Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 6
Текст из файла (страница 6)
На основе уравнений (5.13), (5.14) составьте общее уравнение рекурсии для определения сил и моментов р, когда манипулятор имеет как поступательные, так и вращательные пары. 228 3. Напишите соотношение, определяющее силу реакции и момент реакции опоры манипулятора: а) имеющего три вращательные пары, образованные звеньями, расположенными в одной плоскости; б) имеющего кинематическую схему типа 8САКА. 4. Объясните, почему для вычисления сил и моментов, действующих на звенья манипулятора, целесообразно применять метод обратной рекурсии.
5. Составьте алгоритм вычисления снл и моментов реакции звеньев манипулятора, имеющего плоскую трехзвенную конструкцию с вращательными парами, если заданы значения обобщенных координат, т.е. текущее положение манипулятора. 6. Составьте алгоритм вычисления эллипсов развиваемых сил для плоского двухзвенного манипулятора. 7.
Поясните, для решения каких практических задач можно использовать эллипсоиды развиваемых манипулятором сил. 8. Что характеризуют главные оси эллипсоида сил: их величины или направления? 9. Запишите рекуррентные соотношения, позволяющие вычислить силы и моменты инерции одновременно с компонентами скоростей и ускорений. 1О. Сформулируйте первую и вторую задачи динамики применительно к манипуляционному механизму. 1 !. Запишите уравнения кинетосгатики для плоского трехзвенного механизма с вращательными парами. 12.
Запишите уравнение кинезостатики для трехзвенного механизма с поступательными парами, работающего в декартовой системе координат. !3. Запишите блочные матрицы Я, Я, .У, для механизмов, рассмотренных в п. ! 1 и 12. 14. Как определяется эллипсоид допустимых ускорений? 15. Что такое мера динамической манипулятивности? 1б. Что характеризует условие равномерности распределения векторов ускорения? 17.
Чем характеризуется свойство приемисюсти манипулятора? 18. Как определяются показатели динамической манипулятивности? 229 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАНИПУЛЯТОРА В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА. ПРИНЦИП ГАУССА В главе 5 подробно рассматривалось применение метода кинетостатики для анализа динамических свойств манипуляторов. Наряду с концептуальной простотой, удобством для составления компьютерных программ моделирования 'движения, метод обладает ограничениями.
Так, существенные трудности возникают при наложении дополнительных кинематических связей на движение звеньев исполнительного механизма робота. Это может иметь место, например, при анализе движения манипулятора, кинематичсская цепь которого содержит замкнутые контуры, или при выполнении с помощью манипулятора различных механических операций, таких, как сборка, обработка поверхности. Для анализа динамики манипуляционных механизмов в подобных случаях более эффективными оказываются модели движения в форме уравнений Лагранжа, а также применение принципа наименьшего принуждения 1 аусса. Другой причиной, способствовавшей широкому применению этих методов, является поиск подходов, позволяющих получить численные алгоритмы моделирования движения сложных механизмов, наиболее эффективные с точки зрения затрат машинного времени.
В главе 6 кратко изложены методы, основанные на уравнениях Лагранжа и применении принципа Гаусса для анализа динамики манипуляторов. Более подробно эти методы описаны в литературе [7; 45~. 6.1. Уравнения Лагранжа второго рода 6.1.1. Структура уравнении Уравнения Лагранжа второго рода применяют в предположении идеальности всех связей, наложенных на движение системы тел. Эти (6.1) где К вЂ” кгзнетическая энергия механизма; Д вЂ” вектор обобщенных сил. Используя обозначения, принятые в гл.
5, запишем выражение для кинетической энергии К = — (оз'1го+н'тн)= — х'М„х, М„=~ 2 2 "' " )О 13' где х = (и щ)' — вектор линейных и угловых скоростей звеньев в абсолютной системе координат; газ, 1 — матрицы, компоненты которых соответствуют массам и тензорам инерции звеньев. Согласно формулам, приведенным в п. 3.1.3, получаем х = Я" з1 и, следовательно, 1,, К= — д' 4у, 2 (6.2) где -т1 = В;,гнВ,. + В„'1 В =%'М„З (6.3) матрица, полученная нами при составлении уравнения движения в форме Даламбера (см.
(5. 52)). Заметим, что процедуру составления матрицы тт' можно интерпретировать как результат наложения геометрических связей, обусловленных кинематической схемой манипуляционного механизма !!аломним, что голономными называют связи, наложенные только на координаты системы (геометрические связи).
231 связи могут быть только голономньгми . При составлении уравнений Лагранжа вначале необходимо определить вектор обобщенных координат, включающий в себя минимальное число независимых параметров, однозначно определяющих движение системы. Выберем в качестве вектора обобщенных координат, как и в гл. 5, вектор г1 относительных перемещений звеньев.
Рассмотрим механизм, образующий разомкнутую кинематическую цепь, не имеющую точек ветвления. утраененне Лагранжа второго рода для этого механизма имеет следующий вид: .=У(У), (6.4) на движение его звеньев. Если обозначить якобиеву матрицу преобразования (6.4) то получим 1., К = — и'.У'(в)М„,У (о)о. Следовательно, Л =,У;(у)М„,У,(гу), Я =.У,,(д) . (6.5) Обобщенные силы в уравнении (6.1) Д =Я О, ... Д„)' определяют исходя из того, что элементарная работа всех действующих на систему активных сил может быть представлена в виде ЬА = ~Яда, = ЬУ'Д. (6.6) На манипулятор действуют внешние силы и моменты Г., М., а также силы и моменты 1г, развиваемые двигателями в степенях подвижности.
Вычислим элементарную работу этих сил при изменении обобщенных координат бд. С учетом формул, приведенных в гл. 5, получим Ьд'Д = бп'(В„'Е, + В„'М, + и) . (6.7) Это равенство должно выполняться для любых Ьд „следовательно, Д= В,",Х, + В'М, +р =Й'Х, +р. (6.8) (д(У д(У 1 В;,Г, =8гаЖУ= дУ дУ~ а значит, (6.9) 232 Пусть, в часпюсти, М. =О, а внешние силы — потенциальные. Тогда существует такая непрерывная и дифференцируемая функция (У = гУ(д„..., д,, ) (потенциал), для которой выполняется соотношение Уравнение Лагранжа (6.1) в этом случае можно записать в виде (6.10) где Е = К + У вЂ” кинетический потенциал (функция Лагранжа). В частности, если система находится только под действием сил тяжести, то Е, = 6, а (У = — Г, где г' — потеицшиьная энергия механизма.
Ее нетрудно вычислить по формуле Г= ~~~ т яр„. (6.1 1) Здесь р„— радиус-векторы центров масс звеньев относительно нача- ла неподвижной системы координат. 6.1.2. Связь между уравнением Лагранжа н уравнением кинетостатнкн Для рассмотренной в п. 6.1.1. разомкнутой кинематической цепи без точек ветвления уравнение Лагранжа второго рода после необходимых преобразований совпадет с уравнением движения (5.52), полученным выше по принципу кинетостатики.
Чтобы показать это, найдем составляющие уравнения (6.1). С учетом симметрии матрицы Я(д) получим дК вЂ” = ~х(д)д. дд Таким образом, с(1 дК1 — — ~ — ~ = .Я(д)д'+ — — (М(д)д) = ч'(д)д+ Я(д)д, (6.12) й дд .(г где '~(д) = ч(д, д) =~ — "~=~~ ' д,, а,э(д) — элементы мат~а) ~,, д„ рицы А(д) . Последнее выражение можно определить путем непосредственного дифференцирования по времени матрицы ч'(д), полученной выше в виде (6.3): л 4(д) = .Я(д, д) = Я'М„Я+ Я" М„Я. Далее находим с учетом (6.2) дК дК дК дК 1 ., д~УИ)Ч (6.13) Выражение, заключенное в скобки в правой части равенства (6.13), можно представить в виде ЙЯ(у)ф ( д .
д — А(у)ф ... — И(у)а ду ~да, "' д~, где Таким образом, это выражение определяет Ух Ф -матрицу вида = ~„д,— з; (,к=1,...,У. (6.14) Подставляя выражения (6.8), (6.12) и (6.13) в уравнение (6.1), имеем ~уСч)ч'+ 'у((у) — — ~ ) ч=й'(чР.+р. 1(ЙЯ((у)~у 1 ) . 21, дгу ) ) (6.15) Вычисляя производные матрицы У(а) в аналитической форме, получаем уравнение движения манипулятора в форме (5.52). 6.1.3. Численное решение уравнений движения 234 Выше мы рассмотрели способы численного решения уравнения (5.52).
Однако для этого, т.е. для моделирования движения манипулятора, можно использовать и непосредственно уравнение (6.15). В этом случае на и-м шаге по значениям д'"', ф'"' методом конечных разно- дЯ®ф стей вычисляются производные Я(~у) и . Из приведенных ду выше формул следует, что они включают частные производные элементов матрицы обад) по у. Эти частные производные можно приближенно найти по формуле да„(юу) а„(д+ Лд„) — а„(у) ду, М где Ч+»зЧ» =(% "- Ч» ы Ч»+ФЬ Ч».1 " Чя). Таким образом, на каждом шаге необходимо приближенно вычислить 1т» частных производных для каждого из Ф элементов матрицы А .
Определив частные производные, можно вычислить ускорения обобщенных координат„используя формулу После двукратного интегрирования этих ускорений определяем значениЯ»1'"' ' и»)'"' ' = »2(Гя + ЛГ), ЯвлЯющиесЯ начальными длЯ следующего шага вычислений. Метод, основанный на непосредственном интегрировании уравнений вида (б.15) называют методом Лагранжа — Эйлера. Он требует обычно болыпих затрат машинного времени, чем метод Ньютона— Эйлера (см. гл. 5). Кроме того, уравнения (б.15) получены при определенных допущениях, которые можно не учитывать при составлении уравнений движения в форме уравнений кинетостатики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
