kudryavtsev1a (947413), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

1. Мпогочлень! (поли номы). К многочленам относятся функции, которые могут быть заданы формулами вида у=Р„(х)=ае+а,х+...+а„хн=- 'ц', а,х'. е=о Если а„ч~О, то число п называется степенью данного много- члена. Многочлены первой степени называтотся также линейными функциями. 2. Рациональные функции (рациональны е дроби). К этому классу функций относятся функции, которые могут быть 4 4. Функции и их предела заданы в виде У =- — » Р (х) Я)х) ' где Р (х) и Я(х) — многочлены. 3. Ир рацион альные функции.

Иррациональной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью суперпозиций конечного числа рациональных функций, степенных 'функций с рациональи«ямп показателями н четырех арифметических действий. Например, функция является иррациональной функцией. Заметим, что класс многочленов содержится в классе рациональных функций.

4. Трансцендентные функции. Элементарные функции, не являющиеся иррациональными, мазываются трансцендентными, элементарными функциями. Можно показать, что все прямые и обратные тригонометрические функции, а также показательная и логарифмическая функции являются трансцендентными функциями. Поскольку в нашем курсе анализа изучаются в основном действительные функции от одного или нескольких действительных аргументов, то вместо «действительная функция» будем говорить и писать просто «функция»..В тех случаях, когда будут рассматриваться функции другой природы, это или будет специально оговариваться, либо будет ясно из контекста.

4.4. ПЕРВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ Для того чтобы сформулировать определение предела функции, введем сначала определение «проколотой окрестности». Напомним, что е-окрестностью 0(х„е) точки хоев)«называется интервал вида П(хо, е) "='-(хо — е, хо+ е). Всякая е-окрестность точки называется также просто ее окрестностью. Определение 1. Проколотой е-окрестностью точки хо назьиается е-окрестность точки хо, из которой удалена точка хо.

Проколотая е-окрестность точки хо обозначается через 0(хо, е): П (хо, е) = П (хо, е);(хо). Всякая проколотая е-окрестность точки х, называется и просто проколотой окрестностью этой точки н обозначается также и через П (хо). 4.4. Первое определение предела функцне Отметим, что выражение <функцня Г определена на множестве Еа не означает, что указанное множество является множеством определения функции Г, а лишь, что это множество прннадлежит области Х! определения функции !' н что в данном вопросе функция ! рассматривается только на указанном множестве Е, т.

е. по существу рассматривается лишь сужение функция г на множестве Е*'. Определение 2. (Гейне**'). Пусть функция !' определена на некоторой проколотой окрестности У (х,) точки х,. Число А называется пределом функции 1' в точке хв (или при х, стремягцемся к хе), если для любой г!оследовательности х„еп() (хв), я=1, 2, ..., сходлгцейся к точке х,: Иш х„=х„ последовательность (! (х„)) сходится к числу А, т. е, верно равенство Игп Г(х„) = А. е .» Если число А является пределом функции Г в точке х,, то пншется А = 1пп) (х), нлн А = Иш Г(х), « «» о а также 1(х)-».А прн х-»-х,.

Из этого определения следует, что функция не может иметь двух разных пределов в одной точке. Далее, нз определения следует, что значения функции Г в точках х, лежащих вне любой фиксированной окрестности точки хе, н значение функции в точке хв не влияют нн на су!цествованне, нн на величину предела функции Г' в точке х,. Существует нлн нет предел функции в данной точке хе, а если существует, то каково его значение, полностью определяется значениями функции в сколь угодной малой проколотой окрестности П (х„) точки хв.

Действительно, какова бы нн была проколотая окрестность ()(х,) н какова бы нн была последовательность х„ен У (х,), и = 1, 2, ..., Иш х„ = хв, найдется такой л о» номер п,ен й(, что прн п=-п, будет иметь место х„я() (х„), а конечное число оставшихся членов последовательности Г'(хт), 1(хе), ..., !(х„,,) не влияет нн на существование, нн на величину предела всей последовательности (((х„)). В этом смысле говорят, что свойство функции иметь предел в данной точке является локальным свойством функции. В случае окрестности точки (а также в случае ее проколотой окрестности) наряду с выражением «функция определена иа окрестности» употребляется выражение <функция определена в окрестности». В подобных выражениях предлоги в и на имеют одинаковый смысл и для ряда других множеств.

» ю Г. Г е й н е (182! — 188!) — немецкий математик. Е Куар»»не» л. д, т. ! а 4. Функции и их луедельс Подчеркнем, что если функция имеет предел в некоторой точке, то она определена в некоторой проколотой окрестности этой точки. Примеры. 1. Пусть 1(х) = (2хх+ х — 1) 1(х — 1). Выя„им существует или нет 1!1п 1" (х). Возьмем какую-либо последова- к О тельность хл такую, что 1!гп хи=О и х„~О, п=1, 2, ..., тогда л со на основании теорем п.

3.9 имеем: 2,+х ! 2( Ия» х )к+ 11»п хл — 1 1ип л со л со л со Хл хл — к ° л со (при этом мы считали х„Ф 1, так как при х = 1 рассматриваемая функция не определена). Таким образом, существует 1!ш Г(х„) = л = 1, и так как он не зависитот выбора последовательностях„-иО, и = 1, 2, ..., то существует и 1!ш )'(х) = 1. 2. Рассмотрим функцию Р(х)к й!п — (рис.

15). Снова выясним существует или нет 1пп)". (х). Возьмем две последовательности: х О х„= — и х,'= + „, я=1, 2, .... Очевидно, 1!ш х = 1, ! ил = 1!шх„'=О, х„ФО, х„'ФО,)(х„)=..з!пил=О, 1(х,')=з!и--=1, л о» и=1, 2, .... Поэтому 1цпР(х„)=-О и 1!тР(х„')=1 и, значит, л со 1!ш) (х) не существует.

к- О 3 а меч ание. Пусть функции ) и д определены на интервале (а Ь), кроме, быть может, точки х„и пусть 1'(х) =-д(х) при хэви ~х„хек(а, Ь), тогда из того, что в определении предела функции в точке х, участвуют только значения функции в точках хФ х, следует, что пределы !пп ! (х) = к к» =1!т д(х) одновременно су- х хс Рис. 1О шествуют или нет, причем в первом случае 1!ш г" (х) = к х, = 1!шд(х). На этом простом замечании основано так называе- х х» мое правило раскрытия неопределенностей с помощью сокращения дробей. Поясним его на примере. (2х'+х — 1) х 3. Найдем 1!т, . Повторение рассуждений, анало- к О гичпых проведенным выше при разборе примера 1, приводит 4.4. Первое определение предела функции к выражению О/О (к неопределенности), т.

е. не дает ответа на вопрос о существовании и значении искомого предела. Однако, 2хк — х — ' 1 беря функцию ((х) = „, получающуюся сокращением на х (2х'+х — 1) х выражения д (х) =, и, следовательно, такую, что 1(х)=д(х) при хчеО, вспоминая, что мы уже доказали, что существует 1!ш((х) = 1, имеем, согласно сделанному замечанию, к О 1!пзд(х) =!(ш, =!пп — =!пи 7(х) =1. (2хк+ х — 1) х . 2хк+ х — 1 к О к О х х х О х 1 х О Определение 3. Пусть функция Г определена на интервале (а, х,).

Число В называется пределом слева функции Г в точке хо, если какова бы ни была такая последовательность (хл), что !пп х„=хо, а(х„ч хь, и=1, 2, ... (в частности, зто означает, что последовап1ельность (х„) сходится слева к точке хь см. п. 3,1), последовательность (((х„)) сходится к числу В, т. е. 1)щ г(х„) =В. Если такое число В существует, то пишут В = 1!п1 ) (х) или В =((хо — 0). к х~ — О Аналогично определяется предел справа ((х,-)-0) = 1пп )(х) х х,-1-0 в точке хь для функции, определенной на интервале (х„б).

Именно, число В называется пределом справа функции 1' в точке х,, если для любой такой последовательности точек (хл), что 1!ш х„=х„хо(х„(д, и=1, 2, ... (в частности, зто означает, л со что последовательность (хл) сходится справа к точке х,), последовательность (Д(х„)) сходится к числу В, т. е. 1пп )'(хл) =В.

В случае хо= 0 вместо х-+. 0+ 0 (соответственно вместо х-~0 — 0) пишут просто х-к-+О (соответственно х — ~ — 0). Пределы слева н справа функции называются односторонними в отличие от предела функции, определенного в начале этого пункта, который называется и двусторонним пределом. В качестве примера рассмотрим функцию у=з!япх (см. и. 4.1 и рис. 16). ПуетЬ Х„,.О О, Х„'(О, а =1, 2, ... И 1!Ш Хл= !ПП Х„' =О.

ТОГда л сл Ю со 1пп з!япхлкл1пп 1=1, 111п з!ипх„' =1!щ ( — 1) = — 1, ссо 4 4. Функции и их предесы значит, 1пп э!дик=1, а !пп з!дпх= — 1. к +О к — 0 Согласно определению предела функции функция /, определенная в некоторой проколотой окрестности (4(хе) точки х„имеет в этой точке предел, если какова бы ни была последовательность х,енО(хе), п=1, 2, ..., имеющая своим пределом хе. '1!сп х„= = х„ последовательность (!(х„)) сходится, и ее предел не зави- сит от выбора указанной последователь- У ности (х„), т. е, все последовательности Ц (х„)) имеют и притом один и тот же предел: 1пп~(х„)= А.

Число А и является в этом случае пределом функции Г в точке х,. Покажем, что если предположить несколько меньше, а именно предположить только существование предела у каждой рассматриваемой последовательности (Г (х„)), то уже из одного этого будет следовать, что все эти пределы совпадают и тем самым функция )' в этом случае будет иметь предел в точке х,. Сформулируем это утверждение в виде отдельной леммы. Лемма. Для того чтобы функция Г', определенная в некоторой проколотос1 окрестности (с(хе) пючки х„, имела в этой точке предел необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности х„ен()(хе), п=1, 2, ..., сходящейся к точке хси последовательность с'(х„) имела предел.

Характеристики

Список файлов книги