Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 9
Текст из файла (страница 9)
6.3.2. Применение принципа Гаусса для исследования движения манипуляцнонных механизмов Рассмотрим понятие принуждения для манипуляционного механизма. Для каждого из звеньев механизма, совершающих одновременно поступательное движение с ускорением и!, и вращательное с ускорением а,, меру принуждения можно определить следующим образом: Я, = — [(и!, — й,)'М,(и', — й,)+(а, — а,)'1,(с, — е,)~, (6.54) где т, 0 0 ! Ою' ~ О! 1 М,= О 0 и, — — масса звена; 1,' — тензор инерции звена в связанной с ним системе координат; й„- — матрица перехода к абсолютной системе координат. Здесь и,, с, — линейное и угловое ускорения звена в абсолютной системе координат, а й,, а, — их значения при свободном движении, которые определяются уравнениями свободного движения: т,й,, =Р;,.
+г.,1гг, 7(гл,)1,гл, — 1,ь, = М., +~,.(г„ (6.55) где Р;„̄— внегшгие силы и моменты, гг, — силы, или моменты, приложенные к звену двигателем соответствующей степени подвижности и направленные вдоль орта оси аг соответствующей кинематической пары; Й, — угловые скорости звеньев; матрица 7 (га,) определена в и. 3.1.3. Для всего механизма меру принуждения определяют так: Я=--,Г 1(и, — й,)'М,(и, — йг)+(сг — аг)'1,(аг — а,)~ юм или 1 Я= — (х-х)'1(х — х), 2 (6.56) где х =-(и с)', х =(й с)', ! =Йа8(М, ... М . 1, ... 1,) — матрица масс и моментов инерции звеньев. Теперь задача сводится к определению ускорения х из условия пип Я с учетом уравнений (6.55) для й и ь, т.е.
для х, и уравнений Х связей, определяющих взаимное положение звеньев. Эти уравнения имеют вид ='Р(% .- цю) ° (6.57) и = В„(ц)ц+ В (ц„ц)ц. Аналогичная формула справедлива для угловых ускорений в= В (ц)ц'+ В„(ц, ц)ц. Эти формулы можно объединить (6.58) (6.59) где Я = (В,, В )', Я = („„)'. 250 где г" — вектор центров масс звеньев. Дважды продифференцнровав правую часть этих уравнений, мы в п. 3.1 получили выражение для ускорения (3.38), которое в данном случае определяет наложенные на движение звеньев связи: Если предположить, что закон управления известен, т.е. определезы функции 1г, (~), играюгцие теперь роль внешних сил, приложенных '< звеньям в свободном движении, то уравнения (6.55) позволяют на <аждом шаге определить ускорения свободного движения в и а .
Тетерь необходимо найти минимум квадратичной формы (6.56) относительно ускорений д обобщенных координат механизма, связанных с гскорениями х уравнениями (659). Заметим, что положения и скорости звеньев на каждом шаге вычисляются по ускорениям, определенным ча предыдущем шаге. '1'аким образом, задача минимизации решается голько для ускорений. 6.3.3. Определение ускорений вынужденного движении Итак, при использовании принципа Гаусса задача сводится к опретелснию ускорений истинного движения, минимизирующих принужтение.
Эту задачу можно решить несколькими способами, Во-первых, можно получить выражение функции принуждения от ускорений збобщенных координат 11 и рассмотреть методы его численной минимизации, Во-вторых, можно использовать метод неопределенных иножителей Лагранжа. Рассмотрим вначале первый подход. Выразим из уравнений свободного движения ускорения й~„с, для гого, чтобы подставить их в выражение (6.56). Поскольку (см. (6.55)) Е„1т лт, и,.
а, = 1,. 'Х(оз,.)1,.Й, — 1, '̄— 1,. 'г,(т„ (6.60) (6.61) х,. =(й, а,)' =Ф,(М„., Г„, (т„д„д,), тричем функции Ф, определжотся как правые части равенств (6.60). Теперь полученные выражения можно подставить в формулу (6.56) тля меры принуждения, предварительно переписав ее как 1, ...., - 1-, Я = — х'1х — х'1х+ — х'Хх. (6.62) 2 2 Получим (6.63) Я = -- х'1 х — х'1Ф+ .. 2 251 В последнем выражении мы выписали только слагаемые„зависящие от д. Внд остальных слагаемых, зависящих от обобщенных координат, их производных и внешних снл, пе имеет значения при минимизации Я относительно ускорений а.
Во многих случаях полученное выражение нуждается в угочнениях, так как в кинемагнческих парах могут действовать и другие силы, которые не учитываются нашей приближенной моделью. Например, при использовании двигателей постоянного тока с редуктором в выражении Я возникают дополнительные составляющие, обусловленные моментом инерции 1' вращающихся частей редуктора н ротора двигаг теля вида д — — . Их можно учесть, добавляя к значению 1 привер » ' ' > > денный к валу нагрузки момент инерции вращающихся часгей (см. далее гл. 7) или же добавляя дополнительные слагаемые, зависящие от ц, к правой части (6.63). В последнем случае получим выражение следующего вида: (6.64) Задача состоит теперь в минимизации выражений (6.63) или (6.64) с учетом уравнения связей (6.59).
Заметим, что в отсутствие связей, исходя нз необходимого условия минимизации выражения (6.64)„получим уравнения движения системы свободных тел х = Ф, 1,' 9', = Р„г =- 1, ..., Ж. Расслютрим задачу об определении ускорений путем минимизации квадратичной формы (6.64) с учетом линейных ограничений (6.59) методом динамического программирования 1451. Пусть 2ь, — функция принуждения для механизма, состоящего из последних Ф вЂ” 1с+1 звеньев кннематической цепи манипулятора (т.е.
от /с-го звена до Ж-го — схвата): где 1, — элементы диагональной (блочной) матрицы 1 . В соответствии с основным принципом динамического программирования минимизация Я» позволяет записать следующее рекуррентное соотношение: Я»(х») = гп»п~ — х„'Х„х„— х„'1„Ф„+ — 11» — —,д» +Я»„(х»„), (6.66) где У».. — минимальное значение, полученное на предыдущем шаге минимизации. В свою очередь, ускорение х„с помощью соотношений, полученных в 9 3.1, может быть рекуррентно вычислено по формуле вида х„= А„х'„, + ВЯ + С„, (6.67) в которой матрица А„и векторы В, С„зависят только от обобщенных координат и их первых производных.
Таким образом, -т — -т Е»(х ) = т»п — х'„1 х„— х 1„Ф„+ в ~2 Р»- + — 11»" — —,11» + Я»„(А»„х» + В»„11»„+ С„„') . (6.68) 2 1„' При этом -т — -т Я„,(х„„) = — х „1 „х„„— х„„1»п Ф»„+... (остальные слагаемые на данном шаге вычислений уже известны). Дифференцируя выражение, стоящее в квадратных скобках, по д, н приравнивая результат к нулю, получим ускорение»1», минимизирующее правую часть равенства (6.68): 11» = (1+ В;1„В,') ' —," — В,",1,(А„х,, +С»)+Ф'„1»В» .
(6.69) Дальнейшее решение задачи последовательно проводят в направлении от схвата к основанию, т.е. при 1 = У, У вЂ” 1, ..., О. При этом необходимо знать управляющие и внешние силы и моменты (»», Р;», М„„а также текущие обобщенные координаты у и их первые производные д». На первом шаге с учетом (6.67), (6.69) определяется ускорение в последней степени подвижности 11, из рассмотрения движе- 253 ння А!-го звена (охвата) под действием внешних и управляющих сил и моментов. Далее определяют матрицы, входящие в правую часть равенства (6.69), и ускорения д„при к = 1У вЂ”, 1, А' — 2, ..., О. После двукратного интегрирования ускорений на одном шаге и определения новых значений д„, д„процедуру повторяют.
Итак, рассмотренная численная процедура позволяет осуществить моделирование движения манипуляционного механизма. Более подробно она описана А.Ф. Верещагиным в [45), где решение задачи обобщено на случай, когда на движение охвата наложены дополнительные ограничения (например, при движении по поверхности), а также на случай, когда подвижно основание манипулятора. Там приведены также рекуррентные формулы для вычисления матричных коэффициентов уравнения (6.69), значительно упрощающие процедуру вычислений. Кратко остановимся на процедуре минимизации принуждения Я с использованием метода Лагранжа. В этом случае для того, чтобы найти движение, минимизирующее Я и совместимое со связями (6.59), вводится вектор множителей Лагранжа Х = (Х, ... Х„) .
Образуем новый функционал вида 1 Я' = Я(х, 9) + Цх — Я9' — Яф) = — х '1 х — х'1 Ф +... + 2 (6.70) Вычисляя вариацию этого функционала по х, 9 и приравнивая ее к нулю,получаем бЯ" = Ьх'(1х — 1Ф)+ЬУ' 9 — — ~+Ы'Х' — )ЛЬУ = О. 1! Отсюда следуют два уравнения: 1(х — Ф) + Х' = О, т — ХЯ+9" — —, = О. (6.71) 1' Определяя из второго вектор Х и подставляя его в первое, получим уравнение, определяющее ускорение движения звеньев: (6.72) 254 Заметим„что подставив в это уравнение выражение х через производные обобщенных координат по формуле (6.59), вновь получим уравнение движения в форме уравнения кинетостатики (5.52).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
