Зенкевич_Упр.манип_02 (962914), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рис. З.В. Двухзве!!н! !й плоский манипулятор Решен ие. Матрицы положения звеньев задаются следующим образом: О О 1 О О О О 1 Я! Р, 7=А = ООО 1 ~!2 О а«с! + с!2) з!2 с12 О а(ж! + ю!2) Р2 Р, О О 1 О ООО 1 О О О 1 Проиллюстрируем оба описанных выше способа вычислении матрицы Якоби. В соответствии с первым способом матрица Якоби имеет вид где ~ =а! =«О, О, 1)', Заметим, что РО,2 Р2 «а«е! + с!2) а«Я! + Я 2) О) Р12 РО2 Р, Р2 Р! ««ас! 2 ! 2 ) О) В терминах решаемой задачи это означает следующее. 1.
Если число степеней подвижности манипулятора %=6, т.е. матрица Якоби является квадратной„то необходимо рассмотреть два случая. Пусть при некотором д выполнено условие Йе1.У(~у) ~ О, т.е. матрица Якоби невырожденная, тогда обратная скоростная задача имеет в качестве решения единственный вектор ф=,у '(у)ю.
(3.155) Если при некотором у выполнено условие де1,У(~у) = О, (т.е. ~ = напк(.У) < 6), то обратная скоростная задача либо имеет бесконечно много решений, если выполняется условие гагй(,У) = гай(,У, х), (3.156) либо не имеет ни одного, если условие (3.156) не выполняется. Такие конфигурации манипулятора у, при которых Ое1,У(у ) = О, называют вырожденными. Таким образом, вырожденная конфигурация характеризуется тем, что для нее либо существует бесконечно много способов Реализовать движение схвата с заданной скоростью, либо не существует ни одного способа.
2, Если число степеней подвижности Ж > 6, то решений обратной скоростной задачи либо бесконечно много, либо не существует вовсе. Манипуляторы с числом степеней подвижности Ф > 6 называют избытОчными. Их применяют обычно при выполнении различных операций в загроможденном пространстве, когда требуется избежать столкновений с препятствиями в рабочей зоне. В данном случае используется способность манипулятора при одном и том же положении схвата принимать различные конфигурации. Заметим, что управление такими манипуляторами существенно сложней, чем манипуляторами с числом степеней подвижности Ф < 6. 3.
Если У <6, то возможна любая из перечисленных выше ситуаций: отсутствие решения, единственное решение и бесконе~~ое множество решений. Обычно манипуляторы с числом степеней подвижности Х < 6 применяют для выполнения простых транспортных операций (загрузка — разгрузка станков, обслуживание конвейеров), т.е. когда не требуется обеспечивать перемещение схвата в любую точку рабочего пространства с любой ориентацией. Пример 3.2. Пусть имеется двух~венный плоский мавипулятор ~см. рис. 3.8). Рассмотрим только линейные скорости схвата.
Из соотношения ~3,151) имеем Поскольку матрица Якоби квадратная ~2 х 2), то (Ы,7 = 32 ! де1.У~~у„яп) = О, что соответствует либо полностью вытянутой ~рис. ЗЗ, а), либо сложенной (рис. 3.9, б) «руке». Нетрудно видеть, что в вырожденных положениях имек>т место следующие равенства: для вытянутой «руки» ~~у, = 27Й) — 2аз, — аз, ,У= 2ас, ас, для сложенной «руки» (д, = 2лф+ 1) ) О ах, О Рис. 3.9. Вырожденные конфигурации для плоского манипулягора 142 В обоих случаях развиваемая скорость схвата ~у не является произвольной, но удовлетворяет соотношению С~ =О, 1 т.е.
перпендикулярна «руке», либо вообще равна нулю при 2д, + д, = О. Таким образом, при д, ~ лп обратная задача о скорости имеет единственное решение. При ~, = ~~~ 1) не имеет решения, если командный вектор скорости ~ = ~~„~, ) не удовлетворяет соотношению у„с! — у х) =О ' 2) имеет бесконечно много решений, если вектор скорости удовлетворяет указанному соотношению, и их можно представить В Виде д, =-2~ — ~и~~а, ГДЕ 1 — ЛЮбОЕ дЕйСтвиТЕЛЬНОЕ чиСЛО, Безусловно, что в случае практической реализации необходимо учитывать Ограничения й-'ч... !ч!-'ч. Процедура по~~~а решени~ уравнени~ ~3.152) часто является одной из компонент алгоритма управления манипуляторами, и, более того, вычислительная сложность процедуры обращения матрицы Якоби определяет эффективность алгоритма управления в иелом.
Очевидно, что наиболее эффективный результат можно достигнуть, если удастся получить аналитическое решение системы ~3.152) в виде д, =а,'.(д)ы+Ь,'®м, ~ =1, 2, „., М. Несмотря на то, что для шестизвенных манипуляторов возможно обращение функциональной матрицы /~д) размеров бх 6, однако вычислительная сложность этой процедуры чрезвычайно высока: по крайней мере, в настоящее время не существует представления матрицы / '(у) в замкнутой форме для манипулятора с произвольной кине- матическОЙ Схемой.
К счастьЮ, СуществуЕТ довольНО широкий класс манипуляторов, для которых возможно получить аналитическое представление обратной матрицы Якоби. 143 В заключение заметим, что аналитическое обращение матрицы Якоби возможно также в том случае, если механизм содержит три поступательных шарнира. Продемонстрируем этот подход для решения обратной задачи о скорости для манипулятора Р1)МА, ~001 + ~1д2 + ~2д, + ~3д4 + ~„Д, + ~,д = Ю, «3.168) «~0 "РО,Ь)Ч1 + «~1 " Р1,Ь)Ч2 + «~2 "Р2,6)Ч3 + «~3 " Р3,6)Ч~ + + «~, х Р„,)д, +«~, х Р,,)о, =~. «3.169) Заметим, что кинематическая схема манипулятора такова, что оси ~„ трех шарниров пересекаются в одной точке «О„О,) (см, рис. 1.22), следовательно, можно воспользоваться подходом, описанным вышее.
Умножая уравнение «3.168) векторно на Р,, и вычитая его из «3.169), в силу коллинеарности Р, „и ~,, Р,, =О, получаем (~0 " Ро,~)Ч1 + «~1 )~ Р1,4)Ч2 + «~2 ~ Р2,4)Ч3 = ~ — ~ )» Р0,4 = ~~ . «3.170) В соответствии с «3.163), «3.164) имеем ~~4 «~1 Р1,4)«» 2 Р2,4)1 Ч2 К~0 РО„4 ) 4 «4 2 Р2,4 )1 *, «3.172) ~123 ~«~0 " Ро,~ )«~1 "Р1,4)~41 123 где В„, =[(с, х р„,)[~, х р,,)(~, х р,,)] — детерминант системы уравнений «3.170).
Упростим теперь соотношения «3.171)«3.173), используя полученное в ~ 2.1 решение прямой задачи кинематики в рекуррентной форме «см. пример 2.2). Вычислим сначала В. В соответствии с «3.164) 123 «~0 РО,4 )1«4~1 Р!,4 ) «4~2 Р2,4 )1 ' «3' 1 7 «) «3.171) П р и м е р 3.3, Решим обратную скоростную задачу для манипулятора Р1)МА «см. рис. 1,22). Поскольку все сочленения вращательные, то в соответствии с выражением (3.112) имеем следующие уравнения для скоростей; Учитывая, что РО,4 2~! 2 2 3 3 4~'Э' получаем х Ро „- — И~(~о х ~,)+ а ~~ х х )+ а ~~о х х )+ И~(~о х ~з) .
Для векторных произведений ортов связанных систем координат имеем «,о х ~.'~ = — х~, ~о х х~ = с231, ~.'о х жз = — х~я), ~о х «.'з =с2~~.'1 Ч'о~да ~~О РО,4 ~2 1 ~ 2 2 аЗС23 4 23)~] ' Далее вычислим ~, х Р,, Поскольку р, „= р, „, я, х р, „=а,(я, хх2)+а,~3, хх,)+ д,($, х;~,), ~3.176) где соответствующие векторные произведения: ~~ х х2 =«.'~ х х~ =у2, ~~ х хз = уз х хз =-~з, ~~1 х ~~ = у~ х ~з =хз. Следовательно, Е1 х Р1,4 а2У + Ы4ХЗ а313' соотношениями: ~з "Р,4 =~~ х(Р~,4 Р1,2)=~~ "Р~,4 ~1 ха2~~ =«'1 "Р1,4 а~У~ ° т.е. Вычислим ~~, х Р, „) х ~~, х Р,,): ~~, х р,,)х~~, х Р,,) =(а,У, +~И,х, — а,3,))х(д,х, — а,1,) = а2у2 ~ 4 3 3«~з) ' Поскольку то ~3~ х Р) 4) х ~32 х Р2 ~) = а~(азяз — а4сз)32. Осталось умножить скалярно ~3.176) яа (3.179). Так как Х122 О 4ю~ ~~>2 Это такие конфигурации, цри которых точка О, !или 0,) лежит в вертикальной плоскости, проходящей через оси У1, У! «или Уо, У,).
Найдем теперь 02. В соответствии с выражениями «3.175), «3.176) Е4~0 Р04 ) 4 «я2 Р24 )1 4 «~0 РО4 ) «~2 Р24 ) я Где «Я0 Р0 4) и «$2 х Р2 4) задаются равенствами «3.171), «3,178) соот- Ветственно. Учитывая, что Х! Х Х3 = 32331, Х! Х ~3 = — С2331, 4,'! Х Х3 = -Я3, ~! Х Я3 = Х3, получаем «10 х Р,4) х «12 х Р2,4) Ы «4323 + Й3с23) 1 х!4Й. х, х!4д4г3 Тогда для д2 можно записать соотношение М4 ««ЙЗС23 + Ы43т3)Е! + Х14ЙЗХ3 + Х!4я4423 «3 18 Й2У24 !4 Найдем д3.И соответствии с «3.175), «3.176), используя равенство «3,164), получаем Е~'0 РО,4 )«я'1 Р1,4 ) 4 1 4 Г«4~0 Р0,4 ) «4~! Р1,4 )3 ' Учитывая соотношения «3.175), «3,177), а также равенства Х1 Х У2 С2я~! я Х1 Х ХЗ 523411 Х1 Х 4 3 С2341Ъ ХУ2 = — Х2, Я! ХХ3 = — ~,'3, 31 Х~~3 =Х3,~ имеем ~«~0 Х Р, ) Х «7.
Х Р1, )1 = — Х14 «Й231 + Й2Х2 + ЙЗХ3 + Й433) ° Так как в последнем равенстве слева стои~ Р„4, то пол ~чаем при ~!4 ~ О Если х„= О, то д, является любым действительным числом. Перейдем теперь к нахождению угловых скоростей в четвертом, пятом и шестом сочленениях. В силу ~3. !48) имеем ~3=.я4 ~" 4Ч5 ~596 «3,189) Где «3,190) 149 ~~~~~~~ыи (~~~~~ на~~~~д~~~~ % ° Ч2 Ч3) ~е~~~р* ~~~~~~У Ур~~~~н~~ ~3.189) решим аналогично ~3,170). Имеем ВЫЧИСлим дЕтЕрМинант О„б: Тогда можно получить следующие соотношения: ~й ~, ~,~=~„~~, й ~,~= — йх,~„~~, ~„Щ=-йх,.
'Гаким образом, выражения для скоростей в сочленениях имеют ~3.196) Иэ выражений (3.195) ясно, что множество вырожденных конфигураций задается уравнением ю,=О, ~3.199) Геометрической интерпретацией решений уравнения ~3.199) являются все конфигурации манипулятора, при которых «кисть» и «предплечье» ~т.е, четвертое и пятое звенья ) вытянуты в одну линию ~см. рис, 1.22). Итак, решение обратной скоростной задачи для манипулятора РСМА задается соотношениями (3.184), (3.187), ~3.188), ~3.191)— ~3.193). При этом вырожденные конфигурации манипулятора определяются соотношениями ~3.185), (3.186), (3.199), 15О Аналогичное решение уравнения «3.204) в форме «3.210) можно получить, если среди всех векторов и, удовлетворяющих «3.202), можно найти тот, у которого норма минимальна.
Заметим, что если гай«А) =1, то Х, и Р являются матрицами размеров тх1 и 1хл соответственно, Тогда «~И') '«Х;Х,) ' =а, А' =аМ'Х.' =аА', т.е. псевдообратная матрица в этом случае совпадает с точностью до коэффициента пропорциональности с транспонированной матрицей. Этот факт иногда используют при управлении манипулятором, заменяя обратную матрицу Якоби на транспонированную во всех точках пространства обобщенных координат. Еще одна алгебраическая интерпретация псевдообратной матрицы состоит в следующем: псевдообратная матрица А' является наилучшим «согласно методу наименьших квадратов) приближенным решением матричного уравнения АХ = Е, при этом норма матрицы А = «а„.) может быть определена так: й'=14 Приведем без доказательства некоторые полезные в приложениях свойства псевдообратной матрицы (многие из них можно установить непосредственным использованием основного соотношения «3.210)): 1) АА'А = А; 4) «А' А)' = А' А; 2) «А')'+А „ 5) «АА )' = АА'; 3) (АА')' = АА'; 6) «А'А)' =А'А, Заметим, что если ранг матрицы А максимален, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
