kudryavtsev2a (947416)
Текст из файла
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ Курс математического Тоут П Допущено Мпннстерствоп высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студептов физико-математических и инженерно. физических специальностей вузов МОСКВА»ВШСШАК ШКО11А» 1оРВ1 ББК 22.16 К 88 УДК 517 (0.75.8) Кудрявцев Л. Д. К88 Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. Мл Высшая школа, 1981, т.
11; — 584 с., нл. В перл 1 р. 80 к. Во втором томе содержитсн ннтегральное н дифференциальное исчисления функции многих переменных. теории днфференцируемых отображений, теория рядов Фурье н преобрааоаанин фурье, элементы функционального анализа и теория обабщенньж функций. Ггрелназначается студентам университетов н физико-математических н инженерно.физических специальностей агузов, а такяге студентом других спецпальжостей для углубленной математической подготовки. 20203 — 121 617.2 К 86 — 81 1702066066 ББК 22.16 © Издательство «Высшап школа»,!981 Настоянная книга является второй частью двухтомного курса математического анализа. В ней изложены вопросы, изучаемые обычно студентами на втором курсе.
Нумерация глав, параграфов н рисунков в этом томе продолжает соответствующую нумерацию первого тома. Глава пятая, с которой начинается этот том, посвящена дифференциальному исчислению функций многих переменных и по су ществу является непосредственным продолжением главы второй первого тома. Дальнейшие главы содержат изложение интегрального исчисления функций многих переменных, теории рядов и интеграла Фурье.
Преобразование Фурье излагается сначала в классическом виде, а затем даются его обобщения для пространства Ц и для обобщенных функций. Заканчивается том неболыним «Дополнением», основная часгь которого касается численных методов для вычисления приближенных значений функций приближенных решений уравнений и приближенных вычислений интегралов.
ГЛАВА ПЯТАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (Продолжение) в 39. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 39.1 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Если функция многих переменных имеет достаточное число непрерывных производных в окрестности некоторой точки, то эгу функцию. в указанной окрестности можно (подобно тому как это было сделано для функций одного переменного) представить в виде суммы некоторого многочлена и остатка, который «мал» в определенном смысле.
Теорема 1. Пусть функция г=)'(х, у) опреде.гена и непрерывна вместе со всеми своими частными нроизводнылги до порядка т включительно (т=1) в б-окргстности точки (х„у,). Тогда для всех Лх и Лу, удовлетворяюгцих условию р = )г Лх»+ Луо б, сущесгпвует такое 8=8(Лх, ЛУ), 0(8(1, что справедлива форидяа Лг=Р( о+Ах У«+АУ) — )( о, Уо)= д, Лх+ д, ЛУ+ ! ( д»г(хо У») Л,»+2 д"1(хо, Во) Л Л + до!(хо Уо) Л»1+ 2! 1 дхо '" дх дд дяо ! г д дг(о! 3! ~ дх+ Удч~ 1( о Уо)+ ° ° ° + ! ' д д((ы — г! + < !)г(Лх д-+ ЛУ -„-1 ) (х„, Уо)+г,(Лх, ЛУ), илгг, короче ы — г + ЛУд ) ~(хо Уо)+ге-г (Лх, ЛУ), (39.1) о=г г г (Лх, ЛУ) = — ! (Лхд + ЛУду) У(хо+ ВЛх, Уо+ВЛУ).
(39.2) Формула (39.1) назъгваегся формулой Тейлора (порядка т — 1) для функции ), функпня г,(Лх, ЛУ) — ее остаточным ч«гном, а его запись в виде (39.2) — остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. аул. Формула Тейлора для фуякяий многия яерамаяяах 8 При л>=1 в (39.1) требует разъяснения смысл первого члена правой части, поскольку в этом случае верхний индекс суммирования равен нулю. В этом случае, по определению, полагается, что этот член равен нулю, т.
е. что формула (39.!) имеет вид Лх =- >'а (Лх, Лд). В дальнейшем всегда, когда встретится выражение, записанное с помощью символа ~', у которого значение верхнего индекса су>лмирования меньше значения нижнего индекса будем также считать, что это выражение равно нулю. Доказательство. Пусть Лх и Лд зафиксированы так, что Р =)ГЛха+ Лд'(Ь, тогда все точки вида (ха+1Лх, д,+)Лд), где 0-=1-=1, лежат на отрезке, соединяющем точки (х„д,) и (х„+Лх, д,+Лд), и поэтому все они принадлежат 6-окрестности точки (х„, д,).
Вследствие этого имеет смысл композиция функций г=) (х, д) и х= — ха+ТЛх д=дю+1Лд 0(1~1 т. е. сложная функция Р(!) =)-(ха+(Лх, да+)Лд), 0«=1 а!. (39.3) Очевидно, что Лг=)(ха+Лх, да+Лд) — ~(ха да)=Р(1) — Е(0). (394) Поскольку функция т имеет в 6-окрестности точки (х„да) ш непрерывных частных производных, то, согласно теореме о производных сложной фушсцнн (см. п. 20.3), функция г" также имеет на отрезке 10, 11 т непрерывных производных и поэтому для нее справедлива формула Тейлора порядка и — 1 с остаточным членом в форме Лагранжа: р(!) р(0) д (0)г+ ()(а+ + ()г '+ 0 < 8 < 1, (39.5) и в рассматриваемой окрестности точки (х„д,) функцию (39.3) можно т раз продифференцировать по правилу дифференцирования сложной функции (см. замечание 2 в п.
20.4), причем значения получающихся смешанных частных производных не з анис я т от порядка дифференцирования (см. п. 21.1). Выразив производные Р~л> (!) через производные функции т(х, д) и положив в формуле (39.5) 1=1 (см. (39.4)), получим требуемую формулу Тейлора для функции >'(х, д). Действительно, 8 8 ду. Формулы 7'ейлора и ряд Те!глори для функций.акопах иерем. из (39.3) следует, что д( йх дг" йу дх й! ду д! д/(хо+(Лх, Уа+ (ЛУ) д д((ха+(лх, Уа-(-! ЛУ) 1 Отсюда для Г(7), опустив для краткости обозначения аргументов, получим Вообще по индукпии легко установить, что Е<а>(7)=-~Лх — +Ду — 1 1(х,+(Лх, у,+(Дх), (г = 1, 2, ..., пк (39.6) Положив в формулах (39.Б) (=0 при (е=!, 2, ..., и! — 1, будем иметь: р (0) дг (ха Уа) д 1 дг (ха Уа) д р„(0) дд'7(ха Уа) д а ~ 2 да( (хо Уа) д д +да((ха Уа) д а дха ' дх ду ' У ду! и вообще ЕФ!(О) =-(Дху-+Л77 -) ~(ха, Уо), 8=1, 2, ..., ап — 1.
(39,7) Прп 71 = и, заменив 1 на 8(, Е~ы!(80 = — !Д~ — -+Лу ' 7" (к~+8(Дх, у,+8(Д(!7). (398) Подставим теперь (39.7) и (39.8) в (39.5) и положим 7=1; тогда в силу соотношения (39.4) а! — ! Дх=-Р(1) — г (О)= ~~ + а=.! аг — ! —, !Дх —,+ Ду- ) 7(хм уа)+ а= 1 + т! ~~Х д + ДУд ) 7(хо+8 Лх, Уо+8ЛУ), О< 8(1. Д Следствие. В предположениях гпеоргмы 1 справедлива формула Дх=' ~' ь ! !Дхд +Дуд-) ((хо, уо)+г (Лх, Лу), (39,9) и=! Звй. Формула Тейлора для функггай многих нереленных 7 ггричем остаточный член «„(Лх, Лу) может быпго записан в каждом ссз следугои(их видов: (Лх, Лд) =- 'У', о,(Л., Лу) Л.' Лу™, (39.10) » =- о !пп е»(Лх, Лу) =-О, й= О, 1, ..., пг, р= ): Лх'+Луг и-о пла «(Лх, Лу) =- е ( Лх, Лу) о", (39. 11) где 1ггп (Лх, Лу) =-О, т, е.
«(Лх, Лу) --= о (р ). (39.12) Представление остаточного члена форлгулы Тейлора в форме (39.!2) называется его записью в форлге Пеона. Д о к а з а т е л ь ст в о. Положим дЧ( +Ой, уе+Оау! д ((х„уо! дх» дум -» дх» дуни» ' В силу непрерывности всех частных производных порядка пг 1!гп е»(Лх, Лу) =О. р о Преобразуем остаток «г(Лх, Лу) (см. (39.2)), использовав выражение (39.13), следующим образом: С ~ д )(хе+ой., У.+оаг! Л,»Л ., с ум»=о 1УСд")( у)Л Л + гир ~е дх» дум — » У »=о + —, ~~ С»„е»(Лх, Лд)Лх Лу"' »=о = —,(Дх — + Лд — ) )(х„до)+ ~г е»(Лх, Лу) Лх" Лд -", (39.14) »=о где в„(Лх, Лд) = —" е»(Лл, Лу), и потому (пп е„(Лх, Лу) =О. (39.15) р о Подставляя (39.14) .в (39.1), получи»г формулу Тейлора (39.9) с остаточным членом в виде (39.10). 8 й др. Фаряулег Тейлора и ряд Тейлора дляфункцийл1нагиллерея. е! е(Л, Лу)= У е (Л., Лд)('~") (ай) (39.16) Тогда г„(Лх, Лу) = '5; е, (Лх, Лу) Лх" Лу -' = я=е =Р,~ ее(Лх, Лу)( — ) ( — ~) =е(Лх, Лу)р"', е=о и так как ~ — ~ 1 и ~ — ~=1, то из (39.15) следует, что 1'ип е(Лх, Лу) =О.
(1 а е Используя понятие дифференциалов высших порядков, формуле Тейлора можно придать более компактную форму, внешне идентичную формуле Тейлора для функций одного переменного, записанной также с помощью дифференциалов. В самом деле, так как (см. п. 21.2) ее Т(х' У) '(Лхйх+Лдд — ) )(х, У), й= — О, 1, 2, ..., т, д д~м1 то, полагая для краткости М,= — (хе, уе) и М=(х,+Лх, д„+ Лд), формулу (39.9) можно зацисать в виде Лх — ~е и-, е(е) (Ме) + г (М), (39.17) Эта форма записи формулы Тейлора наиболее просза и потому удобна для запоминания.
Сделаем несколько замечаний к доказательствам теоремы 1 и ее сл: дствия. Прежде всего в условиях этой теоремы было лотребовано, чтобы функция ) имела нспрерывные производные до порядка т включительно в некоторой б-окрестности точки (х„у,). Можно было бы потребовать непрерывность в указанной окрестности только производных порядка т, поскольку из их непрерывности вытекает и непрерывность в этой окрестности всех младших производных данной функции, т. е. производных порядков А=О, 1,, т — 1 (см. п. 20.2).
Подчеркнем, что непрерывность частных производных в 6-окрестности точки (хе, у,) была использована, во-первых, для того чтобы встречающиеся частные производные ие зависели от порядка дифференцирования (это было использовано как при доказатель- Покажем, что остаточный член (39.10) можно записать в виде (39.11). Для этого положим УУ.1, Формула Тейлора для функций многих переменных Я стае формулы Тейлора (39.1), так и в самой форме записи этой формулы), и, во-вторых, для того, чтобы функцию (39.3) можно было т раз дифференцировать по правилу дифференцирования сложной функции.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
