kudryavtsev1a (947413), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Доказательство. Проведем доказательство теоремы для строго возрастающих функций. Пусть с=1" (а), д=((Ь). Покажем, что областью определения обратной функции является сегмент [с, д), или, что то же, [с, д) является множеством значений функции г. В самом деле, из монотонного возрастания функции г' следует, что 1(а)~г(х)==1(Ь), т. е. что г(х) ~ ен[с, й) для любого хек[а, Ь). С другой стороны, каково бы ни было у ~[с, д), т.
е. 1(а) у=-Г(Ь), согласно теореме 2 б.х Обратные функции существует такая точка хан[а, Ь], что г(х) =у. Таким образом, все значения заданной функции Г лежат на отрезке [с, с(], и каждая точка этого отрезка является значением функции Р в некоторой точке. Это и означает, что отрезок [с, е(] является множеством значений функции [. Отметим, что это утверждение следует также и из следствия 2 теоремы 2, если заметить, что в данном случае с= пнп г(х), д=тахг(х).
~а,м ~а, б~ В силу леммы функция Р-' однозначна и строго возрастает на отрезке [с, е(]. Покажем, наконец, что функция 1-' непрерывна на [с, е(]. Пусть у,~[с, е(] и хо=~ '(уо) Пусть с уо(д, т. е. уо — внутренняя точка отрезка [с, д], тогда в силу строгого возрастания' функции [-' н а(х,(Ь. Зафиксируем некоторое е)0.
Не ограничивая общности дальнейших рассуждений, можно считать (почему?), что е таково, что а~хо — е хо (х,+ Рис, 23 е =Ь. (6.13) Пусть У,=Р(хо — е), Уо=1(хо+е). Тогда из условия (6,13) в силу строгого возрастания функции [ следует, что с у1 (уо (Ут д' Возьмем 6 0 так, чтобы Ут==-Уо — 6(Уо+6~Уо (»' '4)' Если теперь выбрать у так, что у,— 6(у(у,+6, то тем более У (У(Ум и, .следовательно, в силу строгого возрастания функции [-' справедливо неравенство х, — е = [-'(ут) [ '(у) [ '(у,) = х, + ° Таким образом, для е)0 указано такое 6)0, что для всех у~(уо — 6, у,+6) выполняется неравенство )[-'(у) -Г-'(уо)! (е, т. е.
функция г' непрерывна в точке у,. Если теперь у,=с или у,=е(, то аналогичными рассуждениями доказывается, что функция Г' непрерывна справа в точке с и непрерывна слева в точке А З 6. Свойства ненрерывнык функций Теорема для строго возрастающих функций доказана полностью. Напомним, что функция !" строго убывает тогда и только тогда, когда функция — ~ строго возрастает, поэтому справедливость теоремы для строго убывающих функций следует из рассмотренного случая. Рассмотрим теперь случай фунха кции, определенной на интервале. Теорема 4. Пусть функция уу определена, строго возрастает (убыу;в с воет) и непрерывна на интервале (а, Ь) (конечном или бесконечном) и пусть аа е е н с= Вт ~(х), д= 1!п1 ~(х).
к а+О к ь — ь Рае. 2а Тогда обратная функция )' т определена, однозначна„строго возрастает (убывает) и непрерывна на интервале (конечном или бесконечном) с концами с и б (рис. 25). При этом в случае, когда а= — со под !нп ~(х) понимается а — со+ О предел 1нп Г(х), а в случае Ь=-1- солод пределом !!гп ~(х)— к — со к Еа: — 0 предел 11щ ~ (х). а +со Доказательство. Пусть для определенности функция ~ строго возрастает в интервале (а, Ь).
Покажем, что в этом случае множеством ее значений является интервал У (с, с(). Действительно, согласно теореме о пределах монотонных функций (см. п. 4.10) имеем: с= !п1 ~, ь(= зпр! и, следовательно, са, ь~ <а, ь1 4р ' для любого х ~ (а, Ь) справедливо неравенст- во с = ((х) == с!. Более того, для всех с- х е- =(а, Ь) выполняются еще неравенства ~(х) ~с, ~(х) Фб. В самом деле, если бы, например, существовало такое х„что а ( х, ( Ь и г (ха) = с (зто, очевидно, возможно только тогда, когда нижняя грань с конечна), то при а(х с'ха выполнялось бы неравенство г (х) с ) (х,) =- с, что противоречило бы тому, что с = (п(!. Итак, для всех х ен (а, Ь) выполняются неравенства с(~(х)(д.
С другой стороны, поскольку с=- 1п(~, е(=-знр~, то <а, М Ча, ь~ для любого у, с<у<д, существуют такие х, я (а, Ь) и х, ен(а, Ь), что уь=~(хь) и уь =~(хь) удовлетворяют неравенствам с(ут (у(уь'с.и. бп. Обратные функции У29 Отсюда следует, что х, < х, *~, и поскольку ( (х) = уг и ) (хз) = уе, то по теореме Больцано — Коши о промежуточных значениях не- пРеРывных фУнкций сУществУет такаа точка х ен (х„ха), что )(х) =д.
Таким образом, для любой точки уен(с, с() существует такая точка х ~(а, Ь), что )(х) =у. Тем самым доказано, что действительно множеством значений функции г, или, что то же, множеством определения обратной функции )ут, является интервал (с, е(). То, что функция Г' однозначна и строго мо- Л вЂ” — — — фУ(а1 — — —— нотонно возрастает в интервале (с, с(), следует из леммы. г(х! у(х3 Ее непрерывность доказывать ется дословным повторением ! доказательства непрерывно- а а а а я а сти обратной функции в предыдущей теореме. Наконец, Рис. 2б как и выше, теорема для строго монотонно убывающей функции следует из уже доказан- ной теоремы о строго монотонно возрастающей функции с по- мощью рассмотрения функции — Г.
Д Замечание. Лналогичным образом доказывается, что если функция строго возрастает и непрерывна на полуинтервале (а, Ь), — со < а < Ь =. + со, или на (а, Ь], — со ~ и < Ь <+ со, то об- ратная функция определена, строго возрастает и непрерывна на полуинтервале (с, с(), где с=((а), с(= 1пп Г(х), соответстх Ь вЂ” 0 венно на (с, е(1, где с = 1пп Г" (х), г(=Г(Ь) (рис. 2б). х а+О Случай строго убывающей на полуинтервале функции г (х) можно свести к случаю строго возрастающей, рассмотрев функ- цию — ) (х). П р и м е р.
При любом целом положительном и степенная функция у=ха строго возрастает и непрерывна на положитель- ной полуоси х==О. Действительно, если О (х, < х„ то, перемножая и раз эти неравенства, получим х," х,", т. е. функция у= х", и = 1, 2, ..., строго монотонно возрастает. Для доказательства непрерывности функции у= ха заметим, что функция у = 1(х) =х непрерывна в любой точке х, ен ат.
Действительно в этом случае уо = Г (хв) = х„, поэтому Лу = у — уо =. х — х, = Лх. Следовательно, если задано в в. О, то, беря б=в, получим, что из условия ~ Лх'<6 следует ~ Лу~ = =~Лх(<б=в. Это н означает непрерывность функции у —.х в точке х=х,. Функция же у=-х" является произведением уь " Случай хе аз хе невозможен, так как тогда бы в силу возрастания функции 1 выполнялось бы неравенство ух- ух. В Кулвявцев л. д. т.
1. Э б. Свойства непрерывных фракций одинаковых функций г(х) =-х и потому (см. п. 5.2) также непрерывна во всех точках х енес. Из того, что 1пп х=-1- оо, очевидно, следует, что 1)ш ха к -+ ас ск к- ' св =-+со, п=1, 2, .... Кроме того, в нуле функция у=ха обращается в ноль. Поэтому, согласно замечанию к теореме 4, множеством значений степенной функции у=ха при хгьО является неотрицательная полуось у =- О.
Обратной функцией для функции у" = х является корень п-й степени гг у, и = 1, 2, .... Согласно теореме 4 и в силу доказанных свойств степенной функции р = х", корень п-й степени ~/у, и = 1, 2, ..., определен для любого неотрицательного у.
Таким образом, из доказанных теорем следует, в частности, суи(еспгвование и единспгвенность гголожигггельного корня гг-й степени из лгобого положиогельного число. Замечание. Из рассмотренного примера следует еще раз, что любой промежуток содержит иррациональные числа (см. следствие 2 нз теоремы 8 в п. 3.11). Покажем сначала, что число рг2 (существование которого вытекает из рассмотренного выше примера) является иррациональным. Допустим противное: пусть существует рациональное число, равное квадратному корню нз двух. Запишем это число в виде несократнмой дроби р)г) (р и г)— взаимно простые натуральные числа): )г 2 =.
Р . Тогда рг.=-юг и, следовательно, число р делится на 2. Действи- тельно, сслн бы р было нечетным, т. е. р=2гг+1, гееь: Лг, то рг=-(2гг+1)г=-4йг+2гг+1 также было бы нечетным, н равен- ство р'=2дг не имело бы места. Итак, р-= 2гг; но тогда 4нг= 2г)г, или да=2йв. Отсюда, как и выше, следует, что с) — четное число. Чстность чисел р= с) противоречит предположению о несократи- мости дроби р/гг, Из доказанного, очевидно, следуст, что всякое число вида т)г 2гп, т и и — натуральные, также иррационально. В самом деле, если бы оно было рациональным — = —, то н ) 2 окат)гй р п д ' залось бы рациональным числом: )г 2= --. Отсюда, в свою оче— пр /по редь, следует, что всякий интервал содержит иррациональное число (сравните с п. 3.11) и притом вида т)г'2!гг, т и и — цельге. Действительно, пусть О~а -Ь.
Выберем так натуральное и, чтобы )/2г'гг ((г — а, 7Д. Мноючлены и дробно-риционильныефунюции и затем натуральное т так, чтобы (ы — 1)172 тр2 =а< —. и и Тогда ૠ— 'Ь. Если же а< 5:=О, то в силу доказанного гн)' 2 н существуют такие целые т и п, что пп )~ 2 О =.— Ь— « — а; и а поэтому сп Рп2 а— — « Ь. В случае а<О<Ь согласно доказанному существуют такие цеы 1' 2 лые т и и, что а<0< — <Ь. ( ) $7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
