kudryavtsev1a (947413), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Определение 8. Функция и называется бесконечно малой (бесконеч- но больиюй) при стремлении аргумента к точке а, если Б гп гх (х) = 0 к а (1 пп а (х) = со). к а Бесконечно малые функции играют существенную роль, свя- занную, в частности, с тем, что общее понятие предела может быть сведено к понятию бесконечно малой. Лемма. Предел 1пп!'(х) суьцсствует и ровен А тогда и только к а тогда, когда 1(х) =А+а(х), где а бесконечно малая при стрем- лении аргумента к точке а. Действительно, если 1!т?(х) =А, то, полагая ех(х) "— -"'?(х) — А, к а получаем !пи а(х) =1!гп?(х) — А = А — А =О.
к а к а Наоборот, если ?(х) =А+а(х) и !ппа(х)=0, то !пп?(х) = к а к- а = А+1ппа(х)=А. [! к-'а Теорема 4. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при стремлении аргумента к точке а, а также произведе- ние бесконечно малой при стремлении аргумента к пшчке а на ограниченную функцию являются бесконечно малыми при стремле- нии аргумента к той же точке а, То, что сумма и произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой, непосредственно следует из свойства пределов в п. 4.?. Доказательство же того, что произведение бесконечно малой на ограниченную функцию является бесконечно малой, оченидным образом проводится на основе определения ? предела функции Пу 4.10.
Пределы монотонньгк функций с использованием соответствующего свойства бесконечно малых последовательностей (см. в п. 3.8 свойство 11). Уп р аж пенне 24. Доказать, что функция се, определенная н не равная нулю в некоторой проколотой окрестности точки а, тогда н только тогда является бесконечно малой прн стремлении аргумента к точке а, когда функция Пи явлвется бесконечно большой прн стремлении аргумента к той же точке а.
То обстоятельство, что функция, обратная бесконечно малой„ является бесконечно большой и наоборот (см. упражнение 24), делает естественной следующую символическую запись, часто употребляющуюся для сокращения записи: для любого числа а) О пишут а а а а а а — =+со„— = — со, — =со, — =+О, — = О, +О " — 0 ' 0 ' + ' — ' со Отметим, что на бесконечно большие функции свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над пределами, непосредственно не переносятся. Однако некоторые аналогии имеют место.
Например, если 1пп((х) =+со, 1ппа(х) =+оп, то и 1(гни(х)+ к а к а к в + д(х)) ==+со. Однако о существовании какого-либо предела 1пп ()'(х) — а(х)1 здесь уже ничего утверждать нельзя. Можно показ а зать, что позитивные утверждения о бесконечных пределах можно сделать в случаях, для которых в п. 2.5 были определены некоторые «арифметические операции> с+со и — оо. 4ЛО.
НРКДЕЛЫ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ Определение 9. Фуйкг1ия )', оггределенная на числовом множестве Е; называется возраспгающей (убывающей) на Е, если для любых х, ен Е и х я Е таких, что х, <х,, выгголняется неравен- Степ ) (Хг)()(ХЗ) (СООПгестеягВЕННО, НЕраВЕНСтва ) (Хг) т ) (ХЗ) *1. Если функция является возрастающей (убывающей) на множестве Е, то говорят также, что она возрастает (убывает) на этом множестве. Если функция )' возрастает на множестве Е, то функция — (, получающаяся из ( изменением знака у всех ее значений, т. е.
( — ))(х) =- — )(х), х гггЕ, является убывающей на Е функций. Возрастающие и убывающие на множестве Е функпии называ1отся монотонными на этом множестве. Теорема 5. Пусть функция 1" возрастает на конечном или бесконечном интервале (а, Ь). Тогда в пючке х=Ь существует предел *' Возрастающие (убывающне) функции называются также неубывавигими (невозраешаюигими), 222 у а Функции и ил пределы 1пп 7(х) = зцр)" (х), а ь — о (а. Ы а в точке х=а — предел справа и 11ш 1(х) =!п1 )(х). к а+О Ьа.
Ы Таким образом, если в условиях теоремы функция ~ ограничена сверху, то в точке х = Ь существует конечный предел слева, а если ) неограничена сверху, то 1 пп 1' (х) = + оз. а Ь вЂ” О Аналогично, если функция ) ограничена снизу, то в точке х=а существует конечный пределсправа, а если ~ не ограничена снизу, то Вш )'(х) = — со. а а+О Аналогичные утвеождения справедливы и для убывающих функций, их можно получить, перейдя от функции ( к функции — ). Следствие.
Если функция )' монотонна на интервале (а, Ь) и х,~(а, Ь), то в точке х, существуют конечные односторонние пределы )(ха — 0) и )" (ха+0). (4.22) О«1 Доказательство теоремы. Пусть р — -- зпр~(х) — верх< м няя грань конечная или бесконечная, равная +со. Возьмем какое-либо т) р. Тогда в силу определения верхней грани (см. свойство 2' в определении 6' п. 2.8) существует точка $ ~ (а, Ь) такая, что П$) >ч.
(4.23) аеГ Положим, что О(Ь)-=($, Ь), т. е. (,ь(Ь) является односторонней проколотой окрестностью точки Ь "). Тогда для любого х ен О (Ь), т. е. для любого такого х, что $ (х( Ь (рис. 18) в силу возрастания функции 1, определения верхней грани и неравенства (4.23) получим: л).=)'($) ~)'(х) =- () Итак, если х ~ (' (Ь), то т) (~(х) (4.24) Задание произвольного числа т) ( ~ равносильно в данном случае заданию произвольной окрестности ЬУ(р) точки р в следе1 дующем смысле. Именно, если р конечно, то, полагая е=-р — т), получаем, что условие (4.24) равносильно условию1(х) ен(у(р, е), «) В случае Ь =+ оэ проколотая окрестность (тк +оэ) причисляется к односторонним проколотым окрестностям.
4.11. Критерий Коши су>чествования предела функции ибо ((х)-=.(3. Если же р=+со, то условие (4.24) равносильно у )(х) и(+., и). Таким образом, для любой окрестности (л'(р) существует такая проколотая окрестность () (Ь), что для любой точки х ~ (1 (Ь) имеет место 1(х) ен(1(()). Это и означает, что 1нп 1'(х) = р = зпр 1(х). ь — о >а, ь > р Аналогично доказывается, что Н)= 1~() И 1(о> — — — —— х а->- о >а, Ь> Доказательство следствия.
Пусть для определенности функция ) возрастает на интервале (а, Ь). Тогда како- в в 4 х о ва бы ни была точка х,~(а, Ь), для всех х' ен(а, х,) и всех х" я(хо, Ь) будет спра- Рис, 18 ведливо неравенство 1(х') ~) (хо) ~)'(х ) т. е. функция 1 ограничена сверху на интервале (а, х,) и снизу на интервале (хо, Ь) числом )(хо). Следовательно, зпр )'(х)~)(хо)~ 1п1 )(х).
<а, х,> >ха Ы В частности, указанные верхняя и нижняя грани конечны. Этим следствие доказано, так как согласно теореме ((х, — О) = зир )(х), ) (хо + О) = )п( ) (х). ( ) >а, х,> ~ха Ы 4.11. КРИТЕРИИ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ Как и в случае предела последовательности„получим необходимое и достаточное условие того, что функци я имеет предел в точке а, не используя самого значения предела, а в терминах лишь значений самой функции в проко.тотой окрестности точки а. Теорема 6 (критерий Коши).
Для того чтобы функ>(ия 1 имела в точке а конечный предел, необходимо и доста>почка, чтобы для любого з) 0 суи(ествовала такая проколотая окрестность (х' (а, 6) точки а, что для любых х' е= (х' (а, 6) и х" я(> (а, 6) выполняюсь бы неравенсп>во У(х") — )'(. ') , '(е. Доказательство необходимости. Пусть 1пп((х)= х а = А енот. Это означает, что для любого е>0 существует про- колотая окрестность (1 (а, 6) точки а такая, что для каждого х~(>'(а, 6) справедливо неравенство 11'(х) — А~ ---. а е.
Функции и ик пределы Пусть х' ен У (а, 6) их" енО (а, 6), тогда в силу (4.25) получим: ! ) (х") — ) (х') ) = ~ [) (х") — А1+ ~А — ~ (х" Н ~ ~ =М ") — А~+~Г( ')-А~~';+-';=' И х' а (7 (а, 6), х" с () (а, 6) (4.26) выполняется неравенство !~(х") — 7(х') ) -е.
(4.27) Прежде всего из этого условия следует, что функция 7 определена в некоторой проколотой окрестности У (а) точки а. Можно, например, взять е = 1, тогда функция 7 и будет определена в соответствующей ему в силу сформулированного условия проколотой окрестности. Проверим, что функция 7 имеет в точке а предел. Возьмем какую-либо последовательность х, ~ 1) (а), и = 1, 2, ..., Иш х„=а и со (4.28) и произвольно зададим а)0.
Для этого а существует проколотая окрестность () (а, 6), удовлетворяющая условиям (4.26) — (4.27). В силу условия (4.28) для соответствующей обычной окрестности У(а, 6) существует такое пеен М, что при всех п)п„пенЖ, имеет место х„с=У(а, 6). Но х„ен() (а), следовательно, х„Фа, и евФ. Поэтому х„принадлежат не только обычной окрестности У(а, 6), но и соответствующей проколотой: х„~() (а, 6), п тепе. Отсюда в силу условий (4.26) — (4.27) для всех п)пе и т~п, получим: )~(х„) — )(х ) ( с.е, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
