Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(7.37) Здесь фЛ) = сЩЕ+ Р(Л)), (7.38) Р(Л) = 1Ж(Л)ЬО (Л) + М (Л) + М, (Л)1 ' Ф(Л)Ь (Л), Ь(Л) = Ь'(Л) — Ьо(Л). Таким образом, исполнительная система устойчива при выполнении следующих условий: а) устойчивы все отдельно взятые приводы (корни характеристического многочлена 6,(Л) лежат в левой полуплоскости)„ б) корни характеристического многочлена Ст(Л) также лежат в левой полуплоскости. 18* Следует иметь в виду, что (7(Х) — это характеристический много- член, соответствующий введенной выше передаточной матрице Ф(р), определяющей эффект взаимовлияния каналов управления в соответ- ствии с (7.29).
Поэтому смысл условия б заключается в том, чтобы взаимовлияние каналов не нарушало устойчивость системы. Выражение А(Х) связано с выражением передаточной матрицы комплекса отдельно взятых приводов Ф, (р) равенством Р(Х) =Ф (Х)И';'(Х)Ь(Х). (7.39) Поскольку Ь(Х) — матрица, состоящая из полиномов второго по- рядка (см. (7.15)), Ф,(Х)И', '(Х) =(Ь,',(Х)+ И'„(А)+ И',(Х)1 ' диагональная матрица дробно-рациональных функций, то полипом С(Х), определяемый в соответствии с (7.38), также является дробно- рациональной функцией. Это выражение всегда можно привести к виду С~(Х) = с1е1(Е + Я(Х)) =1+ К(Х), (7.40) где К(?~) = Р() )®(Х) дробно-рациональная функция от Х.
Полученное выражение позволяет применить для анализа устойчивости исполнительной системы критерий Найквиста. Действительно, согласно (7.37), получаем Сг(Х) =1+ К(Х) = (7.41) 6о Р") Подобное выражение, являющееся отношением характеристических полнномов, используется прн доказательстве критерия Найквиста (см., например, 154, с.1411).
Однако следует отметить, что при использовании критерия Найквиста О(Х) н 6,(Х) являются характеристическими полиномами замкнутой н разомкнутой системы соответственно. В данном случае их смысл иной: если 6(А) — это по-прежнему характеристический полипом замкнутой исполнительной системы, то Й,(Х) — характеристический полипом комплекса отдельно взятых приводов. Тем не менее это не отражается на ходе доказательства условия Найквиста, которое приобретает следующий смысл: если система, 27б состоящая из комплекса отдельно взятых приводов, устойчива асимптотически (все корни с,().) лежат строго н левой полуплоскости), и годограф КЦв) при изменении в от О до со не охватывает точку ( — 1, уО) на комплексной плоскости, то замкнутая исполнительная система асимптотически устойчива.
Итак, если отдельно взятые приводы устойчивы (это условие выполняется при их регулировочном расчете), то для проверки устойчивости исполнительной системы следует построить годограф К(ув) и воспользоваться критерием Найкниста. Поскольку для этого предварительно нужно вычислить 6(усо), проще построить годограф 6(ув), который в соотнетствии с критерием Найквиста не должен охватывать начало координат на комплексной плоскости. При построении годографа К(ув) или 6(ув), следует иметь в виду, что при в-+ О, как мы уже видели выше„ Ц ув) — э с' — Йад с *; уь (ув) -+ с$1аи с'; )Ф,ь ( ув) -+ Е); (И'„', ( ув)) -+ О .
Таким образом, из выражения (7.39) следует, что при в — + О выполняется условие Р( ув) -+ О, а следовательно, К( ув) — у О и 6( ув) -+ 1. При в -+ со можно положить ус;(ув) =Йайа (ув), ус'(ув) =(а' — Жала")(ув); )И~„,,(ув)~ - О; ~И~„,(ув)~=0, а значит, Р(ув) ж (йааа" (ув)'1 '(а' — Йаяа')(ув)' = (Йада ) 'а* — Е, т.е. У1(ув) при со-+ ос стремится к постоянной матрице, составленной из постоянных коэффициентов. Характеристический многочлен 17(ув) при этом стремится к кон- станте, которую нетрудно найти 1331: с)е1 а' су(ув) = с(ес(Е+ Р(ув) — +с1ефИайа') 'а 1= — „— = с ", (742) П„ ~л Заметим, что полученная величина по модулю не превышает едилицы; таким образом, годограф баев) имеет вид, показанный на рис. 7.8.
Годограф К( усн) выходит из начала координат и заканчивается 277 Рие. 7.8. Голографы характеристического многочлена иелолннгельной системы на вещественной оси в точке, соответствующей ш-+ее: при этом К(1го)-+ К' =Й' — 1<0. При исследовании К(уго) можно вместо годографа строить ЛФЧХ и ФЧХ; при этом для устойчивости исполнительной системы должно выполняться по отношению к 1лп Кого) и атя К(ув) условие критерия Найквиста для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии: ФЧХ не должна пересекать ось ага К(арго) = — тг (или пересекать ее четное число раз) в области, где Ьт К(7го) > О.
В качестве примера на рис. 7.9 показаны ЛАЧХ и ФЧХ, построенные для функции Кого), соответствующей исполнительной системе, рассмотренной выше в примере 7.1. Условие устойчивости выполняется. Подчеркнем, что речь идет о дополнительном условии устойчивости (условие б на стр. 275), характеризующем устойчивость вследствие взаимовлияния каналов управления. Взаимовлияние, определяемое функцией К~в), проявляется только в среднем диапазоне частот 1О с ' < го <1000 с ', как и в рассмотренном выше примере. Заметим, что годограф К(7го) нли соответствующие ему ЛАЧХ и ФЧХ позволяют не только проверить сам факт устойчивости или неустойчивости исполнительной системы, но и установить запасы устойчивости.
Запасы устойчивости по амплитуде н фазе показаны на графике рис. 7.8 (Аа = 6*). При синтезе системы можно задать требование, чтобы запасы устойчивости по амплитуде и фазе были не меньше заданных значе- ний: Ьа<Ла', Лср<Лср . Это требование является необходимым дополнением рассмотренных в п. 7.2.1 обобщенных показателей качества исполнительной системы.
ага К, град В Рис. 7.9. лАчх и Фчх, соответствуивиие годографу к(угв) устойчивой системы Возвращаясь к началу п. 7.2.2, обратим внимание на то, что нами был использован метод замороженных параметров. Следовательно, в каждой точке опорной траектории, относительно которой линеаризована математическая модель динамики, параметры построенных частотных характеристик и характеристических уравнений будут различными. Поэтому анализ устойчивости, согласно рассмотренной методике, необходимо проводить в различных точках опорной траектории, проверяя требования по устойчивости в тех точках, где она оказывается наихудшей. Показатели Ьа,„, Ьср характеризуют устойчивость системы на выбранной траектории.
В частности, если исследуется устойчивость в стационарных точках рабочего пространства„каждая нз этих точек будет обладать своей степенью устойчивости, которую будем оценивать показателями запасов устойчивости. В рабочем пространстве можно определить зоны Г „ в которых запасы устойчивости системы будут не меньше известных значений Ьа,', Лгр,, что позволит правильно планировать выполнение рабочих операций. В том случае, если исполнительны система функционирует в неопределенных заранее условиях и траекторию движения задает человек-оператор или верхний уровень управления в зависимости от теку- щей ситуации, необходимо, чтобы исполнительная система была устойчивой для любых возможных движений. Анализируя это условие, следует проверить устойчивость рассматриваемой модели во всех точках ограниченного объема Зх Ф-мерного фазового пространства обобщенных координат гу и их производных ф, 4 при де Д; де л; деТ..
7.3. Автоматизированный синтез исполнительной системы 7.3.1. Вычисление показателей качества исполнительной системы и отдельных приводов Подведем итог рассмотренным в ч 7.2 показателям качества и устойчивости исполнительной системы. Для выбранной траектории движения схвата или нагрузки манипулятора в каждой ее точке можно вычислить: а) матрицу взаимовлияния каналов управления )г = ~р,„), 1 ~ х; б) ошибку положения схвата, обусловленную взаимовлиянием бд, (см. с. 269); в) средний показатель колебательности переходных процессов М (7.31); г) показатель времени переходных процессов г„(7.32); д) динамическую ошибку положения схвата бг„(7.33); е) запасы устойчивости Ьа, Лср.
В процессе анализа мы показали, как эти показатели могут быть вычислены по соответствующим показателям отдельных каналов управления. При синтезе исполнительной системы в начале должны быть заданы обобщенные характеристики системы, позволяющие сформулировать требования к отдельным каналам управления и отдельным приводам степеней подвижности. Задание этих обобщенных характеристик зависит от конкретного назначения системы.
Так, если манипулятор должен выполнять основную технологическую операцию, связанную с точным манипулированием в пространстве (при измерениях, окраске поверхности, термообработке и т.д.), то основными требованиями будут точность положения и ориентации, плавность переходных процессов и устойчивость. Если скорости и ускорения существенны, то необходимо также учесть динамическую ошибку и взаимовлияние каналов. При полуавтоматическом управлении важную 280 роль играет вид матрицы взаимовлияния и ее отклонение от диагональной.
Требования к соответствующим показателям в данном случае определяются не только условиями технологического процесса, но и эргономическими требованиями, обеспечивающими зффективное участие человека в управлении манипулятором. Теперь, согласно приведенным выше формулам (см. п. 7.2.1), можно задать требования к отдельным приводам по каждому из перечисленных показателей, т.е. по уровню взаимовлияния в 1-м канале, колебательности М„времени переходного процесса г„„динамической ошибке ба„, и устойчивости Ла,, Лср,.
«Распределение» требований по приводам можно осуществить многими способами. Здесь проявляется опыт проектировщика. Например, при задании допустимого времени переходного процесса г„, он должен представлять себе, как соот- носятся времена переходного процесса, достижимые с помощью приводов «тяжелых» степеней подвижности и более «легких», например приводов «кисти» манипулятора. 7З.2.
Расчет приводов исполнительной системы. Синтез корректируиощих устройств и регуляторов После того, как определены требования к исполнительной системе в целом и к каждому из ее приводов, происходит процесс расчета приводов системы. Если он оказывается неудачным при имеющейся неизменяемой части системы и выбранных показателях, их можно перераспределить еще раз по приводам манипулятора, сохраняя значения обобщенных показателей качества. Ранее в п. 7.2.1 было установлено, что во многих случаях взаимовлияние каналов управления является дополнительным фактором, не оказывающим решающего влияния на показатели качества исполнительной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
