Зенкевич_Упр.манип_03 (962916)
Текст из файла
5. УРАВНЕНИЯ КИНЕТОСТАТИКИ МАНИПУЛЯТОРА Итак, мы рассмотрели только такие способы управления, при которых учитываются кинсматнчсскис соотношения, связывающнс звенья манипулятора, — их координаты, скорости и ускорения. Фактическое движение.манипулятора как системы взаимосвязанных твердых тел, конечно, будет отличаться от кииематической модели. Иногда это отличие несущественно, и кинематические способы управления вполне эффективны. В других случаях„наоборот, влияние динамических факторов обусловливает применение специальных способов управления.
Таким образом, перед нами возникают следующие проблемы. В первую очередь, математическое составление уравнений движений манипулятора как системы материальных тел. Затем их анализ с учетом динамики привода и определение эффективности кинематических способов управления и степени влияния динамических факторов. И, наконец, возможность применения специальных способов управления, учитывающих эти факторы, которые и называют динамическими способами управления. Переходя к решению первой из этих проблем, отметим, что к настоящему времени в робототехнике применяют практически все известные способы описания динамики движения твердых тел. Они различаются условиями применения, характером и сложностью вычислительных алгоритмов. Выбор того или иного способа определяется условиями задачи, а также эрудицией, опытом и искусством пользователя.
Поэтому в гл. 5 будет представлено несколько наиболее распространенных на практике способов описания динамики манипулятора. Прежде чем переходить к анализу динамики манипуляторов,необходимо рассмотреть уравнения статики, т.е. уравнения равновесия ма- 194 нипуляционного механизма под действием приложенных к нему сил и моментов. Этому вопросу посвящены ~ 5.1, 5.2.
Представленные в них соотношения позволяют перейти к уравнениям движения как к уравнениям кинетостатики в последующих параграфах настоящей главы. 5.1. Статика манинуляционных механизмов 5Л.1. Уравнение равновесия относительно основания манипулятора Напомним, что уравнения статики — — это уравнения равновесия механизма под действием приложенных сил. На манипулятор (разомкнутую кинематическую цепь) в статике действуют следующие силы: силы тяжести звеньев С,, 1=1, 2, ...,Ю, силы Р, и моменты Д„развиваемые двигателями в осях кинематических пар; силы Ю, и моменты Мл реакции опоры, а также внешние силы Г, и моменты М„обусловленные воздействиями со стороны внешней среды. Условимся, что все внешние силы и моменты, действуюшие на 1-е звено, приведены к главному вектору внешних сил Р;„приложенному в его центре масс С„и главному моменту внешних сил М„.
Кинематические связи счи- таем идеальными. В статике все силы и моменты, развиваемые приводами, уравновешиваются соответствующими силами и моментами реакций со стороны удерживаемых ими фрагментов кинематической цепи, и их не включают в уравнения статики за исключением первого привода, установ- Ра ленного на опоре.
~а а- Рассмотрим вначале случай, когда ~г Ю первая кинематическая пара поступательная (рис. 5,1). Очевидно, что сила реакции опоры состоит из двух составляющих: силы, обусловленной действием внешних сил Р;„1=-1, 2, ..., 1т', и 2й Бис 1=1 силы, равной движущей силе первого рнс. 5л. манипулятор с поркой по- привОда р направяенной вдпль Оси ступателкной кинематической парой 5.
Уравненил кинетостатики манигуллтора пары. Заменяя опору соответствующей силой Я., запишем следующее уравнение: ~~~ Г„+ Ян + Р, = О. (5.1) к=3 Если первая пара вращательная, то это уравнение определяет условие равновесия внешних сил и силы реакции: ',~ Г„+Я, =О. (5.2) !=3 Поскольку соединение является идеальным и силы трения отсутствуют, то реакция Я, ортогональна к оси пары.
Поэтому значение силы, развиваемой двигателем первой пары, можно найти, проецируя уравнение (5.1) на направление ее оси. Если неподвижная система координат ОХвУвУв выбрана таким образом, что ось ОУ коллинеарна оси первой кинематической пары, то уравнение (5.1) необходимо проецировать на направление, заданное единичным вектором-ортом гв этой оси. Получим скалярное уравнение а,",~ Г„+р, =О, (5.3) где ц, = АР, — сила, развиваемая приводом первой поступательной пары и удерживающая манипулятор в равновесии под действием внешних сил. Аналогично найдем и уравнение равновесия для моментов. Поскольку в рассматриваемом случае первый двигатель не создает момента, уравнение равновесия между моментами внешних сил М„, 1 = 1, 2, ... „У, и моментом реакции опоры Мл имеет вид ~~1 (М„+ ро, х Г„)+ Мл — - О, Х=-$ где ргн — радиус-вектор центра масс С,.
1-го звена относительно центра О неподвижной системы координат, связанной с опорой манипулятора. Используя принятые ранее обозначения Е ро = ~ ! + ~'о, ро х ~ т = "-(Ро~)~ га 196 (5.5) где 1г! =ге'Д,. Рие. 5,2. манипулятор с первой Для того чтобы оправдать использо- врвлателаиойкииематичеекой ванне одной и той же переменной «г! для парой обозначения силы или момента, развиваемых приводом, в зависимости от его типа, условимся, что Р! =2о0!и!+2ор!(1-ет!), (5.7) где постоянная еу! = 1, если первая пара вращательная, и еу! = О, если эта пара поступательная.
Используя последнее обозначение, можно объединить уравнения (5.3) и (5.6) в одно скалярное уравнейие, определяющее движущие силу или момент привода из условий статического равновесия 1331: Го' (1 — е«!)~„Г„+ а., ~(м.! + ЦРоп)Г„) + 1«! = О. (5.8) ю=! ! —..! Такая форма записи удобна для получения обобщенных уравнений равновесия. 197 запишем последнее уравнение в виде ,'«"(И., +7(ро,)Г.,)+М„=О. (5.4) с=-! Рассмотрим манипулятор, первая кинематическая пара которого вращательная (рис, 5,2).
При этом уравнение равновесия для сил будет определяться соотношением (5.2), а в уравнение моментов войдет момент Д!, развиваемый приводом первой кинематической пары. Следовательно, уравнение (5.4) будет иметь вид :«„(й~., +7(ро,)~;,)+М!!+Й =О ю=! Проецируя последнее уравнение на ось этой кинематической пары, получаем скалярное уравнение, которое определяет значение момента 12! привода, удерживающего манипулятор в равновесии под действием внешних сил: Ю В Ха 2е,«( „(Ро,)г„ф)+«г! =, (5.6) Ув ~~й' л-! 5.1.2. Обобщенные условия равновесия (обратная рекурсия) Рассмотрим часть кинематической цепи манипулятора, начиная с 1-го звена и вплоть до Ф-го (схвата).
Отброшенную же часть заменим силой Г„, и моментом реакции М„,. В частности, проекция этой реакции на ось кинематической пары, образованной 1-м и (1 — 1)-м звеньями, определяется уравнением, аналогичным (5.8): ~,'! (1 — о,),') Г„+о,'„),(М„+Х(р, „)Г„) +р, =О, (5.9) !=! ! — ! где г,, — орт оси 0,,2,, системы координат, связанной с (1 — 1)-м звеном; (5.10) й=! радиус-вектор центра масс 1-го звена относительно центра (1-1)-й системы координат; р, = о,с,',Д, +(1 — а,)д,',Р, (5.11) 198 вектор сил или моментов, развиваемых двигателем, установленным в рассматриваемом соединении (с учетом типа кинематической пары, задаваемого параметром о, ). Совокупность всех уравнений (5.9) при изменении индекса г' от 1=1 до 1= Ю образует систему Х уравнений стцтики, описывающих состояние равновесия манипулятора под действием внешних Е„, М., и внутренних сил и моментов р,.
В частности, для наиболее часто встречающегося случая, когда манипулятор имеет только вращательные степени подвижности, т.е. о,. =1, 1 = 1, 2, ..., Ж, преобразуем (5.9) в систему уравнений, определяющую моменты приводов р, в соответствии с условием статического равновесия г,'.,,1 М., + Цр,. „)Г„+ р, = О, 1= 1, 2, ..., Ф. (5.12) !=! На практике расчет сил и моментов целесообразно проводить последовательно от схвата манипулятора к опорному звену (обратная рекурсия) 1451. При этом предполагается, что задача о положении звеньев уже решена и, следовательно, вычислены орты ! =1, 2, ..., 2У, и радиус-векторы Р, „, 1, 2=1, 2, ..., Ат, всех харак- терных точек звеньев.
Тогда в проекциях на ось кинематической пары, образованной !!!-м и (Ф вЂ” 1) -м звеньями, получим следующее условие равновесия: -я'- [(1- )1;, +пи(М, +2( )г". )1=Р И вЂ” 1 М-1 Яи1=П~,тки ' = ~и гг и !' 1~~и = П1~-., 2=1 1=1 , =(О я!пои 1сояс1„,)'.
Теперь равенство (5.9) можно записать для ! = Ф вЂ” 1 следующим образом: - ги' 2 Н1-пи!).Г,и ! + (1-О-и 1)~.и +О„,(М.„, +) (Ри г и.1)Г, „, + + пи !(М,и+) (Ри г и)Г. и)1 = Ри1. Если кинематические пары манипулятора одного и того же типа, то это соотношение приобретает рекурсивный характер. Так, если пары поступательные (ои ! = О ), то (~и-2'~ви-1 ~и — 2 ви) Ри-1 Учитывая, что т тт т т тл т ~и-2~ ви ~и-г~и-!~и-1«ви Еи-2еи-1Ри > получаем Ри..! = ~и г( ",л ! +Яи !Ри). Аналогично (5.1З) Р1-1 = Я! г ( Г.> ! + Я1-1Р>) В том случае, когда кинематические пары вращательные и о, =1, можно записать РИ = тИ 1(М И + т«(РИ ! И)>Г И) Рл-1 ви-г(М«и-! ™ви +)(Ри-2 и-!)~ и-1 +'«(Ри-2 л)1 «и).
При этом необходимо учитывать, что Ри-2 и = ги-! +Рл-1 и )«(Ри-2 иМ,и = 2«(ри-! и)г»и +Юи-!)г л > следовательно, 199 следовательно, ю — < ~и2'( вю-1 (Рг — 2!-1) аг-1) т1-1Рк +М-~Щк)1~ 1=%, Ф вЂ” 1,,2,1, (5.14) Используя соотношения (5.13) и (5.14), можно записать и общую рекурсивную формулу для определения р,, когда манипулятор имеет "Г Гз — Л,,=О, /'=Ф ~ ~(М„+Цр„)Г„) — М„, =О, (5.15) (5.16) где индекс 1 принимает значения от 1=1 (уравнения реакции опоры) до 1 = Ф. В последнем случае будем иметь уравнения сил и моментов реакции кинематической цепи без учета последнего звена (охвата). На практике расчет сил и моментов реакции, как и расчет движущих сил и моментов, удобно вести с помощью обратной рекурсии.
В этом случае вместо соотношений (5.15), (5.16) можно записать: Я,=Я,— Г„, М„,, = М„, -(М„+Х(р.,)Г,>). (5.17) (5.18) Полагая, что внешние силы Г„и моменты М., известны, Ю„= О, и изменяя (от Ф до 1, получаем все силы и моменты реакции. 200 как вращательные, так и поступательные пары. Полученные уравнения представляют интерес прежде всего при решении задачи управления. При расчете конструкции манипулятора необходимо также учитывать силы и моменты, действующие со стороны рассмотренного участка кинематической цепи (от 1-го до У-го звена) на (1 — 1)-е звено и, в частности, на опору со стороны всего манипулятора.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
