Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Движение его схвата в рабочем пространстве может быть определено в функции от обобщенных координат путем решения прямой кинематической задачи о положении (см. з 2.1). В данном случае ограничимся рассмотрением линейной модели привода, которая вполне приемлема для следящих систем на двигателях постоянного тока с учетом малости отклонений а(г) . При использовании двигателей других типов, в частности двигателей переменного тока, а также гидравлических двигателей математическая модель приводов существенно нелинейна, что осложняет задачу анализа исполнительной системы (см. [2; 381), 260 Если же гипотеза о линейности модели привода принимается, то целесообразно провести линеаризацию и уравнений механизма с тем, чтобы нсполыювать мощный аппарат анализа и синтеза линейных автоматических систем.
7.1.2. Линеаризация модели исполнительной системы Мы условились рассматривать линейную модель привода, поэтому проблема заключается в лннеаризацни уравнений динамики маннпуляционного механизма (5.52) относительно некоторой опорной траектории 9'(г) в пространстве обобщенных координат, обеспечивающей требуемое движение схвата манипулятора в рабочем пространсгве (см. 9' 4.1). Для опорной траектории нелинейные матричные коэффициенты уравнения динамики (5.52) становятся известными функциями времени, и это уравнение прнобретаег вид ,Я'(г)д' = Я*(г)о" + С'(г)К„' + н", (7.9) где ,,-1*(г) =7(9 (г)), Я'(г) =Я(9'(г),9 ()), С'() =С(9'(г)), т.е.
индексом «*» обозначены значения коэффициентов н переменных, соответствующие опорной траектории. Значения 9', 9" н 9 определяют на этапе кинематического планирования траектории. Предполагается, что вектор внешних сил и моментов К, = (Р; М, )' вдоль заданной траектории также известен; в частном случае свободного движения компонентами вектора Р; являются силы тяжести звеньев, а М' =О. в Из уравнения (7.9) может быть определен вектор сил и моментов 1г", который должен быть развит приводами степеней подвижности для движения по опорной траектории. Для возмущенного движения гу, (г) = 9 (г) + Ьу(г), где Л7(г) — малое отклонение от опорного движения, получим Я ' (Ч' + КЧ)(Ч+ ЬЧ) = Я(Ч' + Лч, Ч" + ЛЧ)й * + ЛЧ) + + С(о* + йу)К.
+ 1а + г~1г. Разложим нелинейные матричные коэффициенты 1, Я, С в ряд Тейлора и отбросим слагаемые, имеющие порядок малости выше первого. Тогда с учетом (7.9) уравнение в приращениях будет иметь вид чч'2ч1)2 = (Я„'627) 27' + (Я;,627)27* + Я "Лф+ С'Ь1Г. + (С„'Л27)К; + Л12. (7.10) Здесь приняты следующие обозначения: .-21„'627 = „1„И„',Лд,, Я„'й7 = ~» Я„'26г1,, 1=! ю=! !ч 2ч Я;.Л11=~~! Я„',Лд,, С;Л27= Г С',Лг7,, 2=! где 21,', = — —, Я; = —, Я™ —, С„', = 2=-1,2, ..., Ю. Подставим теперь последние выражения в уравнение в приращениях (7.10) и преобразуем соответствующие слагаемые таким образом, чтобы получить произведение матричных коэффициентов и приращений Й7, Лчг, 6!2.
Для слагаемого в левой части уравнения получим л (,~„'Ад)д = 1*2и1, л ГДЕ ч2" * — МатРИЦа: л ч7 (21„,27 ч(,2д ... Я„„21 ). Аналогично для остальных слагаемых будем иметь (Я'627)ф' =Я;Ь27, где (Яч222 Яч2'2 " Ячч22 )' ч 2~2)2 2 2 (Яч!Ч Яч2Ч ' Яч!чз )~ (СчМ~в =С 2227.
С' =(С„',У С„'2У .. С„' К;). С учетом введенных обозначений уравнение в приращениях (7.10) можно записать так: Я'Ьд'+ Я" Лд =Я*Ьд+ Я;Ад+Я;Ьд+С'ЬХ, +С'Ад+ Л(з; группируя слагаемые при Лд, Лд и Лд, запишем это уравнение в виде а'Ьд'+ Ь'Ьд+ с" Ьд = Лр+ Л)г,, (7.11) где — — Ф с'=~д'-Я;-С', .ф, =С"~.'~~„ Таким образом, получена система линейных дифференциальных уравнений 2Ф-порядка (7.11), описывающая движение манипуляционного механизма в окрестности опорной траектории. Для заданной во времени траектории д*(г) матрицы а, Ь, с будут определены как матрицы с переменными во времени коэффициентами, причем а'(г) = а'(д'(г)), Ь" (1) = Ь" (д'(1), д*(с)), с" (г) = '(д'В д (г), д'(1), 17'ЮИногда возникает необходимость анализировать движение манипуляционного механизма не в окрестности траектории, а в окрестности некоторой точки д',например конечной точки д (г) заданной траектории.
В этом случае д =д =ЛК," =О, Ь =О, матричные коэффицненты а', с' постоянны, причем с' =С', и уравнение (7.11) принимает более простой вид а'Лд+ с'йу = Лр. (7.12) В отсутствие внешних снл коэффициент с* также равен нулю; получим а Ад=Ар. (7.13) Заметим, что матрицы Ь н с' могут быть получены в явном виде, поскольку матрицы А, Я и С были определены выше в гл. 3. Этн выражения приведены также в 1351. Запишем теперь уравнения линеаризованной модели исполнительной системы с учетом уравнений приводов.
Чтобы упростить запись, условимся опустить знак Л, обозначающий отклонения соответствующих переменных; получим следующую систему уравнений: а'р~д+ Ь*рд+ с'д = 1а+ ц„ Ь'(р)й = М.(р) -М,(р)д. (7.14) а=у д. 2б3 Обозначая Ь (р)=а р'+Ь"р+с", (7.15) можно представить исполнительную систему в вице многосвязной линейной следящей системы (рис. 7.3). Дифференциальное уравнение системы в матричной форме имеет вид (7.1б) Рис. 7.3.
Схема линсарнаоаанной исполнительной системы Добавляя к нему условие замыкания а = у-д, получаем уравнение относительно обобщенных координат манипулятора Р~(Р) и (Р)+ Мд(Р)+ М,(р))Ч = М,(р)у+ Ф(р)1а.. (7.17) Эаметим, что при выборе другой опорной траектории изменяются только коэффициенты матричного трехчлена Ь (р), которые зависят от геометрических и инерционных характеристик манипулятора, а также от параметров д . 17 и с7 опорной траектории. Поскольку эта траектория предполагается известной, то коэффициенты 6 (р) являются известными функциями времени. Коэффициенты матричных полиномов Ю(р), М„(р) н М,(р) зависят только от параметров приводов степеней подвижности манипулятора. Следует также иметь в виду, что коэффициенты а', Ь', с поли- нома А'(р) изменяются медленно по сравнению с длительностью переходных процессов в электромеханических приводах, описываемых вторым уравнением системы (7.14). Это позволяет воспользоваться методом замороженных параметров при приближенном анализе динамики исполнительной системы.
2б4 Опорную траекторию можно при этом считать заданной в 3 х Ф- пространстве обобщенных координат и их производных а =(~у„ц, 11) . В малой окрестности точки ц этой траектории матричные коэффициенты а „Ь*, с* полагаем постоянными. Тогда в этой же окрестности может быть введена в соответствии с (7.1б) матричная передаточная функцияразомкнутой исполнительной системы И'(р), т.е. (при и, = О) Ч=И(р)а, (7.18) где И'(р) = (Ь*(р)+ И'„(р)) 'И'.
(р), (7.19) причем И'„(р) = Ю '(р)М„(р)— передаточная матрица местных обратных связей, а И. (р) = Ь~ (р)М. (р) передаточная матрица приводов по каналу ошибки. Передаточная матрица замкнутой системы Ф(р), связывающая вектор управления д(~) и вектор обобщенных координат д(~): д = Ф(р)н, (7.20) Ф(р) =(Е+ И'(р)) 'И'(р), аналогичного уравнению, связывающему передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем в теории автоматического регулирования. Можно ввести также передаточную функцию системы по возмущениям ц „полагая, что в отсутствие управляющих сигналов (при и = О ) Ч = Ф.(р)И,' (7.22) тогда Ф„(р) =(Ь (р)+ И'"„(р)+ И',(р)) (7.23) В частном случае линеаризации в окрестности стационарной точки 11' = сопз1, ц' = а' = О выражение Ь (р) в соответствии с (7.12) упрощается и принимает вид 265 имеет следующий вид: Ф(р) =(Ь'(р)+ И'„(р)+ И;(р)) 'И;(р). (7.21) Заметим, что матричное выражение (7.21) нетрудно представить в виде уравнения Ь'(р) = а'р' + с', илн, в случае отсутствия внешних сил, ь"(р)=и р .
Итак, мы гюлучили линеаризованную магематическую модель исполнительной системы манипуляционного робота. Для ее исследования и синтеза можно применять методы теории линейных систем автоматического управления. 7.2. Исследование линеаризоианной модели исполнительной системы 7.2.1. Частотные характеристики н обобщенные показатели качества Возьмем за основу модель исполнительной системы в форме (7.18). Матрица Ь'(р), характеризующая динамику манипуляционного механизма, не является диагональной, поэтому не диагональна и передаточная матрица И'(р) .
Ее диагональные элементы И;,(р) характеризуют преобразование сигнала ошибки 1-го привода в движение 1-й степени подвижности гу,(у). Недиагональные же элементы И;, (р) определяют перекрестные связи, т.е. влияние перемещения по координате гу„на движение 1-й степени подвижности. Введем матрицу амплитудно-фазовых частотных (АФЧХ) характеристик разомкнутой исполнительной системы И (ув) =(Ь*(ув)+И",(ув)) 'И;(ув). (7.24) Здесь И„(ув) =а1аЫИ;,(Ув), И,(Ув) =б(иаИ;,(ув) диагональные матрицы, определяемые характеристиками приводов степеней подвижности манипулятора, причем И'„, (ув) = М„(ув)(И,. (ув), И'„(ув) = М„.
(ув~~УУ (7в) (см.п.7.1.1). Матрица Ь" (ув)=а (ув)'+Ь'(ув)+с* (7.25) характеризует динамику манипулятора в окрестности исследуемой точки опорной траектории. Матрица частотных характеристик И'(уз) описывает работу исполнительной системы в целом. Вид ее диагональных элементов И;, (д») позволяет судить о точности слежения 1-й подсистемы на рабочих частотах и качестве ес переходных процессов. Недиагональные элементы И"„Ог») позволяют определить уро- вень взаимовлияния и диапазон частот, в которых такое взаимовлияние существенно. Выводы о характере взаимовлияния можно получить непосредственно из формулы (7.21), построив амплитудные и фазовые частотные характеристики для замкнутой системы.
Матрицу частотных характеристик замкнутой системы запишем в виде Ф(уа)=(Ь'(д»)+И'„(д»)+0',(дв)) 'И;Цв). (726) Взаимовлияние каналов управления характеризуется прежде всего недиаганальными членами матрицы Ф(/с») . Например, частотная характеристика Ф„(угл) в соответствии с (7.20) определяет влияние управляющего воздействия по второму каналу д, (г) на динамические процессы в первом канале управления„т.е.
на изменение переменной д, (г) . Однако взаимовлияние проявляется и в выражениях для диагональных частотных характеристик Ф„Цг») . Действительно, в том слу- чае, когда взаимовлияние полностью отсутствует и динамика процессов в каждом канале управления определяется уравнениями движения отдельно взятого привода, в выражении (7.21) ь'(Р) = Ь,"(Р) = боаР,",(Р)1. (7.27) При этом выражения для 6,, (Р) зависят от приведенных к валу 1-го привода сил и моментов инерции механизма. Формула (7.27) соответствует случаю, когда работает только один 1-й привод; остальные приводы находятся в «заторможенном» состоянии и, следовательно, нс влияют на работу 1-го привода.
Диагональную передаточную матрицу комплекса отдельно взятых приводов можно представить в виде Фо(Р)=(яо(Р)+Ц(Р)+11',(Р)) 'И;(Р). (728) Передаточную матрицу исполнительной системы с учетом взаимовлияния (7.21) можно выразить через передаточную матрицу Ф, (Р) по формуле 267 (7.29) Ф(р) = Ф(р)Ф, (р), где Ф(р)=МЯр)+ Ц(р)+И',(р)) 'Ус(р)+ Е1 ', у(р) =у (р)-й;(р) матрица, характеризующая влияние перекрестных связей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
