kudryavtsev1a (947413), страница 32
Текст из файла (страница 32)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 8.1. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ В этом пункте вычисляются пределы, которые неоднократно будут встречаться а дальнейшем. Лемма 1. (8.1) к о Доказательство. Рассмотрим круг радиуса Я с центром в точке О. Пусть радиус ОВ образует угол х, 0 ~ х ~ ', с радиусом ОА. Соединим точки А и В отрезком и восставим из точки А перпендикуляр к радиусу ОА до пересечения в точке С с продолжением радиуса ОВ (рис, 28).
Тогда площадь треугольника АОВ равна - Вез!их, площадь сектора АОВ равна -- В х, а площадь 1 1 2 треугольника АОС равна Вг1ях. Треугольник АОВ является 1 2 частью сектора АОВ, который в свою очередь является частью Кг. Некоторые эилгенительные пределы треугольника АОС; поэтому -~ Я'з!Пх(-з Я'х . -2- ЙО 1ях, откуда зш х~х(1яхг следовательно, х ! 1( —. ап х сон х или, заменяя величины им обратными соь' х(' «- 1. апх (8.2) (8.4) ,1 х О $!Ии Оапд Следствие 3. агс1К х х О Х (8 5) Это равенство получается аналогично предыдущему из (8.3). Лемма 2. ! пп (1+ х) 1гх = е.
(8.8) х О 5!и х Заметим, что в силу четности функций созх и — неравенство (8.2) справедливо и при — п(2(х(0. Так как функция созх непрерывна н соз0=1, то из (8.2) при х-к.О следует (см. п. 4.7) равенство (8.1). Д Следствие 1. !пп-~- =1. (8.3) х О В самом деле, р 4пх .
апх . ! 1пп — =!! Пт — ' Игп — = 1. Х Х „СОХ Х Следствие 2. агсап х Рис. ва 11п1 к О х Функция у=-з!ох строго монотонна и непрерывна на отрезке [ — и,'2, и!2$ поэтому обратная функция х=агсз!Пу также строго монотонна и непрерывна на отрезке [ — 1; 1!. Поскольку зги 0=0, то записи х- 0 и у-т-0 эквивалентны (см. замечание в конце п. 8е). Чтобы вычислить предел (8.4), применим правило замены переменного для пределов непрерывных функций (см. теорему 2 в п. 5.2).
Положив х=з!Пу, имеем гег Е 8. Сравнение функций. Вычисление пределов Ранее (см. и. 3.5) было доказано, что 1 !о 1пп !1+ — „~ =е, и со с (8.7) где п=.1, 2, .... Отсюда следует, что для любой последователь- ности (пе) натуральных чисел, такой, что 11пг пе =+ со, Е со (8.8) имеем 1'пв (1+ — „) *оо е. (8.9) В самом деле, пусть задано з) 0; из (8.7) вытекает, что существует такое п„что при п )ие 1(1+ — „) — е~(е, (8.10) а из условия (8.8) следует, что существует такое й„что ие)пе 1 гик при йэ:й;! поэтому в силу (8.10) )(1+ — ) — е~(е при А~А„ лы что и означает выполнение равенства (8.9). Пусть теперь последовательность (хе) такая, что 11пт хе=+О, т.
е. 11пг х„=О и хе)0. Е оо (8.1 1) Замечая, что в силу (8.9) не+1) гге+ 1) 11пг (1+ -) = 1пп (1+--.) Игп (1+ — ) =е Покажем, что 1пп (1+хе)пее =е. При этом без ограничения Е со общности можно считать, что хе(1, й=1, 2, ... (почему?). Лля 1 всякого х„найдется такое натуральное пги что и„+1'- — и~пи к" 1 1 и, следовательно, — (хи ~ —, причем в силу (18.11) 1пп пи = ' ли+1 ле' Е со = +са. Поэтому имеем: (1+ ) <(1+хе)ьке((1+--) . (8.12) ВЛ. Некоторые эахехательные пределы и переходя к пределу в неравенстве (8.12) прн А — т со, получим 1пп (1+хе) "е=е.
К со Поскольку (хе) — произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям (8.11), то тем самым доказано, что 1ип (1+х)их=в. х -1-о Пусть теперь последовательность (хе) такая, что 1ип х» — — — О, т. е. 1пп хе = О, хх ( О. (8.14) Положим ух — — — хе, тогда ух О и 11!я ух=О, прнччм без ограничения общности можно считать, что ук(1, й=1, 2, .... Тогда ! !!эх 1(п! (1+ хх)'~"х = 11!п (1 — у*) !"эхо 1ип ( В со Е со —...,)-у, ! с !гее — -1- ! = Игп (1+, ~е ~ = 1(пт (1+ге)'е К со с ух х со где и 1ип г„=О, Е со и в силу уже доказанного равенства (8.13) 1ип (1+ хх)пхх = 1пп (1+ге)и*к 1ип (1+г„) =е. А со Х со Е со Но (хе) была произвольной последовательностью, удовлетворяющей условиям (8.14), поэтому 1пп (1+ х)пх = е.
(8.15) х — о 11гп = —, а)0, аФ1, 1оя„(1+к) 1 х 1па' (8.16) и, в частпноети, при а=е 1п (1+х) х о х Таким образом, функция (1+х)!тх, х~О имеет в;точке 0 пределы слева и справа, равные одному и тому же числу е. Поэтому существует и ее двусторонний предел прн х-о.О, также равный е (см. п.
4.5). Д Следствне 1. Е 8. Сравнение функций. Начисление пределов В самом деле, используя непрерывность логарифмической функции (см. теорему 4 из 8 7), непрерывность суперпозиции функций (см. п. 5.2) н равенство (8.6)„получим 1пп " =!)ш!оя,(1+х)' =-1од,1!гп(1+х)п'=1ояае= —. 1ауч (1+ х) 1 -о х к-о к-О а 1па Следствие 2. !пп — =1па. ах — ! (8.17) к 0 к В частности, если а=е, то 1)ш =!. (8.18) к-+0 Функция у= — их — 1 строго монотонна и непрерывна на всей )п (1+у) вещественной оси, поэтому обратная функция х= +У также !па строго монотонна и непрерывна при у) — 1. Поскольку при х =О имеем также и у= О, то обозна!ения х- О и д- О эквивалентны (см.
замечание в конце п. 4.8*). Применим для вычисления предела (8.17) правило замены переменного (см. теорему 2 п. 5.2). . !п(1+у) Положив х= +У), получим )па а" — 1 . у1па 1 1пп =! пп, ) — — 1п а, =!и а. к о х е а и У !!о и +У е-а У 8 2. СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ Все рассматриваемые в этом параграфе функции определены на некоторой фиксированной проколотой окрестности () (х,) точки х, расширенной числовой прямой: хое-=ег, причем эта окрестность может быть и односторонней.
Поэтому каждый раз не будет оговариваться, что хан(7(х,). Как мы уже знаем, сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются также бесконечно малыми функциями; этого нельзя, вообще говоря, сказать об их частном: деление одной бесконечно малой на другую может привести к разнообразным случаям, как это показывают нижеприведенные примеры бесконечно малых при хх-О функций гх(х) н !) (х).
Пусть, например, а(х) =х и р(х) =-х', тогд! 1пп — =-1(гп х = О, !ип — ' =1пп -- = оо. р (х) . . а (х) . 1 х О (") х 0 к О )) (~) и 0 'Х Если же и(х)=х, р(х) =2х, то 1 п — =2, а если а(х)=х, !! (х) , а (х) 1 р (х) () (х) =ха!п —, то предел 1пп пе существует. х Оа (х) 8.2. Сравнение функций Определение 1. Если для двух функций !" и а существуют такая проколопшя окрестность Г (хв) и постоянная с ) О, что для всех хе-='в'(х,) выполняется неравенство ~~(х) ~ «=с~у(х) ~, то функция ! называется ограниченной по сравненшо с функцией й на е' (ха) и пишется )(х) =-0(д(х)), х — ~-хв (читается: ) (х) есть 0 большое от д(х) при х, стремящемся к х,).
Подчеркнем, что запись х -х, имеет здесь другой, чем обычно, смысл: она только указывает на то, что рассматриваемое свой- ство имеет место лишь в некоторой окрестности точки х,; ни о каком пределе здесь речи нет. Лемма 3. Если р(х) =-ер(х)д(х) и существует конечный предел Лп! «р(х) =/г, то )(х) =0(й(х)), хв.ха. х к, До к а за те лье тво. Из существования конечного предела 1пп ер(х)=й, согласно свойству 1' нз п.
4.7, следует существох х, ванне такой проколотой окрестности в'(х„) точки х„что функ- ция Ч! на ней ограничена, т. е. имеется такая постоянная с- О, что для всех х е:- Р (х,) выполняется неравенство ( ф (х) ~ == с, а следовательно, и неравенство ~((х)! =)ер(х)! (д(х) ~. =с(д(х) (, Это и означает, что 1(х)=0(д(х)), х- ха. П Пр имеры. — к=О ~ !) при х — О, ибо --~-=.-; при )х!«=.1; ! ~!! ! ! ! хе (х! — =О( — ! при х- со, ибо —., (~--~ при ~х~ 1. Запись р(х) = = 0(1) при х-а-ха означает, что функция 1(х) ограничена в неко!е 2е торой окрестности точки х„например — =0(1) при х-~О, ибо !в2х !К 2х 1!ш — =2, и, значит, функция — ограничена в окрестности к 0 точки х=О.
Определение 2. Если функции )(х) и п(х) пшкие, что ):=0( ) и й=-ОД) при х- ха то они называются функциями одного порядка при х-~-ха; это записывается в виде 1(х) й(х), х — х,. Это понятие наиболее содержательно в том случае, когда функции р и д являются либо бесконечно малыми, либо беско- нечно большими при х-нхв. Например, функции а= — х и а= !! =х(2+гдп — ! являются при- х- О бесконечно малыми одного х,) порядка, ибо И~= ~ 2+ип — ~ 2-! Мп — ) ~ ~ ( = ! 2+ з(п — „, ! ~ 2 + ~ з)п — ~ =.- 3.
у 8. Сравнение функция. Вычисление пределов Лемма 4. Если суи!ествует конечный предел 1пп — =у~=О, ~1 (х) а(х) то 1(х) д(х), х — ~хе. Доказательства. Положим ~р(х) =- — '. Тогда )(х) =. 4»1 ! (х! е(х)' =-<р(х)д(х) и 1!гп ~р(х)=й. Следовательно, по лемме 3, 1(х) = х к, = 0(д(х)), х-~хе. Поскольку 1пп — „ФО, существует такая проколотая окреПх) стность Ъ'(х,) точки х„что для всех х ен У (хе) имеем )(х)/д(х) ~0 (см. свойство 2 в п. 4.7), а следовательно, и 1(х)ФО. Для хек Ъ'(х,) положим ф(х) — ' — тогда у(х) =ф(х)1(х) и !!1п 'ф(х) = 1 = —. Поэтому, согласно лемме 3, д(х)=0(Г(х)), х- х„. ( ) В качестве примера возьмем функции ) (х) =Зх' и д(х) = = ейпх'.
Имеем 11ш — = — 1пп —, = — (см. (8.1)), поэтому, я(х) 1 . ипхе к са ! (х) 3 хе = 3 согласно доказанному„ функции Зх' и з!пх' одного порядка при х-+ О. Определение 3. Функции ! (х) и у(х) называются эквивалент- ными при х — х„, если в некоторой проколотой окрестности 0(хе) точки хе определена такая функция «р(х), что 1 (х) = ер (х) д (х) 1!гп ер(х) =1, х к (8.20) (8.21) Отметим, что в силу свойства (8.21) найдется проколотая окрестность е' (х,) точки х„на которой ч» (х) Ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
