного уравнения с использованием индексов о,.
Получим +Р, =О 214 Уравнения (5.48) решают последовательно в направлении от схвага к основанию манипулятора при 1 = Ж, Ж вЂ” 1„..., 1 (обратная рекурсия). При этом могут быль решены как первая (обратная), так и вторая задачндинамики. При решении первой задачи динамики предполагаются известными функции д,(ю), ге[О, Т1, описывающие программу движения манипулятора. Требуется найти управляющие силы и моменты 1з,. Для этого вначале методом прямой рекурсии определяют на каждом шаге величины оз„оз, ю„~, по формулам, приведенным в п. 3.3.1. Далее вычисляют на 1-м шаге 7,. = й,1,'й;, .Го и М„по формулам (5.37) и (5.43). Теперь методом обратной рекурсии при 1= % — 1„Ж вЂ” 2, ..., 1 определим р, в соответствии с формулами (5.46), (5.47), которые можно записать в виде рекуррентных соотношений (см. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
