Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 4
Текст из файла (страница 4)
5.1.2): Р -э ~-з1 ~ -~ +~-1Р. 1 я -г~~.ч (549) р,, =-~,',~М... +Цр, „,)Г„., +) (р,.„)Г„-г,,р, + + М„, +),(р, „,)Г„.~. (5.50) Таким образом может быть решена обратная задача динамики. Значительно сложнее решить вторую задачу динамики, связанную с интегрированием дифференциальных уравнений (5.48). БЗ.З. Составление дифференциальных уравнений движении манипулятора относительно обобщенных координат При определении движения манипулятора, соответствующего приложенным силам и моментам, на каждом шаге предполагаются известными начальные условия д(г,), Ч(г ), внешние, а также управляющие силы и моменты р.
Задача заключается в интегрировании уравнений движения, записанных в обобщенных координатах. Их нетрудно получить из уравнений (5.4б), (5.47), которые с учетом обозначений, введенных в и. 3.1.3, можно переписать в виде одного уравнения В„'(д)(Г, +Г,)+В„'(д)(М, +М,)+р=О. (5.51) Подставляя в его левую часть выражения Г, и М, из (5.38) и (5.45), получаем матричное дифференциальное уравнение относительно обобщенных координат манипулятора В;, (д)Г, — В;,(д)тВ,,(д)д — В;,(д)тВ„(д, фу+ В'(д)М,— — ~В„'(Ч)Л(В (д)д)1В (д)+В'(д)1В„(д, Ч)~д — В„'(д)1В„(д)д+р = О. Группируя сомножнтели при д и д, получаем искомое уравнение динамики манипуляционного механизма А(д)д = Я(д, д)д'+ В;,(Ч)Г.
+ В„'(Ч)М, + р, (5.52) где (тВ 0~, (В,(д)1 ,д(д) = В;(д)тВ., (д) + В„(д)1В„(д) = ж (д) ~я(Ч)* В(д) = ~ ~О 13 '' ~В.,(д)3 (553) .Й(д Ч) = В,. (Ч)тВ,, (Ч, Ч) 1В (Ч)Л(В„(д)д)1 В„(д) + В„(д)1 В (Ч. Ч)1. (5.54) Матрицы, входящие в правую часть уравнения (5.52), определяюгся формулами (5.53), (5.54). Элементы симметрической матрицы Я(д) зависят от конфигурации манипулятора и его масс-инерционных характеристик. Матрицы В,,(д„о1), В„(о7, ог) линейно зависят от (1 (см.
и. 3.1.3), следовательно, компоненты вектора Я(д, д)ф являются квадратичными формами относительно (1, в частности Я(д, д)у=О при д=о. Интегрируя систему дифференциальных уравнений (5.52) порядка 2% с начальными условиями п(го) = о(о, а(г ) = фо, находим обобщенные координаты манипулятора д(г),т.е. его движение (прямая задача динамики). Уравнение динамики манипулятора в виде (5.52), полученное из уравнения кинстостатиьи (5.51), является очень сложным.
Составление его «вручную» для реального манипулятора нецелесообразно. В связи с этим были предложены различные способы автоматизации этой процедуры. Рекуррентный способ. В этом случае применяют методы прямой и обратной рекурсии, рассмотренные вьппе, однако их используют таким образом, чтобы в конечном итоге получить на каждом ~'-м шаге уравнение для ускорений в виде соотношения „о(, оз)- ф(, гл,.ьз (5.55) правая часгь которого известная на 1-м шаге величина. В процессе прямой рекурсии на каждом шаге вычисляют скорости «„Й, в системах координат, связанных со звеньями, в зависимости от д, ф по формулам (3.19), (3.21), а также линейные и угловые ускорения по формулам (3.20), (3.22), которые записываются следующим образом (см.
и. 3.1.3): й, =й,'й,, +Цго,)Х(гв,р„,)+Х(а,) р„, + +(1-а,))о(оо,)й;е„ф, +(1 — а,)й;е„д,, (5.56) в, =й е,, +а,(й;год,)+а,-й,7(го,— )еод, (5.57) При вычислениях отдельно записывают слагаемые, содержащие д, о7 и сомножители при (1. Например, если все сочленения вращательные (а, =-1), то т Е1 =й|2Я1 ео = йФ~ ~о% + йо~оЧ2 + оР1(% ° Ч2) Т е. вычисляЮТ Й1 Яо Й2Й1 яо ~ ° ° т Ц ЙЗ ~ " Й1 го з а также 'з2(22! ЧЗ) ~Рз(Ч! з22 ззз)» ' 9~Й$222 '' 2)~) ' Аналогично й, =~(го Р,о)4, +оРЗ(о21), в'2 = ЙМ~о Р~ о)Ч~ + М2о Р21)Ч2 + ЗЗЗ(оЗ~* о22). Дважды интегрируя вектор, стоящий в правой части с известными начальными условиями до', 21~'~, находим приближенно значения 21О' ~, д~' '„являющиеся начальными на следующем шаге интегриро- вания.
Метод вычисления блочных мавприи. В этом случае соотношение для ускорений вида (5.58) определяют, исходя из выражений блочных матриц 22 и Я, входящих в уравнение динамики манипулятора (5.52). Так, для матрицы А с учетом формулы (5.53) можно записать (5.59) А~у) = Я'(д)1Я(д), '2 = о12ай(гл~Ез -" 2222 Ез Йг1Л~ " ЙЗо2ойо) ° причем, принимая во внимание (3.26), (3.23) и (3.34) В,® = [(1(Š— о) + А'(Р)(!о1Й;22, В (д)=И2;ъсг, (5.60) (5.61) или В,(д) =ЮЯŠ— а)+А.'(Р)(Ъз, (5.62) После выполнения всех расчетов при 2 =1, 2,, А2 происходит вычисление сил, действующих на систему, методом обратной рекурсии с составлением уравнений вида (5.13), (5.14 ); при этом по-прежнему отдельно определяют коэффициенты при 11, и слагаемые, зависящие от 21, 22. Таким образом, на 2'-м шаге получаем из соотношения (5.55) вектор ускорений обобщенных координат 22=А '(дго)Ф.
(5.58) В„(у) = ХХяа, (5.63) где г =й„',н . Матрица Л'(Р)ХУг определена в и. 3.1.3 (с. 113). С учетом вида матрицы ХХ можно заключить, что обе матрицы В„и В„являются треугольными, причем: яоа, О яоа, я,а, О О В„(Ч) = яоа, я,а, ... сн,ан со(Š— а,) + + Мсо)Р~оа~ яо(Е- а1) + + "~йо)ргоа2 О г,(Š— а,)+ + )" (я1)Р 2! а2 О «о(Š— а,)+ ~,(Š— а,)+ я,,(Š— ан)+ +) (Яо)Рноан + МЯ~)РнРн +1 Йн 1)Рнн.оан Соответственно элементы матриц В, В„можно вычислить последовательно в процессе прямой рекурсии: определить я,, = й; = й;,,ю,.
при 1= 1, 2, ...„й, одновременно вычисляя на каждом шаге новые элементы матриц В„, В„и последовательно заполнить (сверху вниз) строки этих магриц. Используя матрицы й,.(о,„..., д,,), вычисляем также соответствующие элементы й,.Х,'й; матрицы Х. После завершения цикла (1=1, ..., Ф) матрица .-М вычисляется в соответствии с приведенными формулами. Аналогичные, хотя и более громоздкие формулы, нетрудно записать для матрицы Я (5.54). Они приведены в работе [351„где содержится также библиотека алгоритмов для вычисления всех составляющих этих матриц.
Как и при использовании рекуррентного метода, расчеты на каждом пгаге проводят при заданных д", ф~'~, что приводит к получению соотношения для ускорений (5.58), которое дважды икгегрируется. 5.4. Показатели динамических свойств манипулнтора 5.4.1. Эллипсоид допустимых ускорений С помощью рассмотренных вьппе уравнений кинетостатики можно исследовать возможности манипуляционного механизма развивать ускорения в каждой точке рабочего пространства. Эти возможности, конечно, ограничены, поскольку ограничены развиваемые двигателями манипулятора силы и моменты. Знание допустимых ускорений необходимо при планировании сложных движений, когда решение задачи зависит от выбора законов разгона и торможения. Харакгерным примером может служить задача перемещения полезной нагрузки с помощью космического манипулятора. Другая проблема, связанная с анализом развиваемых сил и моментов, — это их планирование„например при выполнении роботом операции по механообработке с помощью специального инструмента.
Во многих случаях учет развиваемых сил только на основе уравнений статики (5.8) недостаточен и неучет динамических эффектов может серьезно снизить точность и качество выполняемой операции. Обратимся к уравнению динамики манипулятора в форме Даламбера (5.52), которое запишем в виде ьЧ(Ч)Ч =М, (5.64) где (5.65) М = Я+В;(Ч)Г, +В„'(Ч)М, +%Ч, Ч)Ч. Согласно уравнениям кинематики, для ускорения схвата манипулятора можно записать выражение (3.40): и = Л,,(Ч)Ч+,У,(Ч, Ч)Ч, (5.66) где .У„(Ч) — якобиева матрица, а l„(Ч, Ч) — ее производная.
Заметим, что блочные векторы образованы последними сгроками матриц В„(Ч) и В„(Ч, Ч) и могут быть вычислены по формулам, приведенным в и. 3.1.3. Из уравнений (5.64) и (5.66) следуег, что с учетом уравнений динамики развиваемые характерной точкой схвата манипулятора ускорения связаны с моментами и силами, развиваемыми двигателями следующей зависимостью: и,, =,~,(Ч),~ '(Ч)М +.У,(Ч, Ч)4 =3,,(Ч)Я ''(Ч)Р+СМ„Ч, Ч), (5 67) где С(У„п, ф) =,У,,(д)Л '(юУ)(В,' (д)Г, + В„'(ц)М, + Я(д, ф)ф1+.У,. (д,гУ)д. В частности, если предположить, что внешние силы и моменты отсутствуют, а фг,) = О „т.е.
манипулятор в начальный момент времени неподвижен, то С(з „, д, д) = О и полученное выражение примет вид и>„=.У„(юу)Л '(у)н. (5.68) Эта формула определяет абсолютное ускорение и,„, которое может быть развито манипулятором из неподвижного состояния, определяемого вектором обобщенных координат д(У,) .
Если развиваемые силы (моменты) ограничены по модулю ~р,~ < п,,„,„то выражение (5.68) позволяет определить область допустимых ускорений в данной точке рабочего пространства в виде ~и~,~ < ~ и, (5.69) где Ȅ— — компоненты матрицы .У,(д) 'Х '(д). Эта область определяет параллелепипед, центром которого является исследуемая точка. Если ограничения наложены на суммарный средний момент, развиваемый двигателями манипулятора: ~р'р) = ~Щ < р', то для кинемагической схемы без избыточности из уравнения (5.68) получим неравенство у.ч < ( «)1 (5.70) 220 Это неравенство описывает эллипсоид реализуемых и данной точке ускорений.
Аналогичное неравенство можно получить и для кинематической схемы с избыточностью, если заменить .У,' на матрицу .У„', вычисляемую с помощью псевдообращения (см. п. 3.3.4). Ориентацию эллипсоида реализуемых ускорений в рабочем пространстве и длину его полуосей нетрудно определить, вычислив собственные числа и собственные векторы для симметрической матрицы (У,,')'Л' 'У,У„' = Р'Йай(Х,.)Р„ где Р— матрица ортогонального преобразования, приводящего ее к диагональному виду.
Собственные числа Х,. вещественны и положительны. Обозначим Х, < Х, « ... Х,. Тогда величины а, = Х,'~", 1= 1, ..., У, определяют полуоси главных осей эллипсоида допустимых ускорений, при эком о, а, ... а, » ,„> 5.4.2. Динамическая маиипулятивиость. Приемистость Произведение С,(д) = Па, (5.71) С, (д) = (г)еМ„(А'с~() '.У„') (5.72) Для манипуляторов без избыточности, имеющих квадратную якобиеву матрицу, справедлива следующая формула: С,(!1) = ое1,7,,/г1е1А.
(5.73) Отношение минимальной оси эллипсоида к максимальной С,(о) = а„/а, (5.74) определяет равномерность распределения векторов ускорении по направлению, т.е. близость эллипсоида к сфере. Если, в частности, С,(д) =1, то при соответствующей конфигурации манипулятора значение допустимого ускорения не зависит от его направления. Такое условие называют условием изотропности ускорения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
