Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В последнем случае эти силы и моменты, действующие в соответствии со сделанными предположениями, в плоскости, ортогональной к оси первой кинематической пары, определены выше уравнениями (5.2) и (5.4). Обозначая силы н моменты, действующие на (1 — 1)-е звено со стороны последующих звеньев через Я, „М„, „получаем уравнения, аналогичные (5.2) и (5.4): 5.2. Анализ рабочих сил и моментов 5.2.1. Силы н моменты, развиваемые двигателями манипулятора При выполнении рабочих операций манипулятор развивает управляемые силы Г„и моменты М„, приложенные к последнему звену„в котором закреплен рабочий инструмент. Иными словами, Г, н ̄— это силы и моменты, развиваемые рабочим инструментом.
Фактически управление манипулятором осуществляется силами и моментами 1г,, М„= — М,, Внешние силы и моменты Г,, М„,, у'=1, ..., Ю вЂ” 1, действующие на остальные звенья манипулятора„будем считать известными. В большинстве практических задач М„= О, а Г„= 6,, т.е. внешние силы, действующие на звенья манипулятора, являются силами тяжести. В соответствии с уравнением (5.9) имеем Л»-1 Ф-! г,', (1 — о,)ХГ„. +о,~(М., +Цр,. „)Г„)— !=» (=» — ~,'.,[(1 — о,)Г„+а,.(М +Цр... )Г„,)]+р, =О, 1=1, 2, ..., Ж. (5.19) В частности„в отсутствие внешних сил и моментов Г... М„,, ~=1,..., Ф-1, 1г, = ~,',[(1 — о,.)Г„+о,.(М„+Цр...„)Г,,)].
Вводя блочные матрицы (см. и. 3.1.3), (яо я~ " зи. з )» Л(р) = йая(Л(р )Л(р, „)... Л(р, )), о=йая(о,о, ...а,„), запишем равенство (5.20) в векторной форме: »»» я ~(Е о)~л +о(Мк +А(р)~и~)1» (5.20) 201 развиваемыми в степенях подвижности манипулятора его двигателями. Поэтому для организации управления необходимо определить р, в зависимости от Г, М„,. В условиях статического равновесия Г и М~ уравновешивают внешние силы и моменты, действующие на Ж-е звено, т.е. Г . = — Г„,, или (см.
(3.30), (3.32)) р =,Х'У;д, (5.21) ГЕ,,1 где К„=~ ~; .У' =(У„' .У;) =((г'1(Š— а)+аЛ(р)ф (~'а) ) транспонированная якобиева матрица, полученная в ~ 3.1.3 при анализе скоростей Ж-го звена манипулятора. Нетрудно получить в матричном виде и выражение (5.19), если ввести дополнительно блочную треугольную матрицу Е, О О ... 0 Е, Е, 0 ... 0 Тогда р' = а'~(Е-а)Г +а(М„+Х(р„)Г„))— — х'[(Š— а)У'Г, + аУ'(М.
+ Цр)Е,)1, (5.22) или (5.23) И Ияи+Рк где Р,.„=~ ~„, Рг.=~( ' . ~.=(,, ~.„, О)', в М, =(М„... М, „,, 0)', Я' = (х'1(Š— а)(У'+а(У'Х(р)~ а'а У'). В выражении (5.23) и,, „— моменты и силы двигателей, позволяющие развить требуемое рабочее усилие, а р, —. моменты и силы, предназначенные для компенсации внешних снл и моментов, действующих на звенья манипулятора, в том числе сил тяжести. 5.2.2.
Эллипсоиды допустимых сил Полученные соотношения позволяют не только определить моменты и силы двигателей, но и необходимую их мощность. Поскольку эта мощность всегда ограничена, можно найти область значений сил, которые могут быть развиты двигателями манипулятора. 202 ,. (11 2 ге 2 (5.26) Предположим теперь, что внешние силы и моменты либо отсутствуют, либо компенсируются специальными механическими устройствами (системами разгрузки)„т.е. справедливо равенство (5.21), Тогда для каждого положения манипулятора, т.е. фиксированного значения вектора обобщенных координат д, получим условие лги А(Д)ти < Р', (5.27) () 1, ~.(п) =.7(Ч)й. й~ ~, ~.7'(7) .
Ю (5.23) В частности, если требуется развить рабочую силу Г„, то это не- равенство примет вид ~х'~к(ч)~ и — Р (5.29) где . ( 1 1 , А, (д) =.У„(г7)йай~ —, У„'(4). 1 (5.30) Коэффициент к,. был введен для электрических двигателей прямого управлеиия (моментных, безредукторных), поскольку справедлива линейная зависимость между величинами П, и Я (об). Однако он имеет смысл и для обычных двигателей постоянного тока, так как определяет эффективность силового модуля. 203 Обозначим через Р= ,'э Р, суммарную мощность, расходуемую гы двигателями манипулятора, и введем коэффициент (5.24) характеризующий эффективность преобразования энергии в движущий момент каждого из двигателей.
Тогда ,. (11 (5.25) Поскольку суммарная мощность ограничена некоторым значением Р*: Р < Р', можно записать Геометрически неравенство (5.29) характеризует множество допустимых значений вектора рабочей силы в данном положении манипулятора, определяющее эллипсоид в его рабочем пространстве. Направление главных осей эллипсонда соответствует направлениям собственных векторов квадратичной формы Е,, а их величины определяются собственными числами матрицы Е„. и значением Р . Если К вЂ” матрица, приводящая Е, к диагональному виду, т.е. Л'ЕЯ = ЙафХ,.), 1=1, 2, ..., Ж, )ЕГ Хк то получим уравнение эллипсоида, ограничивающего область допустимых значений сил: 1'х,~ Г„' Йай~ ' ~к =1.
1~2Р л (5.31) Гг* Г~* плп /с — и гпах Й ~ —. ю | 1 ~х Г У В частности, при А, =/с=сопз1 величины к н /с — опредепив пнп ляют минимальное Г.„и максимальное Г„значение рабочей силы (рис. 5.3). Матрица Я характеризует ориентацию эллилсоида допустимых сил относительно базовой системы координат. Для того чтобы оценить энергетическую эффективность манипулятора, зависящую как от типа двигателей, так и от его кинематической схемы, вводят показатель Х (Вт/Н): Х = — 1гасе Е, — 1 (5.32) У который характеризует среднюю величину диссипации энергии.
Поскольку 1 Ф 1 й — 1гасеЕ = — ~~~ 1„= — ~~ Х,, Ф У;.,' Ф,, то Х соответствует среднему значению характеристических чисел матрицы Е. 204 Минимальная и максимальная полуоси этого эллипсоида равны соот- ветственно Рис. 5.3. Эллипсоид допустимых сил Пример 5.1. Построить области допустимых значений рабочих сил для манипулятора с параллелограммной схемой кинематнческой цепи (рнс. 5.4). Р е ш е н и е. В соответствии с обозначениями на кинематической схеме получим уравнения, связывающие координаты х, у конечной точки С кинематической цепи с обобщенными угловыми координатами д,, О,: Рис. 5иь Манипулятор с параллслограм- мной схемой кинематияеской цепи 205 Учитывая, что рабочие силы обратно пропорциональны характеристическим числам, можно сделать вьшод: чем болыпе Х, тем меньшие в среднем рабочие силы могут быть развиты манипулятором, т.е.
тем больше дисснпация затраченной энергии. Эллипсоиды сил могут быть построены в каждой точке рабочей зоны манипулятора, Они характеризуют возможность управления силами, развиваемыми манипулятором, и позволяют определить направления, в которых может быть развита максимальная сила. Отметим, что в используемых в настоящее время манипуляторах непосредственное управление силами н моментами двигателей применяется редко. Электрические моментные 1безредукторные) двигатели позволяют осуществить такое управление. Для манипуляторов, оснащенных подобными двигателями, анализ областей допустимых сил имеет особенно важное значение 1661.
х=1, сояц, — 1, сояц„ У=1,зшЦ, — 1зз1пЦ,. Для скорости перемещения этой точки запишем следующие уравнения: х = — 1!Ц! з1пЦ! + Ц111 Я1п Цз, .У =!!Ц! сОвЦ! — 11Ц1 совЦз. Отсюда следует, что якобиева матрица равна 1 ,.(ц) = — 1,ЯпЦ! 11з1пЦ,~ 1, совц, — 1з совц,) Предполагая, что известны коэффициенты эффективности преобразования энергии 1с! и Й,, получаем Х =-./,,(ц)йай~фс,' 11!Й,')У;,(ц) = — (з!пц ) + — 1ззпц ) 11 ! 12 з 11 ! 2 1гз 2 2 — — СОЯЦ З1ПЦ вЂ” — ЯПЦ СОЯЦ ! з ! г соьц, ып ц, — соьц, з1пц, —,(сояц!) + —,(сояц,) ! 2 ! з (5.33) Распределение эллипсов допустимых значений сил в пределах рабочей зоны, вычисляемых по формуле (5.31), показано на рис. 5.5'. Из рисунка ясно, что максимальная сила направлена по оси последнего звена.
Важно, что диапазон рабочих сил при использовании нггралг!елогралгиной схемы меняется незначительно в большей части рабочей зоны, что упрощает программирование соответствующих рабочих операций. Средний показатель эффективности данной схемы (см. (5.32)) не зависит от точки приложения сил и составляет (5.34) Расчеты выполнены для робота с двигателями прямого действия, разработанного в Массачуссетском Технологическом Институте; его харалтеристики приведены в работе 166, с.
55-571: 1,=04 м, 0 =065 м; 35'<я,<170". При Р =! кит максимальная рабочая сила составляет 190 Н. 206 Рис. 5.5. Распределение эллипсов допустимых сил в рабочей зоне манипулятора Отметим, что такой благоприятной особенностью обладает не всясая кинематическая схема. Это видно из следующего примера. Пример 5.2. Определить среднее зназенне диссипации энергии л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
