Зенкевич_Упр.манип_02 (962914), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вращение твердого тела Подход, используемый в данной книге для описания дифференциальных преобразований, отличается от представленного в работах [60; 631. Как показано в этих работах, дифференциальные вращения осуществляются вокруг оси, проходящей через начало абсолютной системы координат, что, естественно, приводит к перемещению начала связанной системы координат. Это перемещение необходимо далее специальным образом учитывать при Вычислении полной линейной скорости схвата, что является весьма неудобным. Приведенные здесь результаты лишены указанного недостатка.
Пусть г — вектор, вращающийся в абсолютной системе координат с угловой скоростью Оз = ~и, Оу, О ) . Тогда имеет место соотноше- (3.61) где Ʉ— кососимметрическая матрица: Заметим, что д.ИЙ„= О. Предположим, что твердое тело вращается с угловой скоростью а вокруг оси, проходящей через начало неподвижной системы координат О„Х,У,Л,. С~язем с тело~ с~с~е~у координат 0,Х,У,У,, положение которой относительно О,Х,Г,У, задано матрицей А, а начало О, совпадает с ~1,. Пусть ~' и ~' — векторы, задающие положение произвольной точки тела в связанной и абсолютной системах координат соответственно: ~ =Як'. ~3.64) Дифференцируя ~3.64) с учетом (3.61), ~3,62), получаем г = Яг' = и х г = оз х ~Яг') = Й„Рг'. ~3.65) Поскольку г' — произвольный вектор, то в соответствии с ~3.65) имеем Р =Й„Я.
~3.66) Допустим, что вектор со задан в некоторой системе координат 0„Х УУ' (начала у всех систем координат совпадают) с матрицей перехода Ы Ы =Ы0'. ~3.67) Найдем матрицу Й„, Для этого воспользуемся следующим утверждением. Если А — матрица ортогонального преобразования, то имеем 122 Ьф = «Ьх, Ьу, Ье) (3.78) вектор дифференциального вращения, компоненты которого бесконечно малые углы поворота вокруг осей координат; Й' = «~й, ф~, 4Й) «3.79) вектор дифференциального переноса, компоненты которого бесконечно малые перемещения «с сохранением ориентации) вдоль осей координат. Далее будут рассмотрены проекции этих векторов на Оси разных систем координат, Свяжем, как и прежде, систему координат с твердым телом, положение КОторОго задано мзтрицей Р р у" = ООО 1 Пусть твердое тело совершает дифференциальное перемещение, т.е. дифференциальный перенос = «4Й», ф'~, ~Ь~ ) и затем дифференциальное вращение Ь~, =«бх, оу,,, Ьг,,)' вокруг оси, проходящей через начало связанной с телом системы координат «рис.
3.5) «векторы Й., и Ьф, заданы проекциями на Оси связанной системы КООрдинйт), Тогда новое значение матрицы Т принимает вид Т'«йг,., Ь~, ) = ТХ«дг, ) В.О1«Ь~, ) = Тй КО1, «3.8О) Рис. 3.5, Дифференциальное перемещение В соответствии с выражением (1.31) матрица Ц~~;,.) = А, равна Е Иг~ ООО 1 Найдем матрицу Ко1,, Воспользуемся выражениями ~1.9)-(1.11) для нахождения матриц, опись2ва~оших элементарные в~й~цения, Учиты вая, что компоненты вектора ~3,78) бесконечно малы, получаем 1 О О О О 1 — Ьх О О Ьх 1 О О О О 1 1 0 Ьу О 0 1 О О -Ьуо 1 О' О О О 1 1 — Ьг О О Ья 1 О 0 О О 1 О О О О 1 ~3.82) Ко1(Ь~Р, ) = Ко1,.
= С учетом выражений (3.81), (3.85) находим 1 Ьх 126 Нетрудно проверить, что суммарное вращение не зависит от порядка вращений вокруг координат ~поэтому будем считать Йр вектором) и, следовательно, Пусть теперь компоненты дифференциального перемещения заданы в абсолютной системе координат, т.е, Ьу, = Лбу,, й;, =МИ~, . «3.87) Тогда для матрицы переноса получаем следующее выражение: А р Е Йг,. Я р+ й",, ООО 1 О 1 О 1 Рассмотрим теперь матрицу дифференциального вращения «3.85). Вращение тела осуществляется вокруг оси, проходящей через начало связанной системы координат с матрицей перехода У = ТА, . Ясно, что Ко1 = Е+К~„ «3.89) где в соответствии с соотношением «3.76) й~ О ООО О «3.9О) Аналогично (3,7О) находим Подставляя выражение «3.91) в «3.89), получаем К.
1 =Е+и 1И/' У=и 1(Е И" )У=У! В. 1 и йо1, =Е+ Йа ООО и окончательно ~~о ООО 1 или ИОР Иг, ИТ =Ь 7 = --'-- --'- ООО О »',3.100) О -Ь~, Й~ Око — Й~ Р -Ьх 0 б~, Π— Оуо ОХО Й.О10 —— ООО О О О О 0 (3,101) Матрицы Л,.
и Л, называют матрицами дифференциальных нреобразоеаний, соответствующих дифференциальному переносу н вращению. Поскольку, согласно построению ИТ, = ИТ., ~см, (3.97)), имеем и, следовательно, Л, =7 'ЛОТ. Получим еще один результат, который используем далее при изучении вопросов, связанных с управлением. Сформулируем задачу, в известном смысле Обратную по Отношению к тОлькО чтО рассмотрен" БОЙ, ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ПОЛОЖЕНИЯ ТЕЛа В МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ я' И причем разность |» — ~, мала, характеризуются в базовой системе координат матрицами Я ~Р х» У» 4.'» ~Р» ООО 1 О 0 О 1 Требуется найти дифференциальные перемещения (Ьх, Ьу, Ьг, а!х, ау, аг) и матрицу, переводящую Т, в Т, в базовой системе координат. Напомним, что подобная задача рассматривалась а п.
1.2.4, однако там не учитывалась малость перемещений, необходимых для совмещения Т» сТ,. ОтКУДа дг=р, — р, й~ Я,=Я,— Р1 «3,106) «3.107) и, следовательно, Х, =Х, +Ьф~Х„ у =у +ЬФ~У2, ~,'~ = ~1 +Ьфх».' «3.108) Умножая векторно слева «3.108) последовательно на х,, у,, ~,, после элементарных преобразований получаем Ьф = — «Х1 Х Х2 + У1 Х У2 + ~1 Х ~.'~ ) .
«3.109) 2 Таким образом, чтобы переместить твердое тело из некоторого положения, заданного матрицей Т,, в близкое положение, заданное матрицей Т„необходимо переместить его на вектор Й «3.106) и повернуть вокруг оси, проходящей через начало связанной системы и определяемой вектором Ьу «3.109). При этом все векторы заданы в абсолютной систсме координат. 3.3. Прямая и обратная задачи о скорости Выше мы рассматривали прямую и обратную задачи о положении, имея в виду нахождение зависимости между обобщенными координатами механизма и положением охвата. Аналогично сформулируем и задачу о скорости, играющую большую роль при построении алгоритмов управления движением манипулятора.
Пусть положение схвата У-звенного манипулятора характеризуется шестью числами: тремя координатами начала связанной со схватом системы координат и тремя углами, определяющими ее ориентацию. Обозначим, как и раньше (см. ~ 1.4), зти параметры через з, Пусть е = (и„ д„ ..., д,,)' — вектор обобщенных координат, и = = «у„ф„..., д„)' — вектор скоростей обобщенных координат, ю и где матрица Якоби,У(у) определяется выражением 13.112), является решением прямой задачи о скорости, Покажем теперь, как можно получить матрицу Якоби, используя дифференциальные преобразования. Найдем Ьй столбец матрицы Якоби А .
Пусть Ье звено манипулятора совершает движение, вызванное малым изменением соответствующей обобщенной координаты. Изменение матрицы положения манипулятора обозначим И,Т. Тогда в соответствии с выражениями «3.45)-(3.49) имеем д„Т = А,А, ... А„,О,~~„А„, ... А,,А,, «3.114) где О„задается равенством «3,46) или «3.47) в зависимости от типа сочленения. Кроме того, в соответствии с выражением «3.68) можно записать: ~,Т=Л~ Т.
«3.115) Тогда, используя «3.85), «3.86), получаем ~о, = «~~Т)Т = «А А2 " А~-1о~~ч~ А~А~.~ " А~-~А~)«Ам'Ам'-~ "- А2'А) ') ° «3.116) Если, как и прежде„через Т„, обозначить матрицу, задающую положение и ориентацию системы координат «А — 1)-го звена в абсолютной системе координат: Т,, — А]А, ...А„ то получим Пусть матрица Т„, имеет вид РТ~-1 = 000 1 0 0 О 1 132 Тогда в соответствии с «1.40) т Я»1 Т»1 ООО Обозначим через Йр и Й искомые дифференциальные перемещения схвата.
Бсли в (3.117) выполнить все необходимые операции, то получим для вращательного сочленения следующее выражение: — ~» )~в~~»-1Р дд». О ~»-1 ~ОО~ ~»-~ ООО ООО «3.120) «3.121) ~ь,, =~ ~ ~» «~Ч ЙГя — Й~„Рф — В» 1Й®,~Я» «Р» )~Й~», Здесь Й~, — матрица вращения вокруг вектора (О, О, 1)'. Поскольку в силу «3.68) из «3.120), «3,121) имеем Й~ = Й, Ид», ~~и = ~~,, «Рм Р»-1 )~Ч» ®Р~ = ~»-1~~9» з «3.122) ~~и = ~»-~ "«Рх Р»-1 )~~Я» ° «3,123) что совпадает с выражением (3.112) для вращательного сочленения.
Для поступательного сочленения вывод аналогичен. Пусть теперь угловая и линейная скорости заданы в системе координат схвата О„Х„У~У„. Тогда в соответствии с выражением ~3.89) вместо соотношения (3.115) запишем Ы,Т=ТЬ,, Следовательно ЛТ» =Т '~й„Т=(А„А„„...А„) 'О»дд„«А,А„, ...А„). «3.125) Получим еще одну форму представления матрицы .7„, в какой-то степени упрощающую процедуру ее вычисления. Для этого несколько расширим понятие векторного произведения.
Пусть  — матрица, столбцами которой являются векторы Ь„Ь„..., Ь„,: В = «Ь„Ь„..., Ь„,) . «3,129) Векторное произведение вектора и матрицы представим в виде С=ах В=«ахЬ, ахЬ, ... ахЬ„,), «3.130) где а — пх1-вектор„'  — л х ж-матрица; С вЂ” л х и-матрица. Нетрудно доказать следующие свойства введенной операции: 1, ахВ=й,В, «3.131) 2.
Вй,=В,хВ. «3.132) 3, ах Е=й„. «3.133) 4. «Ух ГЬ)' =Я'УБ)хУ'. «3.134) 5. «Рх И))' =Ьх М', «3.135) 6, ф х а)' = «Р'а) х Я'. «3,136) 7. «ЯЬ)ха=фха)Ь. «3,137') Рассмотрим элемент матрицы Якоби, имеющий вид а~ — ~й Р~~. Пусть матрицы ООО 1 А„= ' -"- «3.140) ООО 1 задают положение и ориентацию Ьго звена манипулятора в абсолютной и относительной системах координат соответственно, '1'огда соотношение «3,138) преобразуется к виду а =~ь хР м =«~ ~,)хЯиРк )=~ «е, хР~м), «3.141) где е, = «О, О, 1)'; р„„— вектор, соединяющий начала систем координат О,Х,У,У, и О~Х„У„У„, заданный в системе О,Х„1'„У„. Введем вместо вектора а, =е, х р„„, входящего в соотношение «3.141), матрицу 135 П р и м е р 3,1. Р~~~~~ прямую задачу о скорости для двухзвенио~о манипулятора «рис.3.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
