kudryavtsev1a (947413), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Полагая ф(х) = 1 = —, хан У(х,), видим, что условия (8.20) и (8.21) для ука~р (х)' ванной проколотой окрестности равносильны условиям д(х) =1р(х)Г(х), 1пп ф(х) =1, к к» 1(х) д(х) при х-».х,. (8.22) Из сказанного выше следует, что если ~ й» при х-».хе, то и у 1 при х-»-х,. т. е. как говорят, эквивалентность двух функций обладает свойством симметричности. Функции 1(х) и д(х), эквивалентные при х-».х„называются также асилеппютически равными при х — х,. Асииптотическое равенство (эквивалентность) функций обозначается символом 8.2.
Сравнение функций Ит П р и меры. 1. + х' при х-е-О. Действительно, полах' гая ф(х) = „получим 1 —, = гр (х) х' и 1)ш = 1. 1+" к о)+хх 2. — х при х-~со. В самом деле, если ~р(х) =, то хх хх 1+ хх 1+ хх' —, = ~р (х) х и .1 ип —, = 1, х' х . хх 1+ х' 1+ хх Если в некоторой проколотой окрестности () (хе) точки хе справедливы неравенства )'(х) чьО, д(х) ~0, то условия (8.20) и (8.21) эквивалентны соотношению !)ш — = 1 1 (х) х хр К(х) и, следовательно, условию 1)ш ( )=1. Пх) Чтобы в этом убедиться, достаточно положить ~р(х) = —; тогда, г(х).
очевидно, для функции ~р(х) выполняются условия (8.20) и (8,21). Если (8.23) гк и д Й при х — нх„ то Й при х-~ хе. (8.24) В самом деле, из условий (8.23) следует, что в некоторой про- колотой окрестности точки х, 1(х) = <р (х) д (х) и д (х) = ф (х) Ь (х), где 1пп <р(х) = 1пп ф(х) =1 и, следовательно, х х, х хе ) (х) = гр (х) ф (х) й (х), где 1)ш ~р(х))Р(х) =1, т.
е. выполняется асимптотическое равенк к, ство (8.24). Из результатов п. 8,1 следует, что прн х- 0 справедлива следующая эквивалентность бесконечно малых: х з)п х — 1я х агсз)их агс1д х 1п (1+х) ск — 1. Из этой эквивалентности следуют и более общие соотношения, которые сформулируем в виде отдельной леммы.
Лемма 4. Если функция и(х) такова, нгпо 1!ш и(х) =О, (8.25) х ке Э 8. Сравнение функций. Вычисление пределов то при х-+-хе и (х) — з(п и (х) 18 и (х) агсз( п и (х) агс18 и (х) 1п11+ и (х)1 е" '"> — 1. (8.26) До к аз а тельство. Покажем, например, что з)п и (х) и (х) пр и х -~- хе. (8.27) Пусть функция и(х) определена в некоторой проколотой окрестности точки х,. Положим (считая хчьхе принадлежащими этой окрестности) (8.28) 1 1, если и (х) = О. Покажем, что !пп ф(х) =1. х хе Пусть задано е) О.
Поскольку (8.29) 1пп =1 и х х, (здесь и — независимое переменное), существует такое число е1 = = т1(е), что при ~и~(11, иФО, выполняется неравенство 1'— "."-'! ' Для указанного т1) 0 в силу (8.25) существует такое число 6=6(т1), что для всех х, удовлетворяющих условию (х — хе((6, х чь х„выполняется неравенство' ,и (х)' ,( т1. Следовательно„если 1х — х, ~ ( 6, х ~ хе и и (х) Ф О, то Иначе говоря, если О ( ) х — хе ~ (6, и и (х) Ф О, то ( ф (х) — 1~ е. (8.30) Если же 0(,'х-хе((6 и и(х)=0, то согласно (8.28) имеем ф (х) = 1 и, следовательно, неравенство (8.30) очевидно также выполняется. Равенство (8.29) доказано, а так как из (8.28) следует, что айпи(х) =ф(х) и(х) для всех х ~ (хе — 6, хе+6), х~ха, то доказана справедливость асимптотического равенства (8.27).
Аналогично . доказываются и остальные асимптотические формулы (8.26). П Определение 4. Если в некоторой проколотой окрестности точки хе а(х) = а(х)1(х), где 1пп е(х) =-О, то функция а назы- В.2. Сравнение Функций 149 вается бесконечно малой по сравнению с функцией )' при х-эхо и пиитетсЯ а=о(7), х-ьхо (читаетсЯ «а есть о малое ст 7 пРи х, стремящемся к хот).
В силу этого определения запись <а(х) =о(1), х-+-.то» означает просто, что функция а(х) является бесконечно малой при х -ь хо. Если )'(х) ныл при х чакко, то условие а = г), 1(пт е = О, к ке можно переписать в виде !пп ~ =О. „1 Таким образом, под о(1) при х-+хо ()(х)чьО при хч~хо) подразумевается любая функция такая, что 1!гп — = О. о(О В случае, когда г(х) бесконечно мала при х- хо, то говорят, что а=о(7) при х-~-хо является бесконечно малой более высокого порядка, чем Г, Например„х'=о(ь!пха) при х-ьО, ибо х« 1пп —., =1(гп х11пт —,, =О 1 =0.
оа!пх о оз!Пх Подобным образом --, =о! — ) и х=о(х ) при х-ь.оз. 1 411 Отметим, что если )=о(д) при х-ьх„то и подавно 7=0(д) при х-эхо. В самом деле, пусть ~=ед, где 1!гп е=О. Тогда к кх функция г=г(х) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки х, (см. п.
4.7): (е(х) ~~с, хатха и, значит, )7(х) )==.с)д(х)! в указанной проколотой окрестности, а это означает, что (=0(у), х — х- х,. Собирая вместе введенные в этом пункте основные понятия, получим: пусть в некоторой проколотой окрестности 0 =0 (хо) точки х, )". (х) = гр (х) д (х), тогда если функция гр(х) ограничена на О, то ((х) =0(а(х)); если 1пп гр(х)=1, то г(х) д(х), х-ьхо; к хх если 1!гп гр(х) = — О, то )(х) =о(д(х)), х-~хо. Упражнение 1.
Пусть Р=О(а«) при х- х,, !!гп а=О. Доказать, х к что тогда р=о(а) при х-ххо. Г 8. Срввнение функций. Вычисление пределов При использовании равенств с символами О и о следует иметь в виду, 'что они не являюгся равенствами в обычном смысле этого слова. Так, если а,=о(ф) при х-«хе, а,=о(()) при х-«х„ то было бы ошибкой сделать отсюда заключение, что ссг=сг„ как это было бы в случае обычных равенств. Например, хв= =о(х) и х'=о(х) при х-«0, но хечьхе.
Аналогично, если )+ О ()) = д+ О ()) при х-«х„ то было бы ошибкой сделать заключение, что ~=у. Дело в том, что один и тот же символ О (г) или о()) может обозначать разные конкретные функции. Это обстоятельство связано с тем, что при определении символов О(1) и о(г) мы по существу ввели целые классы функций, обладающих определенными свойствами (класс функций, ограниченных в некоторой окрестности точки хе по сравнению с функцией ~ и класс функций, бесконечно малых по сравнению с )'(х) при х — «хе) и было бы правильнее писать не а=О:(1) и а=о(Г), а соответственно аяО(Г) и ссгпо(Г). Однако это привело бы к существенному усложнению вычислений с формулами, в которых встречаются символы О и о.
Поэтому мы сохраним прежнюю запись а=О()) и а= о(1), но будем всегда читать этн равенства, в соответствии с приведенными выше определениями, только в одну сторону: слева направо (если, конечно, не оговорено что-либо другое). Например, запись се=о(1), х~х, означает, что функция сс является бесконечно малой по сравнению с функцией ) при х — «х„но отнюдь не то, что всякая бесконечно малая по сравнению е Г функцию равна ес. В качестве примера на обращение с эгнми символами докажем равенство о (с)) = о ()), (8.31) где с — постоянная. Согласно сказанному, надо показать, что если д=е(с)), то у=о()).
Действительно, если у=о(с)), то д=зс), где 1пп е(х) = л кч = О. Положим е,=се, тогда д=еь1, где, очевидно, 1(ш е,(х)=О и, значит, д=ой. П В заключение отметим, что сказанное об использовании символов о и О не исключает, конечно, того, что отдельные формулы с этими символами могут оказаться справедливыми не только при чтении слева направо, но и справа налево; так, формула (8.31) при с~О верна и при чтении справа налево. 8.К Зкоиеолеигиьж функции ВН Упражн.ен:на. Доказать, что если и — бесконечно малан при х-~-хе, ч при х,: 2.
о(иа)=о (сс), 6. о (се+ ат) = о~(а), 9. о (о (а)) = о (и), 3. о(а) 0(и)=о(ае), 7. ое(а)=о(ае), 10. 0(0(а))=0(а), 4, о(а)+о(и)=о(и), 8. с0(и)+о(а)=0(а) П. Если [[)!(о(а), то 5. а.о(и) =о(ае), (с — постоянная) 13 =о (м). !2. Пусть 1пп [(Г)=а, причем [(О ~а при 1 ~Ь в некоторой окрестности С Ь точки г=ь, Доказать, что тогда, если ~р(х)=о [т(х)[ при х-ьа, то ~р[[(!В = =о[~р[1(!))) прн 1- ь; а если м(х)=0[т(х)1 при х — ьо, то Э[[(г)1= О["т [[(Г)1! при С-~-Ь. 8Л. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИЙ Если функция )(х) заменяется для каких-либо целей через д'(х), то разность ) (х) — д (х) называется абсолютной погрешностью, а отношение — о носительной пог)тешностаю сделанной ! (х) замены. Если изучается поведение функции г(х) при х-ьх„то часто целесообразно заменить ее функцией д(х) такой, что 1) функ- ция йг(х) в определенном смысле более простая, чем функция ((х); 2) абсолютная погрешность стремится к нулю при х- х,: 1пп (~(х) — И(х)) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
