kudryavtsev1a (947413), страница 37
Текст из файла (страница 37)
всй. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ4 Пусть функция 1(х) определена в некоторой окрестности точим хе. Воспользуемся, как и выше, обозначениями Лх='х — х„ Лу.' Р)'(х,+ Лх,) — 1(х,). Пусть для определенности Лх ) О. Отношение — „, равное изменению переменной у на отрезке [ха, хе+Лх), ар отнесенному к единице измерения переменной х, естественно нааиачь величиной средней скорости изменения у на отрезке [ли, хе+Лх1 относительно х. ПРи стРемлении Лх к нУлю, т. е. пРи стягивании отрезка [хо, хе+Лх) к точке х„отношение — дает ау йл величину средней скорости изменения у относительно х во все меньшем н меньшем отрезке, содержащем точку х,. Все сказанное, конечно, спРаведливо и пРн Лх(0 дла отРезка [х,+Лх, хе). йу Предел 1пп — —, если он существует, т.
е. производную 1'(хе), а о У 9. Производная и дифференциал »68 естественно поэтому назвать величиной скорости изменения переменной у относительно переменной х в точке х,. Заметим, что если в точке х, существует производная Г*(х,), то, рассматривая предел средних скоростей изменения у относительно х на отРезках (ха — Лх, хо+Л.т) (Лх)0), содеРжащих точку х, внутри себя в качестве центра, прн стягивании их к точке х, (при Лх-ю О) мы придем в пределе к тому же значению величины скорости изменения у относительно х в точке х„ т. е. к ('(хо). Действительно, величина средней скорости изменения переменной у относительно х на отрезке [хо — Лх, хо+Лх| ! (ха+ Лх) — ( (ха — Лх) равна ', ' (частному от деления изменения функции на длину отрезка, на котором произошло это изменение); отсюда Г (х„+ Лх) — ! (х, — Лх) 2Лх = — ~ !!т " + Ит "'~=~'(ха).
! Г . ((ха+Ля) — ((х„) . /(ха — Лх) — Г(ха)) 2 1ах-о л -о Интересно заметить, что разностное отношение — „ ( (х+ й) — ! (х — й) в известном смысле лучше приближает значение производной )' в точке х, чем "+ (см. об этом в п. 60.3). л На интерпретации производной как величины скорости изменения одной величины относительно другой и основано применение производной к изучению физических явлений. Применение же дифференциала основано на том, что замена приращения функции ее дифференциалом позволяет заменить любую дифференцнруемую в точке хо функцию линейной функцией в достаточно малой окрестности точки х„т.
е. считать, что процесс изменения зависимой переменной «в малом» происходит линейно относительно аргумента. Иначе говоря, можно считать, что изменение функции прямо пропорционально изменению аргумента или, как говорят, что упомянутый процесс «в малом» происходит равномерно. При такой замене получающаяся погрешность оказывается бесконечно малой более высокого порядка, чем приращение аргумента. Примеры. 1. Пусть а=-а(г) — закон движения материальной точки *з (рис. 36); а — длина пути, отсчитываемая вдоль траектории от некоторой начальной точки М,; ( — время.
Пусть М— положение точки в момент времени г', а М' — в момент г'+Л( и Ла — длина пути от М до М', т. е. Ля =э((+Л() — э(!). " Не следует путать закон движения точки с уравнением ее траектории, которое имеет вид г=г(!), где г — радиус-вектор двнжуп»ейси точки. 9.4. Физический смысл производной и дифференциала тбр Лз Отношение — называется в механике величиной средней скоро- Лз сти движения на участке от М до М', а Игп --=.о — величиной ы-о Лг скорости в точке М или величиной мгновенной скорости в момент дз времени 1; таким образом, о = щ' По определению дифференциала, йз = о д1; следовательно, дифференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от момента 1 до 1+Л1, если бы она двигалась равнолтерпо со скоростью, равной л лг' мгновенной скорости точки в мо- ~ лг мент 1.
Величина же Лз действительного перемещения точки равна Л =да+о(Л1). Ов Мы видим, что с точки зрения механики замена Лз через йз означает, что мы считаем движение на рассматриваемом участке равномерным (в смысле величины скорости '~). 2. Пусть д = д (1) — количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника; 1 — время; Л1 — некоторый промежуток времени; Лд = д (1-)- Л1) — д (1) — количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента 1 до момента 1+Л1. Тогда — называется средло ы ней силой тока за промежуток времени Л1 и обозначается через 1„, а предел )пп /,р — — !!ш — называется силой тока в донный лч ы-о ы-о Лг момент времени 1 или мгновеннылг баском и обозначается Т.
Таким образом, 1 = —; . Дифференциал йр=1Л1 равен количеству элек- до грнчества, протекшего через поперечное сечение проводника за момент времени Л1, если сила тока была бы постоянной и равной сале тока в момент 1. Как всегда, Лу — дц=о(Л1).
3. Пусть дан неоднородный стержень е*~ длины 1 и пусть т = рл(х) — масса части стержня длины х, О=--х--(, отмеряемой от одного фиксированного нонна (рис. 37). Тогда Лт = т (х+ Ль)— — мс(х) — масса части стержня, ограниченной точками, расположенными соответственно на расстоянии х и х+Лх от указанного Лгп конца. Величина — называется средней линейной плотносшью Лх ю Следует иметь в виду, что скорость — вектор н потому характеризуется нв только величиной, но а направлением.
ню Стержень называется однородным, если два любых его участка одина- ковой длины имеют одинаковую массу, н неоднородным — в противном случае. У 9. Производная и дифференциал 170 стержня на указанном участке и обозначается рчя Предел ьт 1!ш р,р = 11ш — — называется линейной плотностью стержня ь о ьх-о А Ах в данной точке и обозначается р.
Таким образом, диг 1» = — —. х х~-ьх ь 'х 9.5. ПРАВИЛА ВЫЧПСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ, СВЯЗАННЫЕ С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ ДЕЙСТВИЯМИ НАД ФУНКЦИЯМИ Все функции, рассматриваемые в этом пункте, предполагаются определенными в некоторой окрестности точки х,. 1'. Пусть функции у»=1»(х) и уо — — 1»(х) имеют ироизводньге в огочке х,. Тогда их сумма у,+у,=-)г(х)+),(х) также имеет в точке х, ггроггзводнуго и (ггг+Уе) =у»+У..
(9.15) Таким образом, производная сумлгы функций равна сумлге их производных. действительно, пусть у = гг (х) + 1» (х), Луг = 1» (хо+ Лх) — 1» (хо) Ьуо =)о (хо+ Ьх) — )» (хо). Тогда Лу = (~г (хо+ с»х) +)е (хо+ ах)1 — (1» (хо) — 1» (хо)1 = йуг+ Луе поэтому (9. 16) лд, .
Ав, Пределы 1пп -Зз и 1!ш -В', согласно предположению, сущеь озх ь -оьх ствуют и равны соответственно производным у', и у„' в точке х„ поэтому предел левой части равенства (9.16) при сгх-+.О существует и равен у;+у,'. Но 1(гп — =у', поэтому у' в точке х, сузу ьх оьх ществует и у'=у,'+у„'. ( ) Если плотность р постоянна, то стержень будет однородным. л(ля произвольного, вообще говоря, неоднородного стержня дифференциал е(т=рЛх равен массе однородного стержня длины гьх с постоянной плотностью р, равной плотности рассматриваемого стержня в данной тгоо Ьт, точке. в )11ы видим на этом примере, что, интерпретируя Рис. З7 производную как величину скорости, мы должны понимать это в широком смысле слова. Например, плотность стержня тоже «скорость», а именно — скорость изменения массы с изменением длины.
У.5. Правила вычисления ароивводиогх 171 Уг'( У(Уо УгУг Я'=':: '- де / (9.18) действительно, пусть у = /г (х) /о (х), Луг = Йг (хо+ Лх) — /г (хо) Луг- — — /г (хо+ Лх) — /о (хо)~ тогда Лу = ггг (хо + Лх) ого (хо+ Лх) /г (хо) 1о (хо) = = (/г (х,) + ЛУД (/о (х,) + Луе1 — /г (х,) /о (х,) = = ЛугХа (хо) + /г (хо) Луг + Луг Луг отсюда л— , = —,;,й(х)+6(х.) —,;,-+ —,,—,Лу., Лу Лд, Лдо ЛУ, и так как в точке х, Л Лд, ьх ОЛх И '— ,"'- = у.'„11 Лу, =О ь оьх ь о (функция уг=/в(х) имеет производную, а потому и непрерывна в точке х,), то прн х=х, существует 1!щ -- =у, и у' =у1уо-(- ЛУ ь, оьх +уг/' О Пусть теперь /о(хо)ФО; тогда существует такое /г)О, что /(хо+Лх) ФО для всех Лх, удовлетворяющих условию (Лх((/г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
