Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(6.39) в котором производные от 'Н(11) в квадратных скобках определякпся формулами, приведенными в ~ 6.1. Как было показано, задача их вычисления сводится к определению частных производных элементов ,Я(д) по обобщенным координатам д, на каждом шаге интегрирования. Учитывая, что .УУ =,У; (р, Ч), У = .У (р).У„(~У) „ можно записать =(У~.У„;) М (У .У )+(У;.Ур)М„(У,.УУ)', (6.42) где (.У'У„')' = (.У')'.У; +.У' (.У„')' = Заметим, что векторы — — -, у =1, 2, ..., Ж, определяются матриар 1 цей .УУ(р, д). Вычисляя на каждом шаге д и ф, можно приближенно найти р из уравнения связи (6.32) и, рассчитав все составляющие, которые входят в уравнение (6.41), определить из него ф.
После двукратного интегрирования процедуру необходимо повторить. Пример 6.1. Для кинематической схемы манипуляционного механизма с замкнутым контуром (рис. 6.3, а)„характерным для гидравлических манипуляторов, обобщенные координаты»1,, д, можно выбирать обычным способом. Онн однозначно определяют положение мсханизма.
В частности, для характерной точки А схвата получим х = 1,„созд, +1,„созд,, у=1„я1пд, +1„з1пд,. (6.43) Разрывая замкнутый контур (см. рис. 6.3, б) и вводя новые обобщенные координаты углового р,, р„р, и поступательного р,.перемещений, запишем уравнения (6.32), связывающие новые р,, р„р„ р, и базовые д,, гУ, обобщенные координаты: Р,-У,=О, Р,-д,=О, 11 созсс~ +(1з +14 + Ра)соя(рз Ог) 11 1г соз(ссз + Рг) 1,"япсс, +(1, +1, + Р,)яп(Р, — аг)-1г яп(из + Р,)=0.
(6.44) Рис. 6.3. Кинематическаа схема манипулкнионното механизма с замкнутым контуром Смысл третьего и четвертого уравнений заключается в том, что эти уравнения выполняются при наложении связи (восстановлении замкнутого контура); они записаны в проекции на направление Оа и ортогонального к нему. В качестве характерных точек четырех полученных звеньев выберем их центры масс. Считая для простоты для первых двух звеньев, что соответствуюгцие точки лежат в середине отрезков 1„, 1„, получаем в проекциях на ось ОХ: х, =(1а12)сов рз, хг =(1гс12)созР +1а созР,, зсз =(1з+1з/2)соз(рз аг + Р,)+1,"сов(а, + Р,), х, = 1,"соз(а, + р ) + (1, + р, + 1„'/2)соз(р, — а, + р ).
(645) Уравнения в проекциях на ось «1)' записываются аналогично. Эти уравнения в совокупности и составляют систему (6.33), определяющую связи в частично разомкнутой цепи, причем х=(х,у> х,у, ... х„.у,,)'. Предполагая, что масса звеньев сосредоточена в их центрах, имеем «2«24 (зп>Е2 2~ 2 >2>ЗЕ2 22>4Е2) Определим якобиеву матрицу ./„(Р) = о 0 о — (1,4/2) яп р, (1„/2) со5 р, (1>4/2) 5>п Рз 0 0 -1„яп р, 1„со5 р, — (1„/2) со5 р, 0 0 с'>5(рз аз + Рз) 5>п(рз аз + Рз) (6.46) Найдем также матрицы О О О О 12 з(п(из+ рз) (14 +14 +Р4)япз(рз а,) соз(р, - и,) 12 соз(из + Р2 ) (1> + /4 + Р4 )соз(рз аз ) з>п(рз из ) ΠΠ— (1/Л)5>п(р, — а,) (1/2>)соз(р, — а,) соз(р, -а,) яп(р, — а,) (1,/1З)соз(аз + а.
+ Р, — Рз) 1> 51п(аз + аз + Рз Рз) -(1з +1,'/2)яп(р,— — а, + р,) — 1,"5>п(а, + р,) (1, + 1,'/2) соз(р,— — а, + р,) + 1,"со5(а, + р,) — 1 5Б>(а, + Р )- (1з + 1>, + «1„'/2)яп(рз — а, + р,) 1,"со5(а, + р, ) .— «1, + р, + +1„'/2)соз(рз -а„+ р,) — (1> + 1> /2) . яп(р, -а, + р,) (1> + 1>/2). -соз(р, — а, + р,) — (1, + р, + 1,'/2) . '5>П(рз аз + Р>) (1> + Р4 + 14/2) ' соз(р„— а, + р,) 0 -1 0 0 0 0 Определим, наконец, 1 0 0 1 г у.
1у 0 (1,/Л)соз(п, + сс, + Р, — Р,) 1г з)п(а~ + и~ + Р~ Рз) Заметим„что в рассматриваемом примере матрицу,77 проще най- ти путем непосредственного дифференцирования уравнений связи и определения из них зависимости Р от 4 . Кинетическая энергия механизма в новых координатах равна 1 ., К =- Р',Ч(Р)М„.7,(Р)Р, 2 где,7 (Р) определяется формулой (б.4б). Вычисляя производные матрицы (Р) (Р), (Р) можно получить движение механизма, используя уравнение (б.15): "4(Р)Р+ Д-~(Р)Р Р=Я'К, +И, (б.47) где г '(ч) 7' 246 решая его совместно с уравнениями связи (6 44). Эту задачу, как мы видели, можно решать с помощью множителей Лагранжа, т.е.
применяя уравнения Лагранжа первого рода. Согласно рассмотренному выше подходу, следует вернуться к переменным 11 и записать кинетическую энергию в виде 1 К = — Д'Я(юУ)4, 2 Теперь можно интегрировать непосредственно уравнения (6.41), определяя производные от матрицы Я(11) с учетом формул, приведенных в ~ 6.1. Поскольку эта матрица зависит от р, то на каждом шаге необходимо решать уравнения связей (6.44), определяя новые значения обобщенных координат р, соответствующие полученным при интегрировании на одном шаге значениям д.
Приближенно эта задача может быть решена путем линеаризации уравнения связи в форме (6.30). При достижении координатами предельных значений Р,", обусловленных конструкцией механизма, происходит наложение дополнительных связей на его движение. К уравнению (6.32) в этом случае добавляют Р, = сопзг = р,', что приводит к изменениям матрицы .У„(р) и выражения для кинетической энергии К. Обозначим Р значения скоростей обобщенных координат в момент, предшествующий удару,,У (Р) — соответствующую матрицу, вычисленную после наложения связи.
Тогда, согласно теореме Карно, в предположении, что удар является абсолютно неупругим, получим 1-., —, 1., — РтУ,'(Р) У. У,(Р)Рт= — Ро У,'(Ро)11У, У;(Ро)ро- (648) Отсюда можно найти начальные значения производных Р для последующего интегрирования уравнений движения с наложенными связями и производных ф,=,У Р. Практически достаточно решить уравнение У„(Р)Р = У,"(Р,)Р,. Поскольку Р = р„получаем Р0 =(У,"'(Р)) ' У„(Р)Р. (6.49) Аналогичный подход следует применять и при наложении внешних связей, например при сборке.
В момент удара необходимо определить новые начальные значения скоростей обобщенных координат в соответствии с теоремой Карно, после чего интегрировать уравнения движения с наложенными связями тем или иным способом. 247 6.3. Принцип Гаусса 6.3.1. Общая формулировка принципа Гаусса Я=~ — т, и~,— — -'- и~,+ — ' (6.50) где и', =г, — ускорение точек; Г, — действующие на них силы. При Гг этом и, — истинное ускорение, а — ' = н, — ускорение свободного т, движения.
Таким образом„принуждение — это скалярная величина, имеющая в каждый момент времени смысл среднего (для системы материальных точек) квадратичного отклонения истинного ускорения от ускорения свободного движения. Пригщип Гаусса заклгочается в том, что в каждый момент времени истинное движегсие системы происходит гпаким образом, что принуждение минимально. Поскольку единственными переменными в выражении (6.50) являются ускорения, то в соответствии с принципом Гаусса эти ускорения выбирают из условия минимального принуждения птгпЯ(гег, ..., в„) (6.5 г) Как известно, уравнения движения могут быть получены на основе вариационных принципов механики. Принцип Гаусса относится к числу вариационных принципов дифференциального типа.
Он является наиболее общим принципом механики и позволяет получить уравнения движения системы при наложенных связях, как голономных, так и неголономных. Напомним, что принцип Даламбера — Лагранжа справедлив только для голономных и линейных неголономных связей. В основе принципа Гаусса лежит понятие прггнуэгсдения (Ъгапф, под которым поггимшот меру отклонения истинного движения, происходяи<ег<г при наложении связей, от свободного движения, которое имело бы место в их отсутствие. В частности„для системы материальных точек с массами тг, г = 1, 2, ..., Ф, принуждение определяют следующим образом: при дополнительных ограничениях, определяемых уравнениями связей.
В общем случае эти связи могут быть нелинейными и неголономными„и их уравнения имеют внд ~р!(г„..., г,„г„..., г„, 1) =-О. (6.52) 11родифференцировав левую часть этого равенства по г, получим выражение вида д д я ' ~ + ф(г, ~, г) = ',! С„и, + Ф(г, г, ~) = О. (6.53) дг !:! Итак, задача сводится к определению ускорений и,. из условия минимума выражения (6.50) при линейных относительно и, ограничениях (6.53). Эту задачу можно решить с помощью множителей Лагранжа, однако значительно более эффективным приемом является непосредственная (численная) минимизация принуждения, например с использованием методов динамического программирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
