Зенкевич_Упр.манип_02 (962914)
Текст из файла
В этой главе представлены решения задач о скорости и описаны соотношения между скоростями изменения обобщенных координат ~обобщенными скоростями сочленений) и скоростью схвата ~либо дру- ГОГО произВольнОго зВена). При этом скорость схвата определяется шестеркой чисел, из которых первая тройка представляет собой компоненты вектора угловой скорости, а Вторая — компоненты вектора линейной скорости. И отличие от положения ~его также задают шестеркой чисел) скорость схвата представляет собой вектор.
Кроме того, в данной главе рассмотрены малые перемещения схвата, так называемые дифференциальные перемещения. Задачи о скорости широко применяют при разработке методов управления манипуляторами В полуавтоматических режимах, когда сигналы, поступающие с рукоятки, интерпретируются как некоторые компоненты командного Вектора Обобщенной скорости схвата. 3.1. Соотношении для скоростей и ускорений В предыдущих главах были рассмотрены задачи о положении и ОриентаЦИИ звеньев манипулятора либо в декартовом пространстве, либо в пространстве обобщенных координат.
Ясно, что для управления манипулятором необходимо научиться находить скорости и ускорения звеньев, иначе кинематическая модель манипулятора будет неполной. В этой главе мы займемся решением задачи, связанной с получением соотношений между скоростями и ускорениями звеньев манипулятора. НО прежде мы напомним некоторые соотношения из теоретической 103 3.1Л. Скорости и ускорения в относительном движении Пусть имеется две системы координат, одна из которых О,Х,К,К, неподвижна, а движение Второй системы ОХИ относительно первой задано Векторами м (линейная скорость) и со ~угловая скорость). предгголожим, что положение некоторой точки Р задается Вектора~и ~„и ~ в системах координат О,Х,У,К, и ОХИ соответственно ~рис.
3.1). Рис. ЗЛ. Неполвижнм и подвижная системы координат Обозначим Я р ООО ~ матрицу перехода от подвижной системы координат к неподвижной. Тогда в терминах однородных Векторов и преобразований имеет место соотношение где р, и о — однородные Векторы, соответствующие Векторам ~, и г, Согласно известной теореме механики об относительном движении, соотношения для скоростей В пОдВижнОЙ и неподвижной системах координат будут иметь Вид 104 3. 1. Соотношения для скоростей и ускорений ИГ, где — ' — скорость точки Р в неподвижной системе координат й И'~ О Х У У; — — скорость точки Р в подвижной системе координат ООООз ОХТУ.
Заметим, что сумма векторов д Ф' Й' ИхГ+ — =— Й Й определяет скорость точки Р в подвижной системе координат. Для ускорений точки Р в подвижной и неподвижной системах координат запишем следующее соотношение (в механике его называют теоремой Кориолиса): И Ф'о д Го И Р' Й~ ,О = —,О+2их — +озх(гехи)+ — хг+ —, (3,4) й' Й' Й Й Й д *3"О где —,' — ускорение точки Р в неподвижной системе координат; Й' й~ Р',~ — — ускорение точки Р в подвижной системе координат; Й' И Р' 2а х — — кориолисово ускорение; со х (е х г) — центростремительй йо ное ускорение; — х ~ — тангенциальное ускорение. Й Таким образом, соотношения (3,3) и ~3.4) позволяют найти скорость и ускорение точки, находящейся в сложном движении.
ЗЛ.2. Определение скоростей и ускорений звеньев манипулятора методом прямой рекурсии Для нахождения скоростей и ускорений звеньев манипулятора применим полученные выше соотношения. Напомним, что системы координат звеньев были построены (см. ~ 1.4) таким образом, что с каждым ~-м звеном связывалась система координат, начало которой располагалось в (1+1)-и сочленении (рис. 3.2). При этом кинематические параметры звена манипулятора задавались соответствующими параметрами связанной с ним системы координат.
105 Рис. 3.2. Системы координат У-звенного манипулятора Для двух соседних звеньев « ~ — 1)-го и жо «рис, 3,3) интерпретируем систему координат следующим образом: О,Х, У,˄— базовая система координат; О,, ~,, У,,~,, — подвижная система координат; О,Х,У„Л,. — система координат, связанная с точкой Р «см, рис. 3.1). Рис. 3.3. Системы координат двух соседних звеньев Пусть ~, и ж, — линейная и угловая скорости подвижной системы координат, р,, = р, — р,, — вектор, характеризующий расположение начала ~'-й системы координат относительно ~~ — 1)-й.
Тогда в соответствии с соотношениями «3.3) можно записать Р'-~,х «3.5) для угловых скоростей Я,'ю, 1+ Л,.'$0Ч, — для вращательного сочленения, Й,. = Р,;й1, — для поступательного сочленения; для угловых ускорений (3.21) Р;®,-, + Я,- ~Д, + Р,.'~, 1 3~ 3,я,, — для вращательного сочленения, — для поступательного сочленения. В выражениях «3,19), (3.20) р, — вектор положения системы О,,Х,У.,У,1 в проекциях на оси системы координат О,Х,У,У,.; ~, =(О, О, 1)'. 3.1.3.
Запись основных кинемэтических соотношений с помощью блочных матриц ° * Ь„,а, и х 1-блочный вектор, фактический размер которого тп х 1. Для анализа кинематики и динамики манипуляционных механизмов полученные ранее выражения для линейных и угловых скоростей и ускорений з~е~~е~ манипулятора целесообразно записывать через производные его обобщенных координат, Это может быть достигнуто с использованием аппарата блочных матриц 133, 35]. Блочными называют такие матрицы (векторы), компонентами которых также являются матрицы (векторы), Для блочных матриц и векторов сохраняются правила выполнения операций над обычными матрицами и векторами. Так, для пхп-блочной матрицы В = ~Ь„~, ~, ~'=1, ..., л (Ь, — и х и-матрицы), и блочного вектора а = = 1а„..., а„1' 1а, — т х 1-векторы) справедливо равенство Ва =с, Пусть р = ~х', у', ~', 1) — вектор однородных координат точки твердого тела в связанной системе координат О'ХУ2' и Т вЂ” матрица перехода к неподвижной системе ОХУ2.
Гогда нетрудно увидеть» что имеют место следующие соотношения: к =Х~з» Р =Т~з» к =Т~» (3.41) Сг Са~~~ Са С» О 0 О О 1 ~ = Т„,.о» 7, — А,А, ею+Ад. где г и о — однородные векторы точки в системах координат О,Х,Г,У, и О,Х,У„Л„соответственно. Обозначим через ф,. скорости изменения обобщенных координат сочленений. 3огда, согласно ~3.43), имеем Р 7~ ~Я)~ Д2» + ° «» Д~ )~3 Где т„=,'à — 'д,. =~А,А, ...А,, — А„, ...А,д,. (з.45) ~у й дА,. Ч, ~=~ Чс Непосредственной проверкой нетрудно убедиться В справедливости следующего правила дифференцирования матриц А,: где ~ =(х„у, г, 1)', г = ~х, у, 2, О)', г'= ~х, у, Б,О)' — однородные векторы положения, скорости и ускорения точки твердого тела в неподвижной системе координат, а Т, Т вЂ” матрицы, элементами которых являются первые и вторые производные соответствующих элементов матрицы Т.
Пусть теперь мы имеем М-звенный манипулятор, кинематика которого задана однородными матрицами А, » А„..., А~ » построенными по схеме Денавита — Хартенберга ~см, ~ 1.4), т.е. Π— 1 О О 1 О О О О О О О 0 0 О 0 0 О О О О 0 О О О О 0 1 — для призматического сочленения, «3.47) О О 0 О А,А, ...А,,В,А,-А,.„...А„, г < Ф, О, ~>А, т = ~У„,.ф,. р. «3.50 ~=! Аналогично можно получить соотношение для ускорения А-го звена: У; =~У„.ф,. + ~ ~И„„у,у,, «3,51 ~'=1 у=1 А А, ...А,,О,А А„, ...А,,О,А,А,,) ...А„, ~ < у <й„ А,А, ...А,-,О,.А,.А„, ...А,,О,А,А,.„...А„, О, О, Ускорение ~ любой точки Ьго звена, заданной однородным вектором о, легко найти, если воспользоваться соотношением «3.23): ~ =Т„~), «3.53) Скорость г любой точки Ьго звена, заданной в системе координат звена однородным вектором о, определяем слелуюшим образом: Где ~~=Т ОА ~~ — ~.~к-»ок А~~ + Т вЂ” О~ Аий~ .
~3.56) Заметим, что уравнения (3.54) — ~3.56) эквивалентны уравнениям (3,12) — (3,15). Покажем это для линейных ю, и угловых в„скоростей в случае вращательного соединения, Пусть (3.57) ООО 1 ООО 1 В силу системы уравнений ~3.46) имеем А~ =~,А~Ч~ ~3.58) Π— 1 О 0 ~оо» О О О О О 1 О О О О О О О О О О 0 и кососимметрическая матрица Йоо, задает вращение вокруг оси с ортом ~„" = ~0, О, 1)'.
Используя соотношение (3.54) с учетом (3.57) и (3.58), находим Р„= Я„,О„+ Р„,О„, (3,59) 120 где Т„определяется соотношениями ~3,51), ~3.52). Таким образом, скорос~~ и ускорения звеньев, выраженные через скорости обобщенных координат, задаются соотношениями ~3.48)-(3.53). Эти соотношения не являются рекуррентными, однако их нетрудно получить, если воспользоваться соотношением, связывающим положение Ж-го и (1 -1)-го звена: Т„ = Т, » А,, А = 1, 2, ..., Ф, Т Действительно, при дифференцировании этих соотношений по времени можно получить следующие рекуррентные уравнения для скоростей и ускорений: Р =Р - +~~-1 к+ ~ -1~ ~3.60) Рассмотрим сначала соотношение (3.59). В соответствии с известным соотношением Р = Й„Я имеем Матрица А, невырожденная, следовательно, Таким Образом, ~~ — о~~-) + ~й-А~ что совпадает с выражением (3.14) для вращательного сочленения.
Аналогично получим рекуррентную формулу для линейных скоростей. Имеем м й ™ + й К и Г к + К И 0 0 1 К К Г и =~~ ~+~~ Р~ [ю+~ ~ Р~ [Л=~~ ~+Ф +~ ВРк1~ =У, +а, р,, й =У„, +©ОА х И„,„, что совпадает с формулой (3.12) для вращательного сочленения. 3.2.
Дифференциальные преобразования В предыдущем параграфе были получены выражения для скоростей и ускорений звеньев, обусловленных скоростями и ускорениями в подвижных сочленениях. Здесь рассмотрим важную задачу„аналогичную Описанной ранее, а именно: как сказываются малые приращения одних кинематических параметров манипулятора на другие. Этот анализ используют при изучении динамики многозвенных механизмов, а также при построении алгоритмов управления. 3.2Л.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
